弹塑性力学习题集

第二章 应力

例题????ij1 0 ?4?? ??? 0 3 0?????4 0 5??面上的法向正应力和切向剪应力?1?222例1如图所示，试写出其边界条件。?v?us?0?u?0,?0(1)x?0,??xv?0?y(2)qhh求在n??解111e1?e2?e32222T1?l?11?m?21?n?31?1?1?1?0?1?(?4)22?sx?a,l?1,m?0X?0,Y?0l(?x)s?m(?xy)s?Xm(?y)s?l(?xy)s?Yxay(4)y??h,l?0,m??1X?0,Y?01113T2?l?12?m?22?n?32??0??3??0??222211152T3?l?13?m?23?n?33??(?4)??0??5??2?2222??x?s?0,??xy?s?0(3)??x?s?0???xy?s?(?1)?0l?0,m??1y??h,X?0,Y?q????(?1)?????0?0????0,????0ysxysysxys111?3?1?52?7???22?N?T1l?T2m?T3n??(?22)?????????2??222?2?2?2??22??T12＋T22＋T33－?N?127?4822????(?1)?????0?q?????q,????0ysxysysxys??x?s?0???xy?s?(?1)?0 例2 如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为?，试写出边界条件。解：在x=0上，l= ?1，m =0，X??yY?0??1x(?x)x=0?(?1)+(?yx)x=0?0 = ?y(?xy)x=0?(?1)+(?y)x=0?0 = 0 (?x)x=0= ??y (?xy)x=0?在斜边上l=cos?，m = ?sin??xcos???yxsin?= 0 y?xycos???ysin?= 0 第四章本构关系

例.一薄壁圆管，平均半径为R，壁厚为t，受内压p作用，讨论下列两种情况：（1）管的两端是自由的；（2）管的两端是封闭的；分别使用Mises和Tresca屈服条件，讨论p多大时管子开始屈服（规定纯剪时两种屈服条件重合）解：将Mises和Tresca中的材料常数k1和k2都使用纯剪时的屈服极限表示，并使得两种屈服条件重合，则有Mises屈服条件:Tresca屈服条件:（1）管的两端是自由的；应力状态为，?z=0，??=pR/t，?r=0，?zr=?r?=??z=0J2==122[(?z??r)2+(?r???)2+(????z)2+6(?2)]zr??r????z611[2(pR/t)2]=(pR/t)236?1??3=??=pR/t对于Mises屈服条件:J2J2=?s2?1??3=2?s=k22? ?s2?p?3??st/R对于Tresca屈服条件:?1??3=k1=2?s?p=2?st/R 1

（2）管段的两端是封闭的；应力状态为，?z=pR/2t，??=pR/t，?r=0，?zr=?r?=??z=0J2=例.一种材料在二维主应力空间中进行试验，所得屈服时的应力状态为(?1，?2)=(3t，t)，假定此材料为各向同性，与静水压力无关且拉压屈服应力相等。（1）由上述条件推断在?1－?2空间中的各屈服点应力。（2）证明Mises屈服条件在?1－?2空间中的曲线通过（a）中所有点。解：由于静水压力无关的条件得出屈服在以下各点会发生：(?1，?2，?3) = (3t，t，0)+ (?3t，?3t，?3t)= (0，?2t，?3t)11322[(?z??r)2+(?r???)2+(????z)2+6(?2(pR/t)2zr??r????z)]=626?1??3=??=pR/t对于Mises屈服条件：对于Tresca屈服条件：p=2?st/Rp=2?st/R(?1，?2，?3) = (3t，t，0)+ (?t，?t，?t)= (2t，0，?t) 还有，由于拉压屈服应力相等，因而可得到?1－?2空间中的另外再由于各向同性的条件，很容易看出?1－?2空间中的以下五个应力点也是屈服点A2：(?1，?2，?3)=(t，3t，0)六个应力屈服点A3：(?1，?2，?3)=(?3t，?t，0)A4：(?1，?2，?3)=(?t，?3t，0)B3：(?1，?2，?3)=(3t，2t，0)B1：(?1，?2，?3)=(?3t，?2t，0)B2：(?1，?2，?3)=(?2t，?3t，0)C1：(?1，?2，?3)=(2t，?t，0)C2：(?1，?2，?3)=(?t，2t，0)。B4：(?1，?2，?3)=(2t，3t，0)C3：(?1，?2，?3)=(?2t，t，0)C4：(?1，?2，?3)=(t，?2t，0)因此，根据这些点的数据，可以作出在?1－?2空间中的屈服面。容易证明Mises屈服条件222?1??22??1?2???7t通过以上所有屈服点 讨论:平衡方程为:P?N1?2N2cos300?(?1?3?2)h3h3几何关系为:h3h3?svh3v33??1?2?v,?2?4h42本构方程为:?1?v,?1?P?s当???s时，??E?当???s时，???s?E1(???s)E?E1???s(1?1)E?s?s 2

弹性解: 当P足够小时,三杆均处于弹hh弹塑性解:h3h3性状态,应力与应变成比例.33由于?32?4?1故?32?4?1P?(?)??331?3?21(1?4)因为?1??2所以?1??2,P杆1最先到达塑性状态,当??v1??s时，1?h??s于是桁架开始出现塑性变形的载荷为P31??s(1?34)P1称为弹性极限载荷．塑性解:?1??s,?2??s,P?P2由基本方程可得P?EE3?E11?(1?1E)?s?3[E1?2?(1?1E)?s]?E1v(1?33)Ehhh4?(1?1E)(1?3)?s33在P由零逐渐增加（单调加载）的过程中，桁架变形可以分为三个不同的阶段P例一薄壁圆管同时受拉,扭和内压作用，有应力分量?1z,??,??z,泊松比??2,求：（１）当应力分量之间保持?z?2???3??z比例从零开始加载，问?z多大时开始进入屈服？（２）开始屈服后，继续给以应力增量，满足d??z?0及d?z?2d??．求对应的d?z及d??值．分别对Mises和Tresca两种屈服条件进行分析．3

?1??s,?2??s,P?P1由基本方程可得P?E1?1??Es(1?1)?2E?2cos300E?EvE13h(E?34)?(1?E1E)?sP当?3v2??s时,即?2?4h??s时,桁架全部进入塑性状态，对应的载荷为P?E?EEvE211??s(1?1E)?2?scos300?1h??s(1?3?1E)hh33在弹塑性阶段，１杆虽然进入塑性状态，但由于其P余两杆仍处于弹性阶段，１杆的塑性变形受到限制，整个桁架的变形仍限制在弹性变形的量级，这个阶段可称为约束的塑性变形阶段．在塑性阶段，三杆都进入塑性状态，桁架的变形大于弹性变形量级．一般说来，所有的弹塑性结构在外力的作用下，都会有这样三个变形的阶段．Mises：屈服准则为f1??2z???2??z???3??2z??2s?0?z?2???3??z代入上式得到?z?1213?s屈服后，增量本构关系为：

d??d?z9d?z8G???z8E?z将其展开后得f????z???2??2??2????2?z?(?s??z???2)2?0f22??s?z??s??????z???z??2s?0?6z?7?s时达到屈服．将该式微分，得(?s???)d?z?(?s??z)d???2??zd??z?0第五章 弹塑性力学问题的提法

例题qxz

Tresca：2?',\??z????????2?z???2?????2??z因为?z?2???3??z?2?z???1,2?2????z???????2????2?z,?3?0所以，屈服准则为：2?1??3??z????????2?z???2?????2??z??sd?1d??z?d?z2?E?d?(?s???)d??1?d?d??z?2E?d?(?s??z)d???z??dG?2d???z?0根据问题的对称性，位移应只是z的函数w=w(z)体积应变是???u?x??v?wdw?y??z?dz代入平衡微分方程???2G?d2wdz2??g?0w???1????1?2??E?1????g?z?A?22?BB代表刚度位移，应由位移边界条件确定4

应力是?=??xy= ?1???g(z+A)?z= ??g(z+A)?xy=?yz=?zx=0应用边界条件求待定常数L=m=0, n=1X?Y?0Z?q边界条件是：??z?z=0=q解得：A=q/?g根据材料力学的方法,在圆拄体扭转时,截面上发生与半径垂直且与点到圆心的距离成正比例的剪应力???Gr这里?表示单位长度的扭转角.将?向Ox 和Oy 轴方向分解,?zx???sin????Grsin???其中cos??x,sin??yzy??cos???Grcos???rr假设其余的应力分量全为零,则?zx???Gy,?zy??Gx??x??y??z??xy?0??上面的解在体力为零时,是满足平衡微分方程的.现在校核是否满足边界条件.根据题设条件,作用于z=L端面上的外力Xv,Yv,Zv静力上等效于扭矩M , 而其具体分布情况是不清楚的,因此,对应力分量?zx,?zy,也只能从放松的意义上要求它们满足z=L这一端的边界条件, 即: 如果他们也静力等效于扭矩M ,则应力分量?zx???Gy,?zy??Gx??就是圆柱体扭装时的解x??y??z??xy?0??事实上端面上的主矢投影为:???zxdxdy???G??ydxdy?0???zydxdy??G??xdxdy?0端面上的主矩为:M???(x?zy?y?zx)dxdy??G??(x2?y2)dxdy??GIp??MGIp习题5-1 用逆解法求解圆柱体的扭转问题zMzLO?zxy??y?OzyMzxx边界条件(侧面).Xv??zxn?zY??v?zyn?MzZv??xzl??yzm??L在圆柱侧面上,有OyXv?Yv?Zv?0??Mzl?cos??xxr,m?sin??y?r,n?0??将应力代入上面,应力满足圆柱侧面上的边界条件.考察圆柱的两端, 在z=l 处,l?0,m?0,n?1边界条件变为:Xv??zx?Y?v??zy?Zv?0??5

第六章 弹塑性平面问题

例6.1 设一简支梁的中部上、下两表面，在2a解：首先将载荷展开为富里叶级数，最普遍的情况下，上部边界(y??t)和下部边界(y?t)的载荷分别表示为(qu)y??t?E0??Ensin(qd)y?tn?x?'n?x???Encosll??n?1n?1???n?xn?x?'?G0??Gnsin??Gncosll?n?1n?1??范围内对称地作用均布载荷q.(如图6.7所示)。如此梁的厚度为1个单位，不计体力，试求其应力分量。(1)注意载荷实际作用区域为qu?qd?0,(?l?x??a，，a?x?l)??qu?qd??q,(?a?x?a)?(2)式中E0,G0表示整个梁的均匀分布载荷，式(1)中的全部系数均可用富里叶系数的公式求出。图6.7 局部受均布载荷简支粱1l?q(x)dx???l2l?1ln?x?an??q(x)cosdx?l?ll?1ln?x?bn??q(x)sindx?l?ll?a0?由图6.7可知，所示载荷对称于y轴，是x的偶函数，故式(1)的展开式只含将q(x)?q代入上式可得''En?Gn??E0,G0及余弦项，其中E0?G0?1lqaqaq(x)dx???dx???2l?l2l?al?qan?x2qn?cosdx??sina?l?aln?l(5)(3)',由于常数E0,G0,En的存在，该问题可理解为上、下分别作用均布载荷,Gn'n?x'可由载荷展开式q(x)?(4)而系数EnEncos?ln?1m?x，并在区间[?l,l]运用通常求富里叶系数的办法，两边乘以cosl积分，有E0?G0??qa，再加上后面的三角级数所表示的载荷。l于是，可以分别计算每一部分载荷所产生的应力，然后再叠加。对于上、下面作用均布压缩载荷???llq(x)cos?l(m?n)?0m?xn?xm?x'dx???Encoscosdx??'?lllln?1?lEm(m?n)'Em?由此可得1lm?xq(x)cosdx??lll'En?而1ln?xq(x)cosdx??lllqal2qn?2qn?''sinaEn??sina，Gn??n?ln?lqa，相应的应力分量为l(6)?x??xy?0,?y??由于m为任意整数，所以可换成n，于是得'同理也可得Gn。这些载荷所产生的应力分量，可依据应力函数表达式求得，即sh(??)??sh?,ch(??)??ch??nch?nt?C??Bch?nt??ntsh?nt????nsh?nt''?Dn??Ansh?nt??ntch?nt??'n'n，则可得如果在该梁上的分布载荷??''Bn?Cn?0?'Esh?nt??ntch?nt??'An??n?2?nsh2?nt?2?nt??'2En?nsh?nt'?Dn?2??nsh2?nt?2?nt?q(9)作用范围不断缩小，即随着这短段的缩小达到极限情况，就得到梁受两个相向集中压力的情形，这种情况下的所以式(7)中的常数可全部确定，将式(9)代入式(7)，即得相应的应力分量，再加上式?x??xy?0,?y??qa中由均布载荷而产生的应l?y沿x方向的分布曲线如图b所示，由该图可见，?y随x的增大而迅速衰减。应力这一计算实例，可以说明圣维南原理对此也是是正确的。力，即得梁总的应力分量计算式。如?y的表达式为?y??sin?naqa4q??[(sh?nt??ntch?nt)ch?ny?l?n?1n(sh2?nt?2?nt)??nysh?ntsh?ny]cos?nx

6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7qth.html