2018年高中数学 四大高频考点例析学案 苏教版选修1-2

哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊四大高频考点例析

归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点，归纳、类比推理大多数考查出现在填空题中，为中低档题，突出了“小而巧”，主要考查类比、归纳推理能力；方式 演绎推理大多数出现在解答题中，为中高档题目，在知识的交汇点处命题，考查学生分析问题、解决问题以及逻辑推理能力． 对本部分知识的学习，要注意做好以下两点：一要熟悉归纳推理、类比推理、备考指要 演绎推理的一般原理、步骤、格式，搞清合情推理与演绎推理的联系与区别；二要把握归纳推理、类比推理、演绎推理的基本应用，在给定的条件下，能够运用归纳推理、类比推理获得新的一般结论，能够运用演绎推理对数学问题进行严格的证明.

[考题印证]

[例1] (陕西高考)观察下列等式 1＝1 1－2＝－3 1－2＋3＝6 1－2＋3－4＝－10 ……

照此规律，第n个等式可为____________________________________． [解析] 观察规律可知，第n个式子为1－2＋3－4＋…＋(－1)

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

n＋12

n＝(－1)n＋

n（n＋1）

2

.

2

2

2

2

[答案] 1－2＋3－4＋…＋(－1)

n＋12

n（n＋1）

n＝(－1)n＋1 2

[例2] (全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．

[解析] 法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.

若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡

1

哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊片上的数字是1和3，满足题意；

若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．

故甲的卡片上的数字是1和3.

法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.

[答案] 1和3

[跟踪演练]

1．观察下列等式：

1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________________________________________________．

解析：由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下： 1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，

即左边底数的和等于右边的底数．故第五个等式为： 1＋2＋3＋4＋5＋6＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝21. 答案：1＋2＋3＋4＋5＋6＝21 2．先阅读下面的文字：“求

1＋1＋1＋…的值时，采用了如下的方法：令

3

3

3

3

3

3

2

3

3

3

3

3

3

2

2

3

3

2

3

3

3

2

3

3

3

3

2

1＋52

1＋1＋1＋…＝x，则有x＝1＋x，两边同时平方，得1＋x＝x，解得x＝(负

2值已舍去)”．可以用类比的方法，求得1＋

2＋

11

的值为________．

11＋

2＋…

11

解析：由1＋＝1＋，

11

2＋2＋

1x1＋

2＋…得2x－2x－1＝0，

1＋31＋3

于是x＝(负值已舍去)，故所求值为.

221＋3

答案： 2

3．下面的数组均由三个数组成：(1，2，3)，(2，4，6)，(3，8，11)，(4，16，20)，

2

2

哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊(5，32，37)，…，(an，bn，cn)．

(1)请写出cn的一个表达式，cn＝______________________________； (2)若数列{cn}的前n项和为Mn，则M10＝________．(用数字作答) 解析：(1)通过观察归纳，得an＝n，bn＝2，cn＝an＋bn＝n＋2. (2)M10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋2＋…＋2)＝2 101. 答案：n＋2 2 101

n2

10

nn

从近几年高考试题看，对本部分内容的考查是应用直接证明和间接证明解决数考查方式 列，立体几何中的平行、垂直，不等式，解析几何等问题，题型大多为解答题，难度为中高档． 备考指要

[考题印证]

[例3] (北京高考)设数列A：a1，a2，…，aN(N≥2)．如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak

(1)对数列A：－2，2，－1，1，3，写出G(A)的所有元素； (2)证明：若数列A中存在an使得an>a1，则G(A)≠?；

(3)证明：若数列A满足an－an－1≤1(n＝2，3，…，N)，则G(A)的元素个数不小于aN－a1.

[解] (1)G(A)的元素为2和5. (2)证明：因为存在an使得an>a1， 所以{i∈N|2≤i≤N，ai>a1}≠?. 记m＝min{i∈N|2≤i≤N，ai>a1}， 则m≥2，且对任意正整数k

3

*

*

在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的. 哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊(3)证明：当aN≤a1时，结论成立． 以下设aN>a1. 由(2)知G(A)≠?.

设G(A)＝{n1，n2，…，np}，n1对i＝0，1，…，p，记Gi＝{k∈N|niani}． 如果Gi≠?，取mi＝min Gi，则对任何1≤k又因为np是G(A)中的最大元素，所以Gp＝?. 从而对任意np≤k≤N，ak≤anp，特别地，aN≤anp. 对i＝0，1，…，p－1，ani＋1－1≤ani.

因此ani＋1＝ani＋1－1＋(ani＋1－ani＋1－1)≤ani＋1.

p*

所以aN－a1≤anp－a1＝? (ani－ani－1)≤p.

i＝1

因此G(A)的元素个数p不小于aN－a1.

[跟踪演练]

4．(北京高考)给定数列a1，a2，…，an，对i＝1，2，3，…，n－1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n－i项ai＋1，ai＋2，…，an的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi.

(1)设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；

(2)设a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0，证明：d1，d2，…，dn－1

是等比数列；

(3)设d1，d2，…，dn－1是公差大于0的等差数列，且d1>0，证明a1，a2，…，an－1是等

差数列．

解：(1)d1＝2，d2＝3，d3＝6. (2)证明：因为a1>0，公比q>1， 所以a1，a2，…，an是递增数列．

因此，对i＝1，2，…，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋1. 于是对i＝1，2，…，n－1，

4

哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a1(1－q)qi－1.

因此di≠0且

di＋1

＝q(i＝1，2，…，n－2)， di即d1，d2，…，dn－1是等比数列．

(3)证明：设d为d1，d2，…，dn－1的公差． 对1≤i≤n－2，因为Bi≤Bi＋1，d>0， 所以Ai＋1＝Bi＋1＋di＋1≥Bi＋di＋d>Bi＋di＝Ai. 又因为Ai＋1＝max{Ai，ai＋1}， 所以ai＋1＝Ai＋1>Ai≥ai.

从而a1，a2，…，an－1是递增数列． 因此Ai＝ai(i＝1，2，…，n－1)． 又因为B1＝A1－d1＝a1－d1

所以B1＝B2＝…＝Bn－1＝an. 所以ai＝Ai＝Bi＋di＝an＋di.

因此对i＝1，2，…，n－2都有ai＋1－ai＝di＋1－di＝d， 即a1，a2，…，an－1是等差数列．

5．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．如图2，将△ABE沿AE折起，使二面角B－AE－C成直二面角，连结BC，BD.

(1)求证：AE⊥BD；

(2)判断DE能否垂直于平面ABC.并说明理由． 解：(1)证明：取AE中点M，连结BM，DM.

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