高考数学重点难点复习(27)：求空间的角

求空间的角

空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想. ●难点磁场

(★★★★★)如图，α—l—β为60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M∈α,N∈β,且MP与β所成的角等于NP与α所成的角. (1)求证：MN分别与α、β所成角相等； (2)求MN与β所成角.

●案例探究

［例1］在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点.

(1)求证：四边形B′EDF是菱形； (2)求直线A′C与DE所成的角；

(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角； (4)求面B′EDF与面ABCD所成的角.

命题意图：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强，属★★★★★级题目.

知识依托：平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角.

错解分析：对于第(1)问，若仅由B′E=ED=DF=FB′就断定B′EDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B′、E、D、F四点共面.

技巧与方法：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法.

5(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=2a,下证B′、E、D、F四

点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EG边形.

∴B′E∥A′G,又A′F

DG,∴A′GDF为平行四边形.

AB

A′B′知，B′EGA′是平行四

∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面

故四边形B′EDF是菱形.

(2)解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，

则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角.

513在△A′CP中，易得A′C=3a，CP=DE=2a,A′P=2a 15由余弦定理得cosA′CP=15 15故A′C与DE所成角为arccos15.

(3)解：∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上.如下图所示.

又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线， 故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′ 在Rt△B′AD中，AD=2a，AB′=2a,B′D=2a

3则cosADB′=3

3故AD与平面B′EDF所成的角是arccos3.

(4)解：如图，连结EF、B′D，交于O点，显然O为B′D的中点，从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心.

作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心， 再作HM⊥DE，垂足为M，连结OM，则OM⊥DE， 故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角.

235在Rt△DOE中，OE=2a,OD=2a,斜边DE=2a, OD?OE30?10a 则由面积关系得OM=DEOH30?6 在Rt△OHM中，sinOMH=OM30故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin6.

［例2］如下图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°.

求：(1)AC1的长；

(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值.

命题意图：本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题，属★★★★★级题目. 知识依托：向量的加、减及向量的数量积.

错解分析：注意＜AA1,AB＞=＜AA1,AD＞=120°而不是60°,＜AB,AD＞=90°. 技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.

解:(1)|AC1|2?AC1?AC1?(AA1?AC)(AA1?AC)?(AA1?AB?AD)(AA1?AB?AD)?|AA1|2?|AB|2?|AD|2?2AA1?AB?2AA1?AD?2AB?AD由已知得:|AA1|2?b2,|AB|2?|AD|2?a2?AA1,AB???AA1,AD??120?,?AB,AD??90?11?AA1?AB?b?acos120???ab,AA1?AD?b?acos120???ab,AB?AD?0,22?|AC1|2?2a2?b2?2ab,?|AC1|?2a2?b2?2ab.(2)依题意得,|AC|?2a,AC?AB?ADBD1?AD?BA?AA1?AD?AB?AC?BD1?(AB?AD)(AA1?AD?AB)?AB?AA1?AD?AA1?AB?AD?AD2?AB2?AB?AD??ab|BD1|2?BD1?BD1?(AA1?AD?AB)(AA1?AD?AB)?|AA1|2?|AD|2?|AB|2?2AA1?AD?2AB?AD?2AA1?AB?2a2?b2

?|BD1|?2a2?b2

cos?BD1,AC??BD1?AC|BD1||AC|??b4a2?2b2

b22∴BD1与AC所成角的余弦值为4a?2b.

●锦囊妙计

空间角的计算步骤：一作、二证、三算

1.异面直线所成的角 范围：0°＜θ≤90° 方法：①平移法；②补形法.

2.直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线，找射影. 3.二面角

方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算 ●歼灭难点训练 一、选择题

1.(★★★★★)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( )

?A.6

?B.4

?C.3

?D.2

2.(★★★★★)设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA= ∠CBD=120°,则AD与平面BCD所成的角为( )

A.30° B.45° C.60° D.75° 二、填空题

3.(★★★★★)已知∠AOB=90°,过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45°、60°，则以OC为棱的二面角A—OC—B的余弦值等于_________.

4.(★★★★)正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_________. 三、解答题

5.(★★★★★)已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2 (1)求PC的长；

(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小； (3)求证：二面角B—PC—D为直二面角.

6.(★★★★)设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC= ∠DBC=120°

求：(1)直线AD与平面BCD所成角的大小； (2)异面直线AD与BC所成的角； (3)二面角A—BD—C的大小.

7.(★★★★★)一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角.

(1)求证：平面ABD⊥平面ACD； (2)求AD与BC所成的角； (3)求二面角A—BD—C的大小.

8.(★★★★★)设D是△ABC的BC边上一点，把△ACD沿AD折起，使C点所处的新位置C′在平面ABD上的射影H恰好在AB上.

(1)求证：直线C′D与平面ABD和平面AHC′所成的两个角之和不可能超过90°； (2)若∠BAC=90°，二面角C′—AD—H为60°，求∠BAD的正切值.

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