动量与电磁感应

动量与电磁感应

电磁感应与动量的结合主要有两个考点：

对与单杆模型，则是与动量定理结合。例如在光滑水平轨道上运动的单杆(不受其他力作用)，由于在磁场中运动的单杆为变速运动，则运动过程所受的安培力为变力，依据动量定理F安?t??P，而又由于F安?t?BIL?t?BLq，q?N杆位移x及速度变化结合一起。

对于双杆模型，在受到安培力之外，受到的其他外力和为零，则是与动量守恒结合考察较多 1. 如图所示，一质量为m 的金属杆ab，以一定的初速度v0从一光滑平行金属轨道的底端向上滑

行，轨道平面与水平面成θ角，两导轨上端用一电阻相连，磁场方向垂直轨道平面向上，轨道与金属杆ab的电阻不计并接触良好。金属杆向上滑行到某一高度h后又返回到底端，在此过程中（ ）

A． 整个过程中合外力的冲量大小为2mv0

B． 下滑过程中合外力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热

a b h B R ??BLx=N，?P?mv2?mv1，由以上四式将流经杆电量q、R总R总12C． 下滑过程中电阻R上产生的焦耳热小于mv0?mgh

2D． 整个过程中重力的冲量大小为零

? 2. 如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽度为L的区域内，现有一个

边长为a（a﹤L）的正方形闭合线圈以初速度v0垂直磁场边界滑过磁场后，速度为v(v﹤v0)，那么线圈（）

A. 完全进入磁场中时的速度大于（v0+v）/2 B. 完全进入磁场中时的速度等于（v0+v）/2 C. 完全进入磁场中时的速度小于（v0+v）/2 D. 以上情况均有可能

3. 如图所示，两根足够长的固定平行金属光滑导轨位于同一水平面上，导轨上横放着两根相同的

导体棒ab、cd与导轨构成矩形回路。导体棒的两端连接着处于压缩状态的两根轻质弹簧，两棒的中间用细线绑住，它们的电阻均为R，回路上其余部分的电阻不计，在导轨平面内两导轨

间有一竖直向下的匀强磁场。开始时，导体棒处于静止状态。剪断细线后，导体棒在运动过程中 ( )

A． 回路中有感应电动势

B． 两根导体棒所受安培力的方向相同

C． 两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒，机械能守恒 D． 两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒，机械能不守恒

4. 如图所示,在水平面上有两条导电导轨MN、PQ，导轨间距为d，匀强磁场垂直于导轨所在的平

面向里，磁感应强度的大小为B，两根完全相同的金属杆1、2间隔一定的距离摆开放在导轨上，且与导轨垂直。它们的电阻均为R，两杆与导轨接触良好，导轨电阻不计，金属杆的摩擦不计。杆1以初速度v0滑向杆2，为使两杆不相碰，则杆2固定与不固定两种情况下，最初摆放两杆时的最少距离之比为( )

A.1:1 B.1:2 C.2:1 D.1:1 5. 足够长的光滑金属导轨MN、PQ水平平行固定，置于竖

直向上的匀强磁场中，在导轨上放两条金属杆ab、cd，两杆平行且与导轨垂直接触良好。设导轨电阻不计，两杆的电阻为定值。从某时刻起给ab施加一与导轨平行方向向右的恒定拉力

F作用，则以下说法正确的是（ ）

A．cd向左做加速运动 B．ab受到的安培力始终向左 C．ab一直做匀加速直线运动

D．ab、cd均向右运动，运动后的速度始终不会相等，但最终速度差为一定值

6. 如图所示，光滑导轨EF、GH等高平行放置，EG间宽度为FH间宽度的3倍，导轨右侧水平且

处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。ab、cd是质量均为m的金属棒，现让ab从离水平轨道h高处由静止下滑，设导轨足够长。试求： (1) ab、cd棒的最终速度；

(2) 全过程中感应电流产生的焦耳热。

【答案】（1）

va?2gh32gh9mghvb?1010（2）10

7. 如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，两根质

量相同的导体棒a和b，与导轨紧密接触且可自由滑动。先固定a，释放b，当b的速度达到10m/s时，再释放a，经过1s后，a的速度达到12m/s，则 (1) 此时b的速度大小是多少？

(2) 若导轨很长，a、b棒最后的运动状态。

【答案】(1)18m/s (2)以共同速度做加速度为g的匀加速运动

8. 两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度B=0.5T的匀强磁场与导轨所在平面垂

直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m，两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Ω。在t=0时刻，

两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行，大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过T=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37 m/s，求此时两金属杆的速度各为多少？

【答案】8.15m/s 1.85m/s

9. 质量为m的金属棒ab，可以无摩擦地沿水平的平行导轨MN与PQ滑动，两导轨间宽度为d，导

轨的M、P端与阻值为R的电阻相连，其他电阻不计，导轨处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，设棒ab的初速度为v0，求棒ab停止下来时滑行的距离及在此过程中通过棒的电荷量。

2

q?I??t?【答案】

mv0Bd

10. 如图所示，足够长的光滑水平导轨的间距为l，电阻不计，垂直轨道平面有磁感应强度为B的

匀强磁场，导轨上相隔一定距离放置两根长度均为l的金属棒，a棒质量为m，电阻为R，b棒质量为2m，电阻为2R．现给a棒一个水平向右的初速度v0，求：（a棒在以后的运动过程中没有与b棒发生碰撞） (1) b棒开始运动的方向： (2) 当a棒的速度减为

v0时，b棒刚好碰到了障碍物，2经过很短时间t0速度减为零（不反弹）．求碰撞过程中障碍物对b棒的冲击力大小： (3) b棒碰到障碍物后，a棒继续滑行的距离．

【答案】(1) 向右 (2)

mv03mv0R (3) 2t02B2l211. 如图所示，在方向竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场中有两条光滑固定的平行金属导轨

MN、PQ，导轨足够长，间距为L，其电阻不计，导轨平面与磁场垂直，ab、cd为两根垂直于导

轨水平放置的金属棒，其接入回路中的电阻分别为R，质量分别为m，与金属导轨平行的水平细线一端固定，另一端与cd棒的中点连接，细线能承受的最大拉力为T，一开始细线处于伸直状态，ab棒在平行导轨的水平拉力F的作用下以加速度a向右做匀加速直线运动，两根金属棒运动时始终与导轨接触良好且与导轨相垂直。 (1) 求经多长时间细线被拉断？

(2) 若在细线被拉断瞬间撤去拉力F,求两根金属棒之间距

离增量△x的最大值是多少？

2mRT2RT【答案】(1)22 (2)?x? 44BLaRL12. 如图所示，两根平行金属导轨MN、PQ相距为d=1.0m，导轨平面与水平面夹角为α=30°，导

轨上端跨接一定值电阻R=1.6Ω，导轨电阻不计．整个装置处于方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小B=1T的匀强磁场中．金属棒ef垂直于MN、PQ静止放置，且与导轨保持良好接触，其长刚好为d、质量m=0.1kg、电阻r=0.4Ω，距导轨底端S1=3.75m．另一根与金属棒平行放

2m，从轨道最低点以速度v0=10m/s沿轨道上滑并与金属棒2发生正碰(碰撞时间极短)，碰后金属棒沿导轨上滑S2=0.2m后再次静止，测得此过程中电阻R置的绝缘棒gh长度也为d，质量为

上产生的电热为Q=0.2J．已知两棒与导轨间的动摩擦因数均为?=(1) 碰后瞬间两棒的速度； (2) 碰后瞬间的金属棒加速度； (3) 金属棒在导轨上运动的时间。

【答案】(1)3m/s -1m/s 负号表示方向沿导轨平面向下 (2)25m/s方向沿导轨平面向下 (3)0.2s

13. 如图所示，金属杆a在离地h高处从静止开始沿弧形轨道下滑，导轨平行的水平部分有竖直向

上的匀强磁场B，水平部分导轨上原来放有一金属杆b.已知杆的质量为ma，且与b杆的质量比为ma∶mb=3∶4，水平导轨足够长，不计摩擦，求： (1) a和b的最终速度分别是多大？ (2) 整个过程中回路释放的电能是多少？

2

32

，g取10m/s，求： 3(3) 若已知a、b杆的电阻之比Ra∶Rb=3∶4，其余电阻不计，整个过程中a、b上产生的热量

分别是多少？

B a b 412163maghmaghmaghh 2gh49【答案】(1)7 (2)7 (2)49

14. 如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨相距L，放在水平绝缘桌面上，半径为R的l/4圆弧部

分处在竖直平面内且与水平直轨道在最低点相切，水平直导轨部分处在磁感应强度为B，方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘平齐。两金属棒ab、cd垂直于两导轨且与导轨接触良好。棒ab质量为2 m，电阻为r，棒cd的质量为m，电阻为r。重力加速度为g。开始时棒

cd静止在水平直导轨上，棒ab从圆弧顶端无初速度释放，进入水平直导轨后与棒cd始终没

有接触并一直向右运动，最后两棒都离开导轨落到地面上。棒ab与棒cd落地点到桌面边缘的水平距离之比为3:1。求：

(1)棒ab和棒cd离开导轨时的速度大小； (2)棒ab在水平导轨上的最大加速度； (3)棒ab在导轨上运动过程中产生的焦耳热。

622gR2gR7【答案】(1)7 (2)

B2L22gR11a?Q?mgR4mr49 (3)

15. 如图所示，电阻不计的两根平行且弯成直角足够长金属导轨MON、PO＇Q，导轨间距为l，MO、

PO＇处在同一水平面内，磁场方向竖直向上，ON、O＇Q处在同一竖直面内，磁场方向水平向

左，且水平和竖直磁场的磁感应强度大小为B，。如图所示，质量均为m，电阻均为R的两根相同导体棒a、b垂直于导轨分别放在水平部分和竖直部分，开始时使a、b都处于静止状态，不计一切摩擦，两棒始终与导轨接触良好，重力加速度为g，求：

(1) 现释放a，某时刻a的速度为v1，b的速度为v2，需经过

多长时间？

(2) 该时刻a、b与导轨所组成的闭合回路消耗的总电功率； (3) 试确定两棒稳定时的运动情况。

【答案】(1)（v1＋v2）/g (2) Bl（v1－v2）v1/2R (3)最终两杆以相同大小的加速度匀加速液滴加速度为g/2

16. 如图所示，宽度为L的光滑平行金属导轨PQ和P′Q′倾斜放置，顶端QQ′之间连接一个阻值

22

为R的电阻和开关S，底端PP′处通过一小段平滑圆弧与一段光滑水平轨道相连．已知水平轨道离地面的高度为h，两倾斜导轨间有一垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B；有两根长均为L、质量均为m、电阻均为R的金属棒AA′、CC′．当金属棒CC′放置在水平轨道右端时，两水平轨道间就会出现竖直方向的磁感应强度为B1的匀强磁场，此时开关S处于断开状态；而如果金属棒CC′一离开水平轨道，水平轨道间的磁场就马上消失，同时开关S马上闭合．现把金属棒CC′放在光滑水平轨道上右端，金属棒AA′离水平轨道高为H的地方以较大的初速度v0沿轨道下滑，在极短时间内金属棒CC′就向右离开水平轨道，离开水平轨道后在空中做平抛运动，落地点到抛出点通过的水平距离为x1，金属棒AA′最后也落在水平地面上，落地点到抛出点的水平距离为x2；不计导轨电阻，忽略金属棒经过PP′处的机械能损失，不计空气阻力，已知重力加速度为g，求： (1) 判断B1的方向 (2) 通过CC′的电量q

(3) 整个运动过程中金属棒AA′产生的焦耳热Q．

mx1【答案】(1)垂直平面向下 (2)B1L

2)112m(x12?x2gmgH?mv0?2h (3)248h

1、【答案C】A、经过同一位置时：下滑的速度小于上滑的速度，所以到达最低点的速度小于v0，根据动量定理可知，整个过程中合外力的冲量大小小于2mv0，故A错误；

B、下滑时棒受到的安培力小于上滑所受的安培力，则下滑过程安培力的平均值小于上滑过程安培力的平均值，所以上滑导体棒克服安培力做功大于下滑过程克服安培力做功，故上滑过程中电阻R产生的热量大于下滑过程中产生的热量，故B错误．

2

C、对下滑过程根据动能定理得：Q=1/2mv-mgh，因为v＜v0，所以Q＜

2

1/2mv0-mgh，故C正确；D、重力的冲量I=mgt，时间不为零，冲量不为零，故D错误 2、【答案B】对线框进入或穿出磁场过程，设初速度为v1，末速度为v2．由动量定理可知：ＢＩ L△t=mv2-mv1，又电量q=Ｉ△t，得 m（v2-v1）=BLq，得速度变化量△v=v2-v1=ＢＬｑ／ｍ 可知，进入和穿出磁场过程，磁通量的变化量相等，则进入和穿出磁场的两个过程通过导线框横截面积的电量相等，故由上式得知，进入过程导线框的速度变化量等于离开过程导线框的速度变化量． 设完全进入磁场中时，线圈的速度大小为v′，则有 v0-v′=v′-v，解得，v′=（v0+v）／２ ３、【答案Ｄ】A、剪断细线后，导体棒在运动过程中，由于弹簧的作用，导体棒ab、cd反向运动，两棒受力大小相等，但由于质量不同，则产生的加速度不相等，故任意时刻时的速度不等；故A错误；B、在导体棒运动的过程中，穿过导体棒ab、cd与导轨构成矩形回路的磁通量增大，回路中产生感应电动势，导体棒ab、cd电流方向相反，根据左手定则可知两根导体棒所受安培力的方向相反，故B错误．C、两根导体棒和弹簧构成的系统在运动过程中是合外力为0．所以系统动量守恒，但是由于产生感应电流，产生热量，所以一部分机械能转化为内能，所以系统机械能不守恒． ５、【答案ＢＤ】A、ab向右做切割磁感线运动，由右手定则判断知，ab中产生的感应电流方向为b→a，cd中电流方向为d→c，由左手定则判断可知，cd棒所受的安培力方向向右，故cd向右做加速运动．故A错误．

B、C、D，cd向右运动后，开始阶段，两杆的速度差增大，产生回路中产生的感应电动势增大，感应电流增大，两杆所受的安培力都增大，则ab的加速度减小，cd的加速度增大，当两者的加速度相等时，速度之差不变，感应电流不变，安培力不变，两杆均做加速度相同的匀加速运动，在此过程，由左手定则可知，ab所受的安培力方向始终向左，故BD正确，C错误．

６、ab自由下滑，机械能守恒：mgh=１/２mv2

[1] 由于ab、cd串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相

等，金属棒有效长度Lab=3Lcd，故它们的磁场力为：Fab=3Fcd[2] 在磁场力作用下，ab、cd各做变速运动，产生的感应电动势方向相反，当Eab=Ecd时，电路中感应电流为零（I=0），安培力为零，ab、cd运动趋于稳定，此时有：BLabvab=BLcdvcd，所以vab=vcd/3 [3] ab、cd受磁场力作用，动量均发生变化，由动量定理得：

FabΔt=m（v-vab）[4] FcdΔt=mvcd[5] 联立以上各式解得：Vab=

2

机

ab

2cd

Vcd=

（２）根据系统能量守恒可得：Q=ΔE=mgh-１/２m（V+V）=９/１０mgh＼

７、释放a棒后的1s时间内，以a、b棒为系统，安培力对两棒的总冲量为零，重力的冲

量引起两棒的动量发生变化，根据动量定理有：

，解得：＝18m/s，

8、设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为v1和v2,经过很短的时间△t，

杆甲移动距离v1△t，杆乙移动距离v2△t，回路面积改变

由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势杆甲的运动方程所以两杆的动量

回路中的电流

由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，

时为0）等于外力F的冲量

联立以上各式解得

得

９、对全过程应用动量定理有：

而所以有又

其中x为杆滑行的距离所以有

１０、

。

11、

１２、（1）（5分）设绝缘体与金属棒碰前的速率为v1，绝缘棒在导轨由最低点向上滑动的过程

中，由动能定理

（2）（9分）设碰后安培力对金属棒做功为W安，由功能关系，安培力做的功W安等于回路中产生的总电热培力为F安

设金属棒切割磁感线产生的感应电动势为E，回路中感应电流为I，安

F安=Bid

设两棒碰后瞬时金属棒的加速度为a，由牛顿第二定律

（3）（6分）设金属棒在导轨上运动时间为t，在此运动过程中，安培力的冲时为I安，沿导轨方向运用动量定理

由闭合电路欧姆定律13、

由法拉第电磁感应定律

得

12① 14、（1）设ab棒进入水平导轨的速度为v1，ab棒从圆弧导轨滑下机械能守恒：2mgR??2mv12离开导轨时，设ab棒的速度为v1，cd棒的速度为v2，ab棒与cd棒在水平导轨上运动，动量守恒，

///2mv1?2mv1/?mv2 ② 依题意v1>v2，两棒离开导轨做平抛运动的时间相等，由平抛运动水平

////位移x?vt可知v1:v2=x1:x2=3:1 ③（ 2分），联立①②③解得v/?6172/2gR ，v2?72gR

（2）ab棒刚进入水平导轨时，cd棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大，设此时回路的感应电动势为?，??BLv ④ I?? ⑤

2rcd棒受到的安培力为：Fcd?BIL ⑥ 根据牛顿第二定律，cd棒的最大加速度为：a?22⑦联立④⑤⑥⑦解得：a?BL2gR

Fcd m2mr（3）根据能量守恒，两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热为：

//1112/2/2⑧ 联立①⑧并代入v和v解得：Q12Q??2mv1?(?2mv1?mv2)222?22mgR 4916、

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