第三章 静电场中的电介质习题及答案

第三章 静电场中的电介质 一、判断题

11、当同一电容器内部充满同一种均匀电介质后，介质电容器的电容为真空电容器的?r倍。

×

2、对有极分子组成的介质，它的介电常数将随温度而改变。 √

3、在均匀介质中一定没有体分布的极化电荷。（内有自由电荷时，有体分布） ×

4、均匀介质的极化与均匀极化的介质是等效的。 ×

5、在无限大电介质中一定有自由电荷存在。 √

6、如果一平行板电容器始终连在电源两端，则充满均匀电介质后的介质中的场强与真空中场强相等。 √

7、在均匀电介质中，如果没有体分布的自由电荷，就一定没有体分布的极化电荷。 √

?8、在均匀电介质中，只有P为恒矢量时，才没有体分布的极化电荷。

???Px?Py?Pz?Px?Py?Pz???????0p???x??y??z?y?z? P=恒矢量 ?x

×

9、电介质可以带上自由电荷，但导体不能带上极化电荷。 √

????

?10、电位移矢量D仅决定于自由电荷。

×

11、电位移线仅从正自由电荷发出，终止于负自由电荷。 √

???E线连续，EEP线不连续。(其中，f为自由电12、在无自由电荷的两种介质交界面上，f?E荷产生的电场，p为极化电荷产生的电场)

√

13、在两种介质的交界面上，当界面上无面分布的自由电荷时，电位移矢量的法向分量是连续的。 √

14、在两种介质的交界面上，电场强度的法向分量是连续的。 × 15、介质存在时的静电能等于在没有介质的情况下，把自由电荷和极化电荷从无穷远搬到场中原有位置的过程中外力作的功。 × 16、当均匀电介质充满电场存在的整个空间时，介质中的场强为自由电荷单独产生的场强的

?r分之一。

√

二、选择题

1. 一平行板真空电容器，充电到一定电压后与电源切断，把相对介质常数为?r的均匀电

介质充满电容器。则下列说法中不正确的是：

1（A） 介质中的场强为真空中场强的

?r倍。

1?r倍。

（B） 介质中的场强为自由电荷单独产生的场强的（C） 介质中的场强为原来场强的?r倍。 （D） 介质中的场强等于真空中的场强。

1D

2. 如果电容器两极间的电势差保持不变，这个电容器在电介质存在时所储存的自由电荷与

没有电介质（即真空）时所储存的电荷相比

(A)增多 （B）减少 （C）相同 （D）不能比较 A

下列说法中不正确的是： （A）?3. 在图中，A是电量q0的点电荷，B是一小块均匀的电介质，s1、s2和s3都是封闭曲面，

??????D?ds?D?ds?D?ds???sss23（B）1 ?????E?ds?E?ds?E?ds?f?f?f（C）

s1s2s3s3????E?ds??D?dss1

S1S2S3a

Aq0bBc（D）D

Ea?Ef，Eb?Ef，Ec?Ef

4. 在均匀极化的电介质中，挖出一半径为r，高度为?h的圆柱形空腔，圆柱的轴平行于极???????（A）E0??rE

??DE0??0 （B）??（C）D0??0E0

??（D）D0?D

C

E和D的关系为： 化强度P底面与P垂直，当h?r时，则空腔中心E0和D0与介质中h?2rPE5. 在均匀极化的，挖出一半径为r，高度为h的圆柱形空腔，圆柱的轴平行于极化强度??P底面与P垂直，当h?r时，则空腔中心E0和D0与介质中E和D的关系为：

??（?r?1）E （A）E0??h?D0E0??0 （B）??P（C）D0??0E0

??（D）D0??rD

B

2r?E6. 一个介质球其内半径为R，外半径为R+a，在球心有一电量为q0的点电荷，对于R

电场强度为：

q0q0（?r?1）q0q022224???r4??r4??r0r0r4?r（A） (B) (C) (D)

A

7. 一内半径为a，外半径为b的驻体半球壳，如图所示，被沿+Z轴方向均匀极化，设极

??,球心O处的场强是： 化强度为P?Pk?P?E0??K6?0（A）

?P?E0?K6?0 （B）

ba?P?E??K3?0 （C）

O?（D）E0?0

D

z??8. 内外半径为R1和R2的驻极体球壳被均匀极化，极化强度为P；P的方向平行于球壳直

??PE??3?0 (B)E?0 （A）

????P2PE??E?3?0 (D)3?0 (C)

B

9. 半径为R相对介电常数为?r的均匀电介质球的中心放置一点电荷q，则球内电势?的

分布规律是：

径，壳内空腔中任一点的电场强度是：

q4??0r （A）

q??4??0?rr (B)

????(C)

q11q（?）?4??0?rrR4??0R q11（?）4??0?rrR

?? (D)C

10. 球形电容器由半径为R1的导体球和与它同心的导体球壳所构成，球壳的内半径为R2,

其间一半充满相对介电常数为?r的均匀电介质，另一半为空气，如图所示，该电容器的电容为：

4??0?rR1R2R2?R1 （A）

2??0R1R2C1?R2?R1 （B）

C?R2R1?r2??0?rR1R2R2?R1 （C）

2??（01??r）R1R2C?R2?R1（D）

C2?D

11. 把一相对介电常数为?r的均匀电介质球壳套在一半径为a的金属球外，金属球带有电

量q，设介质球壳的内半径为a，外半径为b，则系统的静电能为：

q2W?28??a0（A） q21??1W?（?r）8??0?rab (B) q211W?（?）8??0?rab （C）

q21??r11W?（?）8??0?rab (D)

B

三、填空题

1、如图，有一均匀极化的介质球，半径为R，极

化强度为P，则极化电荷在球心处产生的场强 是（ ）在球外Z轴上任一点产生 的场强是（ ）

2、带电棒能吸引轻小物体的原因是（ ）。

轻小物体由于极化在靠近带电棒一端出现与带电棒异号的极化电荷 3、附图给出了A、B两种介质的分界面，设两种介质 A、B中的极化强度都是与界面垂直，且PA?PB，当

??3P2RP?3?0 3?0Z3

R?PzPA?n由A指向B时，界面上极化电荷为（ ）号。 取e?n由B指向A时，界面上极化电荷为（ ）号。 当e正 负 PB

4、如果电介质中各的（ ）相同，这种介质为均匀电介质。如果电介质的总体或某区域内各点的（ ）相同，这个总体或某区域内是均匀极化的。

AB? P

5、C??rC0成立的条件是（ ）。 介质为均匀介质

6、在两种不同的电介质交界面上，如果交界面上无自由电荷，则E1n?E2n= ( )。

??P?0

7、介质中电场能量密度表示为

?E?1?0?rE22 只适用于（ ）介质。

1???E?D?E2适用于( )介质。

各向同性的均匀线性 线性

8、若先把均匀介质充满平行板电容器，（极板面积为S，极反间距为L，板间介电常数为?r）然后使电容器充电至电压U。在这个过程中，电场能量的增量是（ ）。

?0?rs2U2L

9、平行板电容器的极板面积为s，极板间距为d中间有两层厚度各为d1和d2的均匀介质（d1?d2?d）,它们的相对介电常数分别为?r1和?r2。(1)当金属板上自由电荷的面密度

??f时，两层介质分界面上极化电荷的面密度?p= ( )。

（2）两极板间的

电势差???( )。（3）电容C= （ ）。

为

d1?r2?d2?r1?r1??r2?0?r1?r2s?f?f?r1?r2?0?r1?r2 d2?r1??r2d1

10、如图所示一平行板电容器充满三种不同的电 介质，相对介电常数分别为?r1，?r2和?r3。极 板面积为A，两极板的间距为2d,略去边缘效 应，此电容器的电容是（ )。

A?r1?r2dd11、无限长的圆柱形导体，半径为R，沿轴线单位长度上带电量λ，将此圆柱形导体放在无限大的均匀电介质?r中，则电介质表面的束缚电荷面密度是（ ）。

?0A??r1?r2?r3?????2d?2?r2??r3??

?r312\\半径为a的长直导线，外面套有共轴导体圆筒，筒的内半径为b，导线与圆筒间充满介电常数为?r的均匀介质，沿轴线单位长度上导线带电为λ，圆筒带电为-λ,略去边缘效应，则沿轴线单位长度的电场能量是（ ）。

（??1）??r2??rR

?13、一圆柱形的电介质截面积为S，长为L，被沿着轴线方向极化，已知极化强度P沿X

方向，且P=KX（K为比例常数）

坐标原点取在圆柱的一个端面上，如图所示 则极化电荷的体密度（ ） 在X=L的端面上极化电荷面密度为（ ） 极化电荷的总电量为（ ）。

?2bln4??0?ra

yo?Pxz?P??K ?P?KL QP?0

14、在如图所示的电荷系中相对其位形中心的偶极矩为（ ）。

?q2q

d0

dd

d

四、问答题

?q2q1、电介质的极化和导体的静电感应，两者的微观过程有何不同？

答：从微观看，金属中有大量自由电子，在电场的作用下可以在导体内位移，使导体中的电荷重新分布。结果在导体表面出感应电荷。达到静电平衡时感应电荷所产生的电场与外加电场相抵消，导体中的合场强为零。导体中自由电子的宏观移动停止。在介质中，电子与原子核的结合相当紧密。电子处于束缚状态，在电场的作用下，只能作一微观的相对位移或者它们之间连线稍微改变方向。结果出现束缚电荷。束缚电荷所产生的电场只能部分地抵消外场，达到稳定时，电介质内部的电场不为零。

2、为什么要引入电位移矢量D？E与D哪个更基本些？

答：当我们研究有电介质存在的电场时，由于介质受电场影响而极化，出现极化电荷，极化电荷的场反过来改变原来场的分布。空间任一点的场仍是自由电荷和极化电荷共同产生即：

??? ? E?Ef?Ep

因此，要求介质中的E，必须同时知道自由电荷及极化电荷的分布。而极化电荷的分布取决

????P???E0于介质的形状和极化强度P，而,而E正是要求的电场强度。这样似乎形成计算上

???D?dS?q0的循环，为了克服这一困难，引入辅助量D。由?S知，只要已知自由电荷，原则

?????D???E0r上即可求D，再由求E。故D更基本些。

3、把平行板电容器的一个极板置于液态电介质中，极板平面与液面平行，当电容器与电源连

接时会产生什么现象？为什么？

答：当电容器与电源连接时，电容器将离开电介质。这是因为当考虑电容器边缘效应时两极板外表面也带上等量异号电荷，当其中一极板平面与液面平行时，由于介质极化，该极板电荷所受到的静电力小于另一极板电荷所受到静电力。且二者方向相反电容器整体受一个向上的合力作用。

五、证明题

1、一个半径为R的电介质球，球内均匀地分布着自由电荷，体密度为

22?r?1?fR?3?0 2?r证明：当r?R时以球心为心，r为半径作球面（高斯面）

?如图虚线所示，由对称性和D的高斯定理得

??432D?dS?D?4?r????r1f?S13?f，设介质是线性、

各向同性和均匀的，相对介电常数为?r，试证明球心和无穷远处的电势差是：

r?r?frRD1??f3r

??由D??0?rE得

?frE1???0?r3?0?r

D1当r?R时取高斯面如图虚线所示，同理得

取无限远处电势为零，则球心与无限远处的电势差等于球心电势。根据电势与场强的关系得

??423D?dS?D?4?r????R2f?S23?fR3D2?3r2?fR3E2?3?0r2

????????0??E1?dl??E2?dl ??R03?fr??fRdr??dr2R3?0?r3?0r?fR2?fR2 ??6?0?r3?0?fR2 ?3?0?1???1??2?r???

?fR2?2?r?1? ?3?02?r六、计算题

1、将一个半径为a的均匀介质球放在电场强度为E0的均匀电场中；电场E0由两块带等量

异号电荷的无限大的平行板所产生，假定介质球的引入未改变平板上的电荷分布，介质的相对介电常数为εr，

（1）求介质小球的总电偶极矩

（2）若用一个同样大小的理想导体做成的小圆球代替上述介质球（并设E0不变），求导体球上感应电荷的等效电偶极矩。 解：（1）均匀介质球放在均匀电场中将被均匀极化，故只有球面上有极化电荷，设极化电荷面密度为?'，在球心产生的电场强度为E'，则球心的场强为

????EC?E0?E?……①

如图1-1因

?????n?P?Pcos?……②

E???由于余弦分布带电球面在球内产生匀强电场，所以根据对称性可得球内的场强为

dq?1cos??4??0a24??0a2P?2?sin?cos?d??02?0

??0???2?a2sin?cos?d?

a?'??E0?r?

?其方向与E0方向相反

所以

P3?0……③ 图1-1

P3?0……④ ??根据P与E的关系 P?Pc??（）Ec……⑤ 0?r?1Ec?E0?由④、⑤式得

P?由极化强度定义得介质球的总电偶极矩为

3（?r?1）?0E0?r?2

P0?PV??4?a33（?r?1）?04E0??a3?r?23 ?（）0?r?1E0?r?2……⑥

（2）将导体球放在均匀电场中，导体球感应电荷面密度为余弦分布，如图1-2所示设根据对称性则球内的场强为

????0cos? ???Ecdq?1cos??4??0a24??0a2??0???2?a2sin?cos?d?

?0??02?sin?cos?d???02?0 3?0……⑦ ?其方向与E0方向相反

由静电平衡条件得

dq??0E0?Ec??Ec?0?E03?0 图1-2

2------a?+?'+++++?E0?0?3?0E0……⑧

在球面上取一电偶极子，电量为dq?2?asin?d?偶极子臂为l?2a，根据对称性，元电偶极矩为

dP????2?a2sin?d??2a?cos?

32?cos?d?……⑨ ??04?asin由⑧、⑨式得感应电荷的等效电偶极矩为

P?12??0aE0?2sin?cos2?d?30?

?12??0a3E0? ?4??0aE0313

??P2、一圆柱形电介质长为L，其横截面的半径为R，被沿着轴线方向极化，极化强度?kxi（k为一常数），设坐标原点O在介质圆柱内左端面的中心，此外无其它电场源，试求：

（1）在介质圆柱中心一点的电场强度E和电位移D； （2）在坐标原点O处的电场强度E和电位移D。 解：极化电荷的体密度为

?P???P??K?x

1即介质内均匀地分布差负的体极化电荷，在x?0的端面上的极化电荷面密度为

?P?Pn??Px?0?0

在x?L的端面上的极化电荷密度为 ?P?Pn?Px?L?KL

122（1）在圆柱中心体极化电荷不产生场，只有在X=L处而极化电荷产生场，根据均匀带电圆盘轴线上的场强公式得

??PE??2（1?2?0L2L2R?4L2?）i

KL?（1?）i222?04R?L ????D??E?P0由电位移矢量定义式得中心处的D为

??（2）在圆柱端部中心的场由体极化电荷和面极化电荷共同产生。在距原点x处，取一圆盘，厚度dx如图所示，其上电量为 圆盘上电荷面密度为

?KLKL2KL?KL2?D?（???）i?i22222224R?L24R?L

dqP?K?R2dx

oxx该圆盘在原点O处产生的电场为

K?R2dx?P???kdx?R2

dx??x?dEeP?P(1?)i2?0R2?x2 Kdxx??（1?）i2?0R2?x2

L体极化电荷在原点O处产生的电场强度为

面极化电荷在原点O处产生的电场强度为

??kdx?xKLK????1??i?E?P??x?0?2?22?2?0?2?0R?x???0KLKKR??（?R2?L2?）i2?02?02?0

???i??

R2?x2L0????i?

?kL?LE?P???1?22?R2?L2????E?E?P2?E?P

KLKL2KLK?（????2?02?0R2?L22?02?0

KRL2R2?L2??（1??）i222?0RRR?LR2?L2?KR?）i2?0

?

原点处电位移矢量为 KRR?（1?)i2?0R2?L2

3、一块柱极体圆片，半径为R，厚度为t，在平行于轴线的方向上永久极化，且极化是均匀的，极化强为P， 试计算在轴线上的场强E和电位移D（包括圆片内外）。 解： 在垂直x轴的两个外表面均匀带正负面极化电荷，如图所示，其面密度为

????KRR?D??0E?P??0E?（1?2）i22R?L

对在圆片内任一点而言两表面相当无穷大均匀带电平面，圆片内电场强度为

???p???p?n??p ???p?n电位移矢量为

?PPP??E内??（?）i??i2?02?0?0

对圆片内外轴线任一点而言，两表面相当于均匀带电圆盘。

???P??D??0E内?P???0i?Pi?0t??x?x??2?处，正负带电圆盘产生的场强分别为 在距原点?tx???2?E????（1?）i2?0t2RR2?（x?）2

???ptx?P2???（1?）i2?0t2R2?（x?）2 tx?P2?E??（1?）i2?0t2R2?（x?）2

该处的总电场强度为 Px??pxtx?E?E??E??（t2x??t2

因为t很小，用台劳级数将上式在t=0处展开，取前两项

t2R2?（x?）2t2R2?（x?）2?）i

x?f（t）?t2x??t2取

则有

t2R2?（x?）2t2R2?（x?）2

f（0）?0

所以

f?（0）?3222（R?x）

R2?P?f（0）?f?（0）t?i?E?2?0

PR2t??（0?）i32?0（R2?x2）2?PR2t2222?（0R?x）3?i

电位移矢量为

???D??0E?P?P（1?R2t（2R2?x2）23?）i

4、半导体器件的p-n结中，n型内有不受晶格束缚的自由电子、p型区内则有相当于正电荷的空穴。由于两区交界处自由电子和空穴密度不同，电子向p区扩散，空穴向n区扩散，在结的两边留下杂质离子，因而产生电场，阻止电荷继续扩散，当扩散作用与电场的作用相平衡时，电荷及电场的分布达到稳定状态，而在结内形成了一个偶电区（如图如示），称为阻挡层。现设半导体材料的相对介电常数为?，结外电荷体密度??x??0，结内电荷的体分布为??x???ekx -a?x?a,线性缓慢变结式中e为电子电量，k为常数，试求p-n结内电场强度和电势的分布，并画出??x?、E?x?和??x?随x变化的曲线。

解：建立坐标轴如图4-1所示，在结内距原点x'处取宽度为dx'的无限大平面，该平面电荷密度为

该带电平面在结内P点产生的场强为

、、??????x、?dx、

n区P区++--??x?dx?++-dE??-++-2?0?r2?0?r --BPO?a++--OB区电荷在P点产生的场强为

- +++-- + + +--EBO??dE??

Aax12?0?r?a0ekx、dx、dx 图4-1

12a?x、|02?0?r2

ekeka2? 4?0?r

所以

OP区电荷在P点产生的场强为 图4-2

?eka2?EBO?i4?0?r

1EOP所以

ekx2?ekxdx?2?0?r?04?0?r

x、、

PA区电荷在P点产生的场强为 图4-3

?ekx2?EOP??i4?0?r

12?0?rek4?0?rek4?0?raEPA??所以

?xekx、dx、(a2?x2)

图4-4

由叠加原理得P点的总场强为

2222ekaekxekaekx????????EP内?EBO?EOP?EPA4?0?r4?0?r4?0?r4?0?r

ek?(?a?x?a)?(a2?x2)i2?0?r

场强随x变化曲线如图4-3所示

?EPA??(a2?x2)i由高斯定理知，结外的场强为

?EP外?0 , x?a在结内任意点P的电势为

当?a?x?a 取x?0,??0

?P内??EP内dx??x00ek2?0?rx?a2?x2dx? ?ek?213?0ekx3a2?x2?ax?x?|x??2?0?r?3?6?0?r

??当x?a时,电势为?P外1??0ek2?0?ra?a2?x2?dxek?213?0eka3 ??ax?x?|a??2?0?r?3?3?0?r当x?a时电势为0ek?P外2??a2?x2?dx??a2??0r ?ek?213?0ekax?x|????a2?0?r?3?3?0?r

电势随x变化曲线如图4-4所示，结内电荷体密度随x变化曲线如图4-2所示。

5、半导体器件的p-n结中，n型内有不受晶格束缚的自由电子、p型区内则有相当于正电荷的空穴。由于两区交界处自由电子和空穴密度不同，电子向p区扩散，空穴向n区扩散，在结的两边留下杂质离子，因而产生电场，阻止电荷继续扩散，当扩散作用与电场的作用相平衡时，电荷及电场的分布达到稳定状态，而在结内形成了一个偶电区（如图5-1所示），称为阻挡层。现设半导体材料的相对介电常数为?，如果电荷的体分布为

?x??NDe

p区：??x???NAe

n区：?式中ND,NA是常数，e为电子数且

（突变结）

NAxp?NDxN，其中xp和xn各为p区和n区的厚度，

试求结内电场强度和电势的分布并画出??x?、E?x?和??x?随x变化的曲线。

解：建立坐标轴，如图5-1所示，在P区内距原点x处找一个考察点P，P点的场强由三部分即BO段、OP段和PA段体分布电荷产生的。每一段即可看成是由许多无限大带电平面组成的，其电荷面密度为???dx'

pn pn? xxx ?x?oBoABppA xnxpxpxn 图5-1 图5-2 图5-3

xdE?由

?dx'2?0得

?EBO?EOPNDexnNDexndx'?2?0?02?0 NexNe??A?dx???Ax2?002?0 图5-4 xEPA?

NAexPNAe?dx?(xP?x)?x2?02?0

所以，P点的总场强为

EP?NDexnNAeNe?xP?Ax2?02?0?0

E?

NAe(xP?x)?0

x 图5-5

取原点电势为零，由电势定义得

?P??EPdx?x0在n区内取一点P，如图5-2所示 同理得各段在P点的场强为

NAex(2xP?x)2?0

EOAEOPNAexPNAexPNDexn?dx??2?0?02?02?0 Ne??Dx2?0EPB?所以，P点的总场强为

同理可得P点的电势为

NDe(xn?x)2?0

(xn?x)EP?NDe?0??画出??x?、??x?和E?x?随x变化曲线如图5-3、5-4、5-5所示

6、平行板电容器的极板面积为S，间距为d，其间充满线性的、各向同性的电介质。介质的相对介电常数εr在一极板处为εrl，线性地增加到另一极板处为εr2。略去边缘效应。 （1）求这电容器的电容C；

（2）当两极板上的电荷分别为Q和-Q时，求介质内极化电荷体密度和表面上极化电荷的面密度。 解：（1）建立坐标轴，如图所示 设?r?kx??r1 ， 0?x?d 则 由此得

NDex(2xn?x)2?0

OSx?r2?kd??r1 k?ddx因此板间任一点的介电常数为

?r2??r1d x

将平行板电容器的电容视为无限多个平行板电容元组成，如图所示，取距坐标原点为x，厚度为dx一个电容元，该电容元的电容为

?r??r2??r1dx??r1dC??0?rsdx??0(?r2??r1ddxx??r1)s

其倒数为

积分得

?r2??r1x??r1)1dxdd??????dC?0(?r2??r1)s?r2??r1r1?0s(r2x??r1)x??r1dd

d(???r11dd?ln(r2x??r1)0C?0(?r2??r1)sd

?dlnr2?r1? ?0(?r2??r1)s

所以

C??0(?r2??r1)sdln?r2?r1

(2)作一圆柱形高斯面S，如图中虚线所示，由介质中的高斯定理量为

???D?dS?QS，得电位移矢

D?QS

E?P??ED由与的关系和

为

?0?r?????0?rS根据电位移矢量定义式D??0E?P得，极化强度

QP?D??0E?极化电荷体密度为

Q1Q?r?1Q??S?rS?rS

?Q1??r???S?r2?x ??'???P????1?QQ??1???r????x?x??r?SS?x??r ??正极板处的极化强度为

Qd??r2??r1???r2??r1?Q1?r2??r1Q????22S?r2dS??r2??r1S????x?d?????r1??r2r1d?x??r1??d?

Q1Q?r1?1Q??S?r1S?r1S

P1?D??0E1?板表面上的极化电荷面密度为

'??P?P1?n??P1??1负极板处的极化强度为

?r1?1Q?r1S

板表面上的极化电荷面密度为

P2?D??0E2???r2?1?Q?r2S

C?C1?C2?2??0?r?L?x?2??0x?R3RR2ln2ln??rlnR1 图18-3 R1R3电容器储存的能量为

由虚功原理得

???????L?x11x?U2rW?CU2?2??0???R3R2?R222lnln??ln??rRRR1?13?

C2x????C1L?x?r?W12??F??????0U??RR3R2??x0lnln??ln??rRRR113? 图18-4 ?外力作功为

??L?r1A??Fdx????0U2???R20RRln3??rln2?lnR1R3?R1???1??r2????0UL???lnR21lnR2??1lnR2?r?R2R?2R?111? =

???L???

??????LU2??1?r1?2r??0????0LU1?R?1R?r?1??r?1??ln2?ln2?2?R1?R1

另解：介质全部抽出时，电容器的能量为

介质未抽出时，电容器的能量为

??0LU212W2?C2U?R2ln2R1

1W1?C1U2?2根据功能关系知，全部抽出介质时，外力所作的机械功为

2??0?rLU2?R3RR2ln2?1??r?ln??rlnR1R1R3

??0?rLU2A???W2?W1?????0LU2?lnR2R12?r?1??1??r????0LU2?r?1???R?ln2?r?1R1

19、一平行板电容器由两块平行的矩形导体平板构成，平板宽为b,面积为S，两板间距为d，设两极板间平行地放一块厚度为t、大小与极板相同、相对介电常数为?r的电介质平板，两

极板所带的电量分别为+Q和-Q。现将介质平板沿其长度方向从电容器内往外拉，以至它只有长度为x的一段还留在两板之间。

（1）问这时介质平板受到的电场力的方向如何？ （2）试证明，这时介质平板受到的电力为

Q2dbt'?d?t'? 2?0?S?d?t'??xbt'?其中

2t'?t??r?1??r（忽略边缘效应）

解：（1）在电场中电介质被极化，其表面上产生极化电荷。在平行板电容器的边缘，由于边右的分量，因此，电介质将受到一个向右的合力 （2）电容器由两部分并联而成，这两部分的电容分别为

?缘效应，电场是不均匀的，场强E对电介质中正负电荷的作用力都有一个沿板面向

C1?电容器的电容为

?0b?a?x?d

?d?t?1t??C2?0?rbx?0bx

?0?rbxC2??r?d?t??t C?C1?C2?a?QSd?rtx???b?0b?a?x?d??r?d?t??t?0?rbx?b?a?x???rbx??0???d?d?t?t??r???b?a?x?bx???0???dd?t'??

?

?0??ab?d?t'??bxt'???d?t'?d

t'?其中

电容器所储蓄的静电能为量

?r?1t?r

由虚功原理知，作用在介质片上的力为

Q2W?2C

?d?t'?dQ2?1Q2???W?F????????2?xC2?x?0?ab?d?t'??bxt'???x?Q?bt'?d?t'?d???2?????abd?t'?bxt'??Q2bt'?d?t'?dQ2bt'?d?t'?d ??222?0?ab(d?t')?bxt'?2?0?S(d?t')?bxt'?Q2 ??2?0

?20、一半径为R的电介质球，球内均匀地分布着自由电荷，体密度为f，设介质是线性、各向同性和均匀的，相对介电常数为?r，求（a）电介质球内的静电能；（b）这一带电系统

的总静电能。

解：（a）根据对称性和高斯定理得球内外的电位移矢量和电场强度分别为

D内?43?fr??r?24?r33

?f?fRr?frE内???0?r3?0?rD内?r?f43?fR3D外??R?4?r233r2

?fR3E外?3?0r2

电介质球内的静电能为

RRW???内dV??00?f1D内E内dV?218?0?r2?R0r24?r2dr ?52??2fR45?0?r

（b）带电系统的总静电能为

W???内dV???外dVo0RR

?11D内E内4?r2dr??D外E外4?r2dr02R22??2fR52??2fR5??45?0?r9?0??R?

2??2fR5?1?5?r?45?0?r

21、平行板空气电容器两极板A、B相距为l，竖直地插在相对介电常数为?r、密度为?的均匀液态电介质中（如图21-1所示），两极板间保持着一定的电势差U，则液态电介质在两板间会上升一定高度h，若不计表面张力作用，试求作用在液体电介质表面单位面积上的平均牵引力T和液面上升的高度h。

解：带电的平行板电容器插入液态电介质中使液体沿与平板电容器两板的分界面产生极化电荷，在静电吸引力作用下液体被吸上来，直至液体重力与静电吸引力平衡为止。 如图21-2所示，高度为h的液态电介质所受到的重力为

电容器是由两部分并联组成，设介质进入极板间的高度为x时，两部分的电容分别为

Fg?mg??Vg??Shg??lahg

C1??0a?b?x?l ，

C2??0?raxl

U电容器的电容为

C?C1?C2?电容器储能为

?0a?b???r?1?x0?l

W?由虚功原理知，静电力作功为 图21-1

?a?b???r?1?x?21CU2?0U22l

h根据平衡条件得

?W?0aV2Fe????r?1??x2l

UFe?Fgb h ?0aV22l

??r?1???lahgal整理上式介质的高度为 图21-2

?0??r?1?V2h?2?gl2

作用在液态电介质表面单位面积上的平均牵引力为

Fe?0aV2??r?a?V2T???2?0??r?1?al2lal2l

22、当用高能电子轰击一块有机玻璃时，电子渗入有机玻璃并被内部玻璃所俘获。例如，当一个0.5?A的电子束轰击面积为25cm2、厚为12mm的有机玻璃板（相对介电常数?r?3.2）达1s，几乎所有的电子都渗入表面之下约5~7mm的层内。设这有机玻璃板的两面都与接地的导体板接触，忽略边缘效应，并设陷入的电子在有机玻璃中均匀分布，如图22-1所示。 （1）求带电区的极化电荷的密度； （2）求有机玻璃表面的极化电荷密度；

（3）画出D、E、?（电势）作为电介质内部的位置函数的图形； （4）求带电层中心的电势；

（5）求在两接地导体板之间的没有电荷区域内的场强； （6）求这有机玻璃板里贮存的静电能。

解（1）由电流强度定义知

I?q q?Itt

?r?r带电区电荷体密度为

qIt0.5?10?6?e????3.33?10?2c/m3?4?3VV25?10?6?10……① 图22-1

如图22-2所示在带电区内作柱形高斯面，坐标原点在对称中心，由高斯定理得层内任一点

???处的D、E、P值为

S???D?dS?2D??S?2x?S?eD??ex……②

?Sxd?6mml?12mmE?D?0?r??ex?0?r……③ 图22-2

P??0??r?1?E??0??r?1??ex??r?1??ex??0?r?r……④

取

x?d2，得带电层表面处的极化强度为

Pd?2??r?a??e?rd2???r?1??ed2?r……⑤

带电层表面极化电荷面密度为

??Pd2'd2?r?1??ed?3.2?1??3.33?10?2?6?10?3????6.87?10?5c/m2?r2?3.2……⑥

（2）作一个包围带电层的柱形高斯面，如图22-2所示，由高斯定理得

2D??S??S?ed

dD??e2……⑦ ?dE?e2?0?r……⑧

P??0??r?1??ed??r?1??ed?2?0?r2?r……⑨

有机玻璃表面的极化电荷面密度为

???P???l??P?n??r?1?d??e2?r??6.87?10?5c/m2……⑩

(3)带电层内任一点电势为

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