原子弹爆炸的能量估计和量纲分析

攀枝花学院

学生课程设计（论文）

题 目： 原子弹爆炸的能量估计与量纲分析 学生姓名： 学 号： 所在院(系)： 数学与计算机学院 专 业： 班 级： 指 导 教 师： 马 亮 亮

2016年 6 月 24 日 攀枝花学院教务处制

攀枝花学院本科学生课程设计任务书

题 目 1、课程设计的目的 原子弹爆炸的能量估计与量纲分析 通过课程设计，加深学生对代数方程，差分方程，以及二者构造的数学模型有更深刻的认识；同时，加强学生的自我学习能力和动手能力。 2、课程设计的内容和要求（包括原始数据、技术要求、工作要求等） 按照指导老师给出的课程设计题目和课程设计要求，独立完成本次课程设计，并且撰写相应的完整的课程设计报告。 3、主要参考文献 《数学建模与数学实验（第3版）》 高等教育出版社 2008.1 《常用数学软件教程》 人民邮电出版社 2008.10 《数值分析与应用》 国防工业出版社 2007.1 《数学规划[M]》山东教育出版社，1997.12 4、课程设计工作进度计划 序号 1 2 3 4 总计 时间（天） 1 2 1 1 5 内容安排 分析设计准备 编程调试阶段 撰写课程设计报告 考核 日期 备注 周一 周二和周三 周四 周五 年 月 日 指导教师（签字） 教研室意见： 年 月 日 学生（签字）： 接受任务时间： 年 月 日 注：任务书由指导教师填写。

课程设计（论文）指导教师成绩评定表

题目名称 评分项目 工作 表现 20% 01 02 03 04 05 06 07 08 学习态度 科学实践、调研 课题工作量 综合运用知识的能力 应用文献的能力 设计（实验）能力，方案的设计能力 计算及计算机应用能力 对计算或实验结果的分析能力（综合分析能力、技术经济分析能力） 插图（或图纸）质量、篇幅、设计（论文）规范化程度 设计说明书（论文）质量 创新 原子弹爆炸的能量估计与量纲分析 分值 6 7 7 10 5 5 5 10 得分 评价内涵 遵守各项纪律，工作刻苦努力，具有良好的科学工作态度。 通过实验、试验、查阅文献、深入生产实践等渠道获取与课程设计有关的材料。 按期圆满完成规定的任务，工作量饱满。 能运用所学知识和技能去发现与解决实际问题，能正确处理实验数据，能对课题进行理论分析，得出有价值的结论。 能独立查阅相关文献和从事其他调研；能提出并较好地论述课题的实施方案；有收集、加工各种信息及获取新知识的能力。 能正确设计实验方案，独立进行装置安装、调试、操作等实验工作，数据正确、可靠；研究思路清晰、完整。 具有较强的数据运算与处理能力；能运用计算机进行资料搜集、加工、处理和辅助设计等。 具有较强的数据收集、分析、处理、综合的能力。 能力 水平 35% 成果 质量 45% 09 10 11 5 30 10 符合本专业相关规范或规定要求；规范化符合本文件第五条要求。 综述简练完整，有见解；立论正确，论述充分，结论严谨合理；实验正确，分析处理科学。 对前人工作有改进或突破，或有独特见解。 成绩 指导教师评语 指导教师签名： 年 月 日 摘 要

我们都学过用列代数方程的方法解简化的应用问题，实际上，对于工程设计技术和社会经济领域中的许多问题，当不考虑时间因素的变化时，作为静态问题处理时，常常可以建立代数方程模型。

建立一些问题的微分方程模型，如果出于计算或应用上的考虑，将微分方程离散化就得到差分方程，而也有一些实际问题，直接简历差分方程模型更方便。

把代数方程模型和差分方程模型合在一起，用它们都具有的、类似的矩阵，向量的数学表达形式，以及求解过程中的相互联系，可以更好的解决一些实际模型问题。

关键字： 微分方程、数学模型、差分方程、实际问题

I

目 录

摘 要 ....................................................................................................................... I 目 录 .................................................................................................................. II 一 问题分析 ................................................................................................................. 1 二 模型假设 ................................................................................................................. 6 三 符号说明 ................................................................................................................. 6 四 模型建立 ................................................................................................................. 7 五 模型检验 ................................................................................................................. 9

量纲分析在物理模拟中的应用...................................................................... 9 抛射问题........................................................................................................ 11

参考文献 ..................................................................................................................... 16

II

一 问题分析

1949年7月16日，美国科学家子啊新墨西哥州的沙漠试爆了全球第一颗原子弹（图1），这一事件令全世界为之震惊，并从某种程度上改变了第二次世界大战以及战后世界的历史。但在当时，有关原子弹爆炸的资料都是保密的，一般人无法得到任何有关的数据或者影像资料，因此无法比较准确地了解这次爆炸的威力究竟有多大。两年以后，美国政府首次公开了这次爆炸的录像带，但是没有发布任何其他的相关的资料。英国物理学家Taylor(1886-1975)通过研究这次爆炸的录像带，建立数学模型对这次爆炸所释放的能量进行了估计，得到的估计值为19.2?103t(103相当于1000tTNT的核子能量)。后来正式公布的信息显示，这次爆炸实际释放的能量为21?103t，与Taylor的估计值想当接近。

除开公开的影像资料，Taylor不掌握这次原子弹爆炸的其他任何信息，他如何估计爆炸释放的能量呢？物理常识告诉我们，爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播，爆炸产生的能量越大，在一定时刻冲击波传播的越远，而冲击波有通过爆炸产生的“蘑菇云”反映出来。Taylor研究这次爆炸的录像带，测量出了从爆炸开始，不同时刻爆炸所产生的“蘑菇云”的半径，表1是他测量出的时刻t所对应的“蘑菇云”的半径r。

图1原子弹爆炸示意图

1

表1 时刻t所对应的“蘑菇云”的半径r

t r(t) 0.10 11.1 0.24 19.9 0.38 25.4 0.52 28.8 0.66 31.9 Taylor是首先用量纲分析方法建立数学模型，然后辅以小型试验，又利用表1的数据，对原子弹爆炸的能量进行估计的。

量纲齐次原则 量纲分析是20世纪初提出的在物理和工程等领域的建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定物理量之间的关系。

许多物理量是有量纲的，在物理研究中把若干物理量的量纲作为基本量纲。他们是相互独立的，另一些物理量的量纲则可根据其定义或物理定律由基本量纲推导出来，称为导出量纲。例如：在研究力学问题时，通常将长度l、质量m和时间t的量纲作为基本量纲，记以相应的大写之母L、M和T。在量纲分析中，物理量q的量纲记作[q],于是有[q]=L,[m]=M, [t]=T.而速度v、加速度a的量纲可以按照其定义表为?v??LT?1，?a??LT?2，力f的量纲则应根据牛顿第二定律用质量和加速度的乘积表示，即?f??LMT?2，这些就是导出量纲。

有些物理常数也有量纲，如在万有引力定律f?km1m2中引力常数2r t r(t) 0.80 34.2 0.94 36.3 1.08 38.9 1.22 41.0 1.36 42.8 t r(t) 1.50 44.4 1.65 46.0 1.79 46.9 1.93 48.7 3.26 59.0 t r(t) 3.53 61.1 3.80 62.9 4.07 64.3 4.34 65.6 4.61 67.3 t r(t) 15.0 106.5 25.0 130.0 34.0 145.0 53.0 175.0 62.0 185.0 fr2，k的量纲可以从力f、长度r和质量m的量纲得到：k?m1m2

2

[k]?LMT?2?L2?M?2?L3M?1T?2。对于无量纲的量 ?，记[?]?L0M0T0?1。

用数学公式表示一些物理量之间的关系是公式等号两端必须有相同的量纲，称为量纲齐次性（Dimensional Homogeneity）.量纲分析就是利用量纲齐次原则来建立物理量之间的数学模型。先看一些简单的例子。

例 单摆运动 这是一个大家都熟知的物理现象。质量m的小球系在长度为

l的线的一端，稍偏离平衡位置后小球在重力mg作用下（g为重力加速度）作往

复摆动，忽略阻力，求摆动周期t的表达式。

在这个问题上出现的物理量有t，m，l，g，设它们之间的关系是

t??m?1l?2g?3 1）

其中?1，?2，?3是待定常数，?是无量纲的比例系数。（1）式的量纲表达式为

?3?1?2[t]?[m][l][g] 2）

将[t]?T，[m]?M，[l]?L，[g]?LT?2代入得 按照量纲齐次原则有

1??3?2T?M?1?LT?3 3）

?0??1???2??3?0 4） ??2?3?1?（4）的解为?1?0,?2?1,?3??1，代入（1）式得 22

t??l 5） g我们看到，用非常简单的方法得到的（5）式与用比较深入的力学知识推出的结果是一样的。

为了导出用量纲分析建模的一般方法，将这个例子中的各个物理量之间的关

3

系写作

f(t,m,l,g)?0 6）

这里没有因变量与自变量之分，进而假设（6）式形如

ty1my2ly3gy4?? 7）

其中y1,y2,y3,y4是待定常数，?是无量纲常数。将t,l,m,g的量纲用基本量纲

L,M,T表示为[t]?L0M0T1，[m]?L0M1T0，[l]?L1M0T0，[g]?L1M0T?2，则（7）

式的量纲表达式可写作

02304(L0M0T1)y1(L0M1Ty)(L1M0yT)(L1?M0yT?)200L08）MT

即

由量纲齐次原则有

Ly3?y4My2Ty1?2y4?L0M0T0 9）

y3?y4?0??y2?0??y?2y4?0?1 10)

方程组10）有一个基本解

代入7）式得

y?(y1,y2y,3y,T4)?(2?,0,T 1, 1) 11）

t2l?1g?? 12）

4

6）式可以等价地表示为

F(?)?0 13）

12），13）两式式量纲分析方法从6）式导出的一般结果，前面的5）式只是它的特殊表达形式。

把6）到13）式得推导过程一般化，就是著名的白金汉?定理。

?定理 设m个有量纲的物理量q1,q2,...,qm之间存在与量纲单位的选取无关的

物理定律，数学上可表示为

f(q1,q2,...,qm)?0 14）

若基本量纲记作X1,X2,...,Xn（n?m），而q1,q2,...,qm的量纲可表为

nij[q]?X?i,j?1,2,...,m 15） j

ai?1矩阵A?(aij)n?m称量纲矩阵，若A的秩

设线性齐次方程组 的m?r个基本解记作

RankA?r 16）

Ay?0,y?(y1,y2,...,ym)T 17）

y(s)?(y1(s),y2(s),...,ym(s))T,s?1,2,...,m?r 18）

则存在m?r个相互独立的无量纲量

5

???qj?1ms)y(jj,s?1,2,...,m?r 19）

且

F(?1,?2,...,?m?r)?0 20）

19），20）与14）式等价，F是一个未定的函数关系。

二 模型假设

1. 原子弹的爆炸是在瞬间完成的，不考虑爆炸过程的核反应过程。 2. 原子弹爆炸产生的能量主要是以冲击波的兴衰表现出来。不考虑其它（如辐射）的影响。

3. 只考虑冲击波的动力学特征。

4. 冲击波可以通过爆炸形成的“蘑菇云”来表征。

三 符号说明

符号 t E ? P r 说明 时间（s） 能量（J） 空气密度（kg/m3） 大气压强（Pa） 半径（m）

6

四 模型建立

原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模

记原子弹爆炸能量为E，将“蘑菇云”的形状近似的看成一个球形，记时刻与r有关的物理量还可能有“蘑菇云”周围的空气密度（记为?）t球的半径为r，

和大气压强（记为P），于是r作为t的函数还有与E，P，?有关，要寻求的关系是

更一般的形式记作

r??(t,E?,,P ) 21）

f(r,t,E,P?,?) 0 22）

其中有5个物理量，22）相当于?定理的14）式，下面利用?定理解决这个问题。

取长度L，质量M和时间T为基本量纲，22）中各个物理量的量纲分别是

2?2?3?1?2[r]?L,[t?]T,E[?]LMT?,[?]LM,?P[]LT23） M

由此得到量纲矩阵

A3?5?102?3?1?????00111? 24） ?01?20?2???因为A的秩是3，所以齐次方程 有5-3=2个基本解。

令y1?1,y5?0，得到一个基本解y?(1,?2,?1,1,0)T；令y1?0,y5?1，

555Ay?0,y?(1y,2y,3y,4y,T5y ) 25）

得到另一个基本解y?(0,65,?25,?35,1)T。由这2个基本解可以得到2个无量纲量

?1?rtE??r(?25?1515?tE2) 26）

15 7

?2?tE?65?25?35t6?551?(32) 27）

?E且存在某个函数F，使得 与22）式等价。

为了得到形如21）式得关系，取28）式得特殊形式?1??(?2)（其中?是某

F(?1,?2)?0 28）

个函数），由26），27）式即

1t6P515 r(2)??(23) 29）

tE5E??于是

t6P51)?(23)5 30） r?(?E?t2E函数?的具体形式需要采用其他方式确定，30)式就是用量纲分析方法建立的、估计原子弹爆炸能量的数学模型。

原子弹爆炸能量估计的数值计算

为了利用表1中的t和r的数据，由30）式确定原子弹爆炸的能量E，必须先估计无量纲量?(?2)的大小。

Taylor认为，对原子弹爆炸来说，所经历的时间非常短，而释放的能量非常。

15t6?51仔细分析27）式可知，?2?(32)5?0。于是?(0)可看作一个比例系数?，将

?E30）式记作

r??(t2E?) 31）

15为了确定?的大小，Taylor借助一些小型的爆炸试验的数据，最终决定取??1，这样就得到能量E的近似估计 E??r5t28

32）

利用表1中的时刻t所对应的“蘑菇云”的半径r作拟合来估计能量E，相当于取32）式右端的平均值，取空气密度为??1.25kg/m3，可得到

32E?8.2825?1013J。查表可知10t?4.1?841J1，0所以爆炸的能量是

19.7957?103t,与实际值21?103t相差不大。

31）或32）式还表明，当E,?一定时，r与t成正比，我们可以用表1的数据检验一下这个关系。设

25r?abt 33）

其中a,b是待定系数，对33）式取对数后可以用线性最小二乘法拟合，根据表1中t和r的资料确定。经过计算得到b?0.4058，与量纲分析得到的结果非常接近。33）式与实际数据拟合的情况如图2.

250200150100500010203040506070

图2 、33）式（曲线）与实际数据（+）的拟合

五 模型检验

量纲分析在物理模拟中的应用 当直接研究实际生活中的原型

遇到困难时，一种解决办法就是在实验室条件下，按照一定的比例尺构造它的物

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理模型，通过队名的研究得出原型的结果，成为物理模拟。量纲分析可以指导物理模拟中比例尺的确定。

为研究大海波浪对船舶的阻力，建造船舶模型进行物理模拟。根据经验和物理知识，相关的物理量除阻力f外，有船舶的速度v、船体尺寸l、浸没面积s、海水密度?和重力加速度g，将它们的关系记作

利用?定理可以得到

?(f,v,l,s?,,g?) 0 34）

?12?1?fl?g,?2?vl?3?1?1g?12,?3?l?2s,F(?1,?2,?3)?0 35）

由35）式写出阻力f的显式表达式

f?l3?g?(?2,?3) 36）

将上述物理量和35），36）式对应于原型船，用f?,v?,l?,s?,??,g?及

????3??1??1???12??2??????fl?g,??vl,??ls,F(?231,?2,?3)?0 37） 1

??f??l?3??g??(?2,?3) 38）

对应于模型船，注意36)和38）中的函数?是一样的。于是当无量纲量

?2??2?,?3??3?，即

由36）和38）可得

vv?ss??,??2??l2llglg 39）

fl3?g??3???l?g 40） f

?????g?g海水的密度和重力加速度的条件容易满足，所以由39）式，在

进行物理模拟时只需要保证

v?? v

lsl2,??(?)?lsl 41）

10

就有

fl3?()??l f 42）

这样，确定了原型和模型船体的比例l:l，只要模拟时使得41）式成立，在测得

?f模型船所受阻力后，就可由42）式计算原型船受的阻力f了。

?抛射问题 在星球表面以初速度v竖直向上发射火箭，记星球的半径为

r，星球表面重力加速度为g，忽略阻力，讨论发射高度x随时间t的变化规律。 设x轴竖直向上，在发射时刻t?0火箭高度x?0。火箭和星球的质量记作m1和

m2，则由牛顿第二定律和万有引力定律可得

m1x????k

m1m2(x?r)2 43）

??xx?0以时??g代入43）式，并注意初始条件，抛射问题满足如下方程

???r2g?x??(x?r)2???x(0)?0?x?(0)?v??? 44）

44）的解可表示为

x?x(t;r;v;g) 45）

即发射高度x是以r,v,g为参数的时间t的函数。这里的目的不是研究这个函数的具体形式，而是讨论用无量纲化方法简化它的途径。

45）式包含3个独立参数r,v,g，由45）式得到的进一步的结果，如火箭到达最高点的时间

tM?t|x??0，必定是这3个参数的函数tM??(r,v,g)。如果方程

44）变得稍微复杂以致必须用数值发求解时，对不同的参数r,v和g，tM的竖直就要用3维表格给出。用无量纲化的方法可以减少独立参数的个数，达到简化模型的目的。

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以长度和时间量纲L,T为基本量纲，问题中的变量x,t和参数r,v,g的量纲表达式为

[x]?L,[t]?T,[r]?L,[v]?LT?1,[g]?LT?2

所谓无量纲化是指：对于变量x和t分别构造具有相同量纲的额单数组合xc和tc使新变量

x?xt,t?xctc

为无量纲量。xc称特征长度，tc称特征时间，统称特征尺度或参考尺度。利用新变量x和t，表达式45）可以简化。

特征尺度xc和tc由参数r,v,g构成，并应与x和t有相同的量纲，即

[xc]?L,[tc]?T。这样的xc和tc由多种构造方法，下面举例几种。

?1x?r,t?rvcct ?1、令，则 x ? x / r , vt / r ，利用求导数规则可以算出

dx??vxdtv2d2xv2?????x?x2rdtr ??vx?和??x，方程39）在在新变量x,t下的表达式为 x对t的导数以下简记为x1v???,????x??2(x?1)rg??x(0)?0,x?(0)?1?2 46）

46）的解可表示为

x?x(t;e) 47）

它只含一个独立参数?，不难验证?式无量纲量。原方程的解x?x(t;r;v;g)中的3个参数以无量纲组合形式?出现在表达式47）中，简化了原来的结果。

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2、令

xc?r,tc?rg?1，类似的计算可将方程44）化为

??1???x?(x?1)2???x(0)?0?2v?(0)??x?,???rg?其解的表达式仍为47）式

2?1?1x?vg,t?vgcc3、令，方程44）化为

48）

???1v2,???x??2(?x?1)rg??x(0)?0,x?(0)?1?其解的表达式也是47）式。

49）

还可以构造其他形式的特征尺度xc和tc，得到其他形式的方程。以上3种构

造特征尺度的方法虽然把方程44）的解45）式简化为47）式这一点上是共同的，但是进一步分析发现，他们之间仍有重要差别。

我们知道，按照今天的技术，在地球表面发射火箭时，初速v将满足

3? 10? 8000( rg ? 6370 ? 9.8 ? m / s ) ?? v 所以必然有???1，既然?如此之小，能不能在方程46），48），49），中舍

弃以?为因子的项，从而得到方程的近似解呢？ 如果在方程46）中令??0，则46）变为

1?0,2 ( x?1) 50） ?(0)?1x(0)?0,x

50）式显然无解，所以不能再方程46）中舍弃?的项。 如果在方程46）中令??0，则48）变为

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1??x??, 2(x?1)

?,0 )? x ( ? 0 x ( 0 ) 0 51）

x(t)?051）式的解显然满足 ，而原方程44）的解x(t)?0，所以不能从方程48）得到原方程的近似解，即不能再48）中舍弃?的项。

如果在方程49）中令??0，则49）变为

?? ? ? 1, x

? x (0) ? 0, x (0) ? 1 52）

52）的解显然为 2t x(t)???t 2 53） 代回原变量 x和t，53）式等价于

x(t)??

1gt2?vt2 54）

不难看出，如果在原抛射问题中假定：火箭发射过程中受到星球引力 m1g不变，

那么微分方程为

???gx ??? ?x(0)?0 ? ? ( 0 ) ? v 55） ?x

54）式正是方程55）的解，而将55）与原方程44）对比，因为发射高度x?r，所以55）是44）的近似方程，这就说明可以在方程49）中舍弃?的项，得到近似解。

第3中构造特征尺度xc和tc的方法之所以能够忽略?的项，成功的得到原问

题的近似解的原因，在于xc和tc选的合适。从物理学容易知道，当初速度比较小时，火箭在定常引力m1g作用下到达最高点的时间为g，到达的最高距离为v2?12?12g，所以选择tc?vg,xc?vg，与t和x的大小相当。这样，无量纲量

v 14

x?xt,t?xctc大体具有单位尺度，于是t,x,x,x组成的新方程中，含有因子?的

???项相对于不含?的项而言，就可以舍弃了。

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参考文献

《数学建模与数学实验（第3版）》 高等教育出版社 2008.1 《常用数学软件教程》 人民邮电出版社 2008.10 《数值分析与应用》 国防工业出版社 2007.1 《数学规划[M]》山东教育出版社，1997.12 《数学模型（第四版）》高等教育出版社，2011.1

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7qxo.html