高考数学大二轮复习 第1部分 专题3 第2讲 三角恒等变换与解三角形练习

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灿若寒星

第一部分 专题三 第二讲 三角恒等变换与解三角形

A 组

1．若2sin(θ＋π3

)＝3sin(π－θ)，则tan θ等于( B ) A ．－33 B ．32

C ．233

D ．2 3

[解析] 由已知得sin θ＋3cos θ＝3sin θ，即2sin θ＝3cos θ，所以tan θ＝

32，故选B ．

2．(文)如果sin α＝45，那么sin(α＋π4)－22

cos α等于( A ) A ．225

B ．－225

C ．425

D ．－425

[解析] sin(α＋π4)－22

cos α ＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225

. (理)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝

102，则tan2α＝( C ) A ．43

B ．34

C ．－34

D ．－43 [解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系．

将sin α＋2cos α＝102

两边平方可得，

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灿若寒星 sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52

， ∴4sin αcos α＋3cos 2α＝32，∴4sin αcos α＋3cos 2

αsin 2α＋cos 2α＝32. 将左边分子分母同除以cos 2α得，

3＋4tan α1＋tan 2α＝32，解得tan α＝3或tan α＝－13

， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34

. 3．若三角形ABC 中，sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，则此三角形的形状是( B )

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．等腰直角三角形 [解析] ∵sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴sin(A －B )＝sin(A

＋B )，∴cos A sin B ＝0，

∵sin B ≠0，∴cos A ＝0，∴A 为直角．

4．钝角三角形ABC 的面积是12

，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( B ) A ．5

B ． 5

C ．2

D ．1

[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式．

∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12·2·1·sin B ＝12

， ∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4

. 当B ＝π4

时， 经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．

∴B ＝3π4

，根据余弦定理， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，解得b ＝5，故选B ．

5．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝( B ) A ． 3

B ．2

C ．2 2

D ．3 [解析] 由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，

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灿若寒星 所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×

32， 即b 2－6b ＋8＝0，解得：b ＝2或b ＝4.

因为b <c ，所以b ＝2.

6．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513

，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( A ) A ．6365

B ．3365

C ．1365

D ．6365或3365

[解析] 依题意得sin β＝45，cos β＝35，注意到sin(α＋β)＝513

<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2

，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－

1213

，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin ＝6365

. 7．(2018·淮北二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝3b 2＋3c

2－23bc sin A ，则C 等于π6

. [解析] 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，

所以b 2＋c 2－2bc cos A ＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ， 3sin A －cos A ＝b 2＋c 2bc ，2sin(A －π6)＝b 2＋c 2bc ≥2，因此b ＝c ，A －π6＝π2?A ＝2π3

，所以C ＝π－2π32＝π6

. 8．(2018·长沙三模)在锐角△ABC 中，D 为BC 的中点，满足∠BAD ＋∠C ＝90°，则角B ，C 的大小关系为B ＝C .(填“B <C ”“B ＝C ”或“B >C ”)

[解析] 设∠BAD ＝α，∠CAD ＝β，

因为∠BAD ＋∠C ＝90°，所以α＝90°－C ，β＝90°－B ，

因为D 为BC 的中点，

所以S △ABD ＝S △ACD ， 所以12c ·AD sin α＝12

b ·AD sin β， 所以

c sin α＝b sin β，所以c cos C ＝b cos B ，

由正弦定理得，sin C cos C ＝sin B cos B ，

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灿若寒星 即sin2C ＝sin2B ，所以2B ＝2C 或2B ＋2C ＝π，

因为△ABC 为锐角三角形，所以B ＝C ．

9．为了竖起一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°， BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳定广告牌，要求AC 越短越好，则AC

最短为

[解析] 由题意设BC ＝x (x >1)米，

AC ＝t (t >0)米，依题设AB ＝AC －0.5

＝(t －0.5)米，

在△ABC 中，由余弦定理得：

AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos60°，

即(t －0.5)2＝t 2＋x 2

－tx ，化简并整理得： t ＝x 2－0.25x －1

(x >1)， 即t ＝x －1＋0.75x －1

＋2， 因为x >1，故t ＝x －1＋0.75x －1

＋2≥2＋3， 当且仅当x ＝1＋32

时取等号，此时取最小值2＋ 3. 10．(2018·全国卷Ⅰ，17)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.

(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC ．

[解析] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin A ＝AB

sin ∠ADB

. 由题设知，5sin45°＝2sin ∠ADB

， 所以sin ∠ADB ＝25. 由题意知，∠ADB ＜90°，

所以cos ∠ADB ＝1－225＝235

. (2)由题意及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝

25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos∠BDC ＝25

＋8－2×5×22

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灿若寒星 ×25

＝25. 所以BC ＝5.

11．(文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．

(1)求cos A 的值；

(2)求sin(2B －A )的值．

[解析] (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝b sin B

， 得a ＝2b .

由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，

得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55

. (2)由(1)，可得sin A ＝255

，代入a sin A ＝4b sin B 中， 得sin B ＝a sin A 4b ＝55

. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255

. 于是sin2B ＝2sin B cos B ＝45

， cos2B ＝1－2sin 2B ＝35

， 故sin(2B －A )＝sin2B cos A －cos2B sin A

＝45×(－55)－35×255＝－255

. (理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35

. (1)求b 和sin A 的值；

(2)求sin(2A ＋π4

)的值． [解析] (1)在△ABC 中，因为a >b ， 所以由sin B ＝35，得cos B ＝45

. 由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，

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灿若寒星 所以b ＝13.

由正弦定理a sin A ＝b sin B

， 得sin A ＝a sin B b ＝31313

. 所以b 的值为13，sin A 的值为

31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313

， 所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213

， cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513

. 所以sin(2A ＋π4)＝sin2A cos π4＋cos2A sin π4＝7226

. B 组

1．(2018·福州三模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，点M 为△ABC 的重心．若aMA →＋bMB →＋

33cMC →＝0，则C ＝( D ) A ．π4

B ．π2

C ．5π6

D ．2π3

[解析] ∵M 为△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝0，

∴MA →＝－MB →－MC →，

∵aMA →＋bMB →＋33

c ·MC →＝0， ∴a ·(－MB →－MC →)＋bMB →＋33

c ·MC →＝0. 即(b －a )·MB →＋(33

c －a )·MC →＝0， ∵MB →与MC →不共线，

∴b －a ＝0，

32c －a ＝0. 得a b 33

c ＝，

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灿若寒星 令a ＝1，b ＝1，c ＝3，

则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋1－32×1×1＝－12

， ∴C ＝2π3

，故选D ． 2．(2018·唐山市一模)若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3

＋2α)＝( A ) A ．－79

B ．79

C ．－29

D ．29

[解析] ∵cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝－(1－29

)＝－79

. 3．(2018·威海二模)已知等腰△ABC 满足AB ＝AC ，3BC ＝2AB ，点D 为BC 边上的一点且AD ＝BD ，则sin ∠ADB 的值为( C )

A ．36

B ．23

C ．223

D ．

63 [解析] 如图，设AB ＝AC ＝a ，AD

＝BD ＝b ，

由3BC ＝2AB ，

得BC ＝233

a ， 在△ABC 中，由余弦定理得，

cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 2

2·AB ·BC

＝a 2＋23a 32－a 2

2×a ×233

a ＝

33.

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灿若寒星∵AB＝AC，

∴∠ABC是锐角，

则sin∠ABC＝1－cos2∠ABC＝

6

3

，

在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，

∴b2＝a2＋b2－2·a·b·

3

3

，

解得a＝

23

3

b，

由正弦定理得，

AD

sin∠ABD

＝

AB

sin∠ADB

，

∴

b

6

3

＝

a

sin∠ADB

，

解得sin∠ADB＝

22

3

.

4．钝角三角形ABC的面积是

1

2

，AB＝1，BC＝2，则AC＝( B )

A．5 B． 5

C．2 D．1

[解析]∵S＝

1

2

AB·BC sin B＝

1

2

×1×2sin B＝

1

2

，

∴sin B＝

2

2

，

∴B＝

π

4

或

3π

4

.

当B＝

3π

4

时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝1＋2＋2＝5，

∴AC＝5，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；

当B＝

π

4

时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝1＋2－2＝1，

∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝ 5.

5．设α∈

?

?

??

?

0，

π

2

，β∈

?

?

??

?

0，

π

2

，且tanα＝

1＋sinβ

cosβ

，则( C )

A．3α－β＝

π

2

B．3α＋β＝

π

2

C．2α－β＝

π

2

D．2α＋β＝

π

2

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灿若寒星 [解析] 因为tan α＝sin αcos α＝1＋sin βcos β

， 去分母得sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，

所以sin αcos β－cos αsin β＝cos α，

即sin(α－β)＝cos α＝sin ? ??

??π2－α. 又因为α∈? ????0，π2，β∈?

????0，π2， 则－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，所以α－β＝π2

－α 故2α－β＝π2

. 6．已知α－β＝π3，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)3－12

. [解析] 因为tan α－tan β＝sin αcos α－sin βcos β＝sin α－βcos αcos β

＝3，且α－β＝π3，所以cos αcos β＝36，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝12，所以sin αsin β＝12－36，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝33－12

. 7．已知点O 是△ABC 的内心，∠BAC ＝30°，BC ＝1，则△BOC 面积的最大值为

4

[解析] 根据角平分线的性质可知，∠BOC ＝105°，

所以在△BOC 中，根据余弦定理有

cos105°＝OB 2＋OC 2－12OB ·OC ＝2－64

， 等价于2－62

·OB ·OC ＝OB 2＋OC 2－1， 即

2－62·OB ·OC ≥2OB ·OC －1， 所以OB ·OC ≤24－2＋6，而S △BOC ＝

12·OB ·OC ·sin105°≤12·sin105°·24－2＋6

＝6＋3－2－24. 8．已知向量m ＝?

????sin A ，12与n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角． (1)求角A 的大小；

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灿若寒星 (2)若BC ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状．

[解析] (1)因为m ∥n ，

所以sin A ·(sin A ＋3cos A )－32

＝0. 所以1－cos2A 2＋32sin2A －32

＝0， 即32sin2A －12cos2A ＝1，即sin ?

????2A －π6＝1. 因为A ∈(0，π)，所以2A －

π6∈? ????－π6，11π6. 故2A －π6＝π2，A ＝π3

. (2)设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc . 而b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ＋4≥2bc ，∴bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)，

所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34

×4＝3， 当△ABC 的面积取最大值时，b ＝c .

又A ＝π3

，故此时△ABC 为等边三角形． 9．(2018·天津卷，15)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ?

????B －π6. (1)求角B 的大小；

(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．

[解析] (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b

sin B ， 可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ?

????B －π6， 得a sin B ＝a cos ? ????B －π6，即sin B ＝cos ?

????B －π6， 所以sin B ＝32cos B ＋12

sin B ，可得tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3

. (2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3

， 有b 2＝a 2＋c 2

－2ac cos B ＝7，故b ＝7.

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灿若寒星由b sin A＝a cos?

?

??

?

B－

π

6

，可得sin A＝

3

7

.

因为a<c，故cos A＝

2

7

.

因此sin2A＝2sin A cos A＝

43

7

，cos2A＝2cos2A－1＝

1

7

.

所以，sin(2A－B)＝sin2A cos B－cos2A sin B＝

43

7

×

1

2

－

1

7

×

3

2

＝

33

14

.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7r3m.html