利用加锤摆精确测量重力加速度的方法

利用加锤摆精确测量重力加速度的方法

西安工程大学学报JournalofXi’anPolytechnicUniversity

　第22卷第2期(总90期)

文章编号:16712850X(2008)0220214206

2008年4月

Vol.22,No.2(Sum.No.90)　

利用加锤摆精确测量重力加速度的方法

刘汉臣1,唐远河2,唐泉清2

(1西安工程大学理学院,陕西西安710048,2.理学院,)

摘要:通过对物理摆周期的计算,.析,得到只要摆锤的几何尺寸相同(),,.所推导的公式为精确测量重力加,周期误差小于0.7关键词:;可调摆锤;回转半径;重力加速度中图分类号:O313.3　　文献标识码:A

测量物理摆(复摆)的周期可以获得当地的重力加速度,而对周期的测量精度直接影响测量结果.以往对物理摆周期的研究和测量多为实验摸索,例如,利用黄金分割法进行极值点的确定,优选物理摆周期的极值,对等周期共轭点等均采用实验方法来确定[127],而对摆锤、周期的测量精度没有详尽的理论解释.本文通过对物理摆周期的全面详尽的研究,为精确测量重力加速度提供理论支撑,最后用自制实验设备[8]作出了实验与理论相符合的结果.

1　物理摆的一般研究

1.1　物理摆周期

如图1所示,假设质量、密度皆已知的任意形状物理摆,其质心位于C点,质量为M,重力沿X轴方向,在摆动平面内过支点O与X轴垂直的方向为Y轴.绕O沿OZ轴的转动惯量为JO,支点到质心的距离即摆长为h.当OC联线偏离竖直方向的夹角为θ时,在重力矩作用下,由转动定律有

22

θ(1)JO(dθ/dt)=-Mghsin.2

θ≈θ,令ω式(1)有椭圆积分解,本文考虑小摆角情况,取近似sin=Mgh/JO,式(1)的解为

θ=θ),(2)t+φ0sin(ωπO/(Mgh).(3)摆的周期为　　　　　　　　　　　　　T=2

θ≈θ的相对误差利用现代光电计时技术,容易作到摆角θ≈1°的较精确周期T的测量,所以引进sin

小于5.1×10-5.在讨论物理摆的周期时,往往对式(3)的周期分别进行单因子讨论.

根据转动惯量的平行轴定理,摆体过质心C和

O点的转动惯量JC、JO有关系

收稿日期:2007210229

基金项目:陕西省教教育厅专项基金资助项目(05JK197,07JK346);陕西省自然科学基金资助项目(2006A08);西安理

工大学创新基金(1082210720);西安理工大学博士启动基金

通讯作者:刘汉臣(19652),男,江苏省邳县人,西安工程大学副教授.主要从事光电信息与测量等方面的研究.E2mail:

ltp200@

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第2期　　　　　　　　　　　　利用加锤摆精确测量重力加速度的方法215

　图1　物理摆　　　　　　图2　摆动周期T与摆轴离中心距离h的关系　　　　　图3　加锤摆

JO=JC+Mh.

2

(4)(5)(6)

式(4)代入式(3),则物理摆的自由摆动周期为

πT(h)=2

由式(5)得重力加速度

π(JC+Mh2)/(2Mh).g=2

实验中只要用数字计时器直接测量摆动周期T,C的位置,对于形状规则的摆可以计算转动惯量JC(6获得当地重力加速度g.在g已知时,运用式(3)C外的任一指定转轴的转动惯量.另外,对任意形状的物理摆,均有J,()M无关,仅与质量的分布有关,令

JC=Ma,

2

C/(Mgh)+h/g.

(7)

称a(5)πT(h)=2

2

a/(gh)+h/g.

(8)

虽然重力加速度g的“一次测量法”简明,但有很大的局限性,尤其是对形状不规则物理摆的JC难以确定,为此,物理实验中常采用“二次测量法”精确测量g.当M及其分布(C点)确定后,实际测量中,改变

h值分别得到周期的两个测量值,运用式(5),有

2

π2(JC+Mh2T1=41)/(Mgh1),2

π2(JC+Mh2T2=42)/(Mgh2),

(9)(10)(11)

联立式(9)和(10),得

222π (h2g=41-h2)/(h1T1-h2T2).

式(11)就消除了JC,所测量的g具有广泛实用性.从式(11)可见,再次说明周期T与质量M的无关性.理论上,虽有任意两组(h1,T1),(h2,T2)实测值,就可由式(11)算出g,但对于一个确定的“物理摆”,选取怎样的两组(h,T)数据,使获得的g最精确,这是要研究的问题.

为了精确测量周期,将式(11)变形222

π2/g=(T241+T2)/[2(h1+h2)]+(T1-T2)/[2(h1-h2)].测量g.

1.2　T(h)的函数规律

(12)

下面研究周期T随摆长h的转动惯量J的变化规律,以确定选取合适的两组(h1,T1),(h2,T2)来精确

π2)=JC/(Mgh)+h/g.将式(5)整理　　　　　　　　　　T2/(4有T→∞,说明h在某处T有极小值.作dT/dh=0,得

Mh

2

(13)

可见T2随h的函数关系是一条变形双曲线,如图2所示.式(13)中当h→0时,T→∞;当h→∞时,也

=JC=Ma.

2

(14)

比较式(14)和式(7),可见当h=a时,亦即支点与质心之间的距离h等于回转半径a时,物理摆出现

周期的极小值.

从图2可见,在共轭A、B二极小值点T以上,平行于横坐标任意画一条Th直线,交图线于C、D、E、Fπ共4个点,这4点皆为等周期点.因OB=OA=a,由TE=TF和式(9)得2

a2+h2F)/(ghF),所以有a2=hE

hF.

a2+h2E)/(ghE)=2π

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216　　　　　　西安工程大学学报　　　　　　　　　第22卷

图2中,由于hD=hE,hC=hF,令DF=CE=l=hF+hE,根据式(9),则hE+hF=hD+hC.(hE+

hF)和(hD+hC)称为等值单摆长.

从图2可见,A、B二共轭点是周期T(h)的极小值点,若在它附近取2个h值来计算g,将引起较大的误差,所以,要想得到精确的g测量值,就只能选取离开B点最大的F点和相应的E点来计算重力加速度g.因为实际测量中孔的非连续性,所选点只能取TE近似于TF点代入式(12)来计算才最精确.

虽然图2中的A、B点在实验中不利于测量出较为精确的g,但是运行在TB(或TA)值下的摆,其性能最稳定.

1.3　物理摆的特例

为提高g的测量精度,历史上在规则结构物理摆的摆杆上,再对称地加2个形体相同、密度不同、位置连续可调的摆锤,这样的摆称之为可倒摆(也称为卡特氏摆).以前对可倒摆的研究往往另外开辟出来单独讨论,我们认为可倒摆仅是物理摆的特例,理由为

(1)　式(11)对形状任意的物理摆成立,所以总有以质心C为对称的图线2某一状态下的TD=TF而已,自然有l=hD+hF=hE+F.

(2)　再由“二次测量法”g的式(12)可见,,这样图3中周期T随h的曲线也随之改变,T2=TF≈TC=T1的2点,则式(12)变为

2=(2F(15)C)/[2(hF+hC)].可见,(g仅是物理摆的特例.所以式(12)的右端第二项具有很小的值,式

(12).

可倒摆使用个形状相同而密度不同的摆锤,其等周期位置的调节似属摸索,摆锤所受的空气阻尼也并非一样,所以不必将其单独细分出来,以免误认为它是一个新实验.1.4　物理摆(无锤)的实验结果

以上内容除将可倒摆纳入物理摆的体系外已较成形[1].实验结果为物理摆的结构为钢质摆杆,其长L=0.6m,宽W=2.3956×10-2m,厚H=7.72×10-3m.在摆杆上,以宽度的中线和中心点C为准,顺长度方向每间隔1cm钻一个孔,共28孔,孔直径为1cm,此摆杆质量M1=0.72420kg,其对C点沿OZ轴的转动惯量JC1=2.20890×10-2kg m2.

将摆杆两端沿中线各附以质量为M2的螺钉称为摆针(作计时使用),螺钉的长度为0.312m,M2=1.650×10-3kg.两螺钉对C点的转动惯量JC2=3.212×10-4kg m2.

在螺丝状的摆针上旋进平衡砣,以调节摆杆的质心恰居中点C,各砣的外直径1.814cm,质量M3=1.891×10-2kg,都按居于针的中部位置计算转动惯量JC3=3.5790×10-3kg m2.根据叠加原理,总质

量M=0.76532kg,总转动惯量JC=2.59892×10-2kg m2.将总质量M、总转动惯量JC和西安地区的标准重力加速度g=9.797m/s2代入式(5),得出物理摆周期的计算值及实测值如表1所示.

表1　物理摆(无锤)周期的实测值与计算值的比较

h

/×10

-2

m

实测周期

/s

1.26561.25051.23661.22561.21731.21701.2240

理论周期

/s

1.26721.25071.23661.22591.21961.21951.2278

相对误差/%

-0.13-0.020.00-0.02-0.19-0.20-0.31

h

/×10

-2

m

实测周期

/s

1.24391.28181.34451.45051.62701.98502.9319

理论周期

/s

1.248

11.28581.35031.45831.64612.01273.0304

相对误差/%

-0.34-0.31-0.41-0.53-1.16-1.40-3.30

27.525.523.521.519.517.515.5

13.511.59.57.55.53.51.5

从表1可见实测值与计算值符合得很好,靠质心处误差较大的原因,是因为摆杆上的孔钻得大了些和C点偏(向下)了一些所致.

从表1的实测数据出发,用“二次法”可较为精确地测量重力加速度g.取h1=0.275m的周期T1=

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第2期　　　　　　　　　　　　利用加锤摆精确测量重力加速度的方法217

1.2656s,再取与T1最接近的周期T2=1.2818s及所对应的h2=0.115m代入式(11),得g=9.7938m/s2,这个测量值与西安地区的标准值g=9.797m/s2相比仅小0.03%.

2　锤移效应

2.1　加锤摆的周期Tm随转动惯量的关系

上面研究了物理摆的周期随摆轴到质心距离的变化规律,下面研究加摆锤周期的变化规律.

如图3所示,原摆的定义如前,且这些参数皆为不变量,在此基础上再增加一个圆柱体摆锤.锤置于x位置处,质量为m,锤本身的半径为r(回转半径为ra=r/).沿CO方向锤移动为轴正方向.加锤摆的总质量为M′=M+m,系统的质心位于C′点,由一次矩原理可得CC′=mx/(M+m),加锤摆的摆长为

h′=h-CC′=h-mx/(M+m).

(16)(17)(18)

由转动惯量的叠加性和平行轴定理,得

2222

JO′=Ma+Mh+mr+m(hx),则加锤摆的摆动方程为

2

(d2θJO′/dt)=-(Mmh.

将式(16)和(17)代入式(18),Tm为

πTm(x)=2

222+h2)/[(M+m)g [h-mx/(M+m)]].

(19)

s=Ma2+Mh2+mr2=JC+Mh2+mr2,k=(M+m)g,将它

们代入式(19πTm(x)=2

s+m(h-x)2)/[k [h-mx/(M+m)]].

(20)

可见加摆锤的式(20)与无摆锤的周期式(8)形式相似,则Tm(x)曲线与图2相似.但是,由于x的取向原因,Tm(x)曲线相当于图2的左叶,Tm(x)的渐近线在h-mx/(M+m)=0处,即xinvolute=(M+m)h/m

时,Tm→∞.在x的负向,当x→-∞时,Tm→+∞.2.2　加锤摆周期的极小值位置

加锤摆的摆动周期式(20)有极小值,对式(20)求dTm/dx=0,得到

xmin=[(M+m)h±

ms+Mh]/m,

2

2

(21)

亦即将摆锤加在式(21)所示的位置,此时周期Tm(x)存在极小值,这样就从理论上给出了加摆锤后物理摆的周期极小值位置.2.3　零质量摆锤的周期

π如果式(20)中m=0,则相当于未加摆锤(零质量)的物理摆,则Tm=0=2π2

JC+Mh2)/(Mgh)=

2

a/(gh)+h/g=Th.也就是说,Th的意义正是与x平行、值为Th的Tm(x)函数曲线,Th也就是无

摆锤在CO=h时摆动的周期值,这也就是研究Tm(x)时为什么x的取向、原点都与原来的Th的h取向、原点是一致的原因,而另取一个有别于h的x是便于讨论、理解.2.4　周期Tm与Th的交点

令有摆锤周期式(20)与无摆锤周期式(8)

s+m(

h-x)2)/[k (h-mx/(M+m))]=2π

22

xsection=[(h-a)±

相交,即Tm=Th,

π则2

2

a/(gh)+h/g,得交点位置

(h2-a2)2+4h2(a2-r2)]/(2h).

(22)

从式(22)可以得到

(1)　交点位置与摆锤质量无关.如果在物理摆上先后加2个形状相同而密度(质量)不同的摆锤,在

xsection处摆的周期保持不变,亦即质量不同的摆锤,T(x)都会按式(22)的规律交于一点,这从理论上阐明

了加锤摆有不变点的规律.

(2)　当r>(h2+a2)/(2h)时,式(22)根号内小于零,导致无解.其物理意义为虽然所加摆锤与质量

无关,但它与质量的分布(回转半径ra)有关,也就是说,圆柱体摆锤的半径必须满足的条件是r<(h2+

222

a)/(2h)　(ra<(h+a)/(2h)).

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218　　　　　　西安工程大学学报　　　　　　　　　第22卷

(3)　当r=(h2+a2)/(2h)时,式(22)的交点变为一个,即x=(h2-a2)/(2h).它是变形双曲线的

最低点与Th的交点.2.5　加锤摆的实验结果

作了加圆柱体的铁和铝锤2种变摆锤实验.在0.6m长的扁平摆杆上,间隔2cm均匀地钻出直径为

).为作好锤移实验,将支撑改为双翼刀口,改变之后,仅增加1cm的28个孔,作为O点的hi(i=1,2,3,…

了刀口很小的质量δm=1.047×10-2kg,其转动惯量δJ=2.1×10-7kg m2.增加双翼刀口后,物理摆的转动惯量J双=(JC+2.1×10-7)kg m2=2.598921×10-2kg m2,质量M双=0.76532+0.01047

=0.77579kg,回转半径a双=

双/M双

=

.598921×10-2/0.77579=0.183031m,h=

0.14505m,铁和铝圆柱体摆锤的质量分别为mFe=0.03145kg、mAl=0.01104kg,圆柱体半径均为r=0.5×10-2m,高为5×10-2m,取g=9.797m/s2.将这些数据代入式(19),分别得到铁和铝圆柱体作为摆锤

的周期函数关系

Fe

πTm(x)=2Al

πTm(x)=2

4.23123×10-2+0.03145(0.14505-x)2)/(90853.-.03896x)),4.23230×10-2+0.01104(0.14505-2)(0.014031x)),

表2将铁、铝变锤摆周期的测量值与计算结果相比较,.

x/m-0.27-0.25-0.23-0.21-0.19-

0.17-0.15-0.13-0.11-0.09-0.07-0.05-0.03-0.01

实测周期

/85.431.234201.234061.231221.229461.227241.225691.225461.224221.222801.220581.220341.22247

/s

561.234031.230021.227841.225201.222841.220811.219101.217711.216641.215941.215551.215501.21586

/-0.50-0.44-0.30-0.51-0.49-0.54-0.53-0.54-0.63-0.62-0.56-0.41-0.40-0.54

x/m+0.01+0.03+0.05+0.07+0.09+0.11

实测周期

/s

1.223271.224091.226301.228751.231361.23311

理论周期

/s

1.216551.217601.219021.220821.223001.22552

相对误差/%

-0.55-0.53-0.60-0.65-0.68-0.62

“刀承碍”“刀口”

+0.17+0.19+0.21+0.23+0.25+0.27

1.242661.247101.252131.256831.262291.26760

1.235551.239681.244221.249161.254501.26026

-0.58-0.60-0.63-0.61-0.62-0.58

表3　铝变锤摆周期的实测值与计算值的比较

x/m-0.27-0.25-0.23-0.01

实测周期

/s

1.238951.237671.236581.23041

理论周期

/s

1.233381.232051.230831.22545

相对误差/%

+0.45+0.46+0.47+0.41

x/m+0.09+0.11+0.17+0.27

实测周期

/s

1.233611.234791.238571.24669

理论周期

/s

1.228051.228961.232491.24101

相对误差/%

+0.45+0.47+0.49+0.46

从表2可见,计算和实际测量周期的极小值都位于-0.03m处,相对误差<0.7%,相对误差均为负的原因估计是质心偏离约0.05mm.

按式(22),加铁锤与铝锤后,二物理摆的周期应与无锤摆m=0的周期在图4上交于一点,这是锤移效应的周期不变点位置,即图4中左边A、B、C和右边M、N、E3均应重合,但实验中出现了ABC和MNE

Fe所示阴影部分的面积.实测值X与计算值X′间有误差.计算了误差的大小为XFe-=-0.234m,X+=

+0.137m;X-=-0.254m,X+=+0.156m.平均值为X-=-0.244m,X+=0.1465m,按式(22)的计算

AlAl

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第2期　　　　　　　　　　　　利用加锤摆精确测量重力加速度的方法值X′=-0.2309,X+′=0.1450m.X与X′相比较的百分误差左右两边分别为5.7%和1.0%.

219

图4是加铁锤和铝锤摆的周期随锤移的实验曲线.图4的实验曲线与图2的理论曲线形状一致.

3　结　论

(1)　论证了可将可倒摆看作是物理摆的

特例.

(2)　加不同密度的摆锤,只要其几何尺寸一样,在T(h)上有相同的交点.

(3)　分析了加锤摆上3个等周期点(质图()心,锤移动曲线上的2个交点)之异同.

(4)　实验与理论计算较为吻合,5.7%,右边为1%.参考文献:

[1]　杨述武.(力学及热学部分)[M].3版.北京:高等教育出版社,2000:1482150.[2]　任红,肖苏,陈冬颖.自制金割效应物理摆的研究性实验[J].物理实验.2006,26(11):36238.[3]　肖苏.大学物理实验[M].合肥:中国科技大学出版社,2004.

[4]　梅忠义,倪菱湖,刘向远.黄金分割法在物理实验中的应用———金割效应物理摆[J].大学物理实验,2006,19(2):51254.[5]　章子旭,王珏.另一种用物理摆测重力加速度的方法[J].大学物理实验,2005,18(4):52254.[6]　鞠衍清.用线性插值法求单摆运动周期的近似解[J].大学物理,2006,25(12):32234.[7]　陈立宏,彭建华,夏彬,等.倒摆运动的混沌行为[J].大学物理,2005,24(9):44247.[8]　刘汉臣,唐远河,唐泉清.物理摆装置:中国,200720032341.2[P].2007207225.

Accuratemethodtomeasureaccelerationgravity

bymeansofhammerpendulum

LIUHan2chen,TANGYuan2he,TANGQuan2qing

1

2

2

(1.SchoolofScience,Xi′anPolytechnicUniversity,Xi′an710048,China;2.SchoolofScience,Xi′anUniversityofTechnology,Xi′an710048,China)

Abstract:Bycalculatedtheperiodofphysicalpendulumdetailedly,theconclusioniseducedthatthereconcilablependulumisonlyaspecialphysicalpendulum.Byanalysisedthedifferentdensityofpendulumhammers,tosamegeometrysize(sameradiusofgyration),therearetwosameperiodpointswhichindependentwithhammer′smasswhentheweightslipalongpendulumstaff.Theinvariabilitypointformulaiseducedalso.Theabove2mentionedformulascanprovidetheoreticalsupportforprecisemeasurementaccelerationof

paringthetheoryresultwiththehome2madeexperiment,therelativeerrorofpe2riodislessthan0.7%.

Keywords:physicalpendulum;period;reconcilablependulum;radiusofgyration;accelerationofgravity

编辑、校对:黄燕萍

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7rae.html