2016年四川省泸州市中考数学试卷(解析版)

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2016年四川省泸州市中考数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分

1．6的相反数为（ ）

A ．﹣6

B ．6

C ．﹣

D ．

2．计算3a 2﹣a 2的结果是（ ）

A ．4a 2

B ．3a 2

C ．2a 2

D ．3

3．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．将5570000用科学记数法表示正确的是（ ）

A ．5.57×105

B ．5.57×106

C ．5.57×107

D ．5.57×108

5．下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6．数据4，8，4，6，3的众数和平均数分别是（ ）

A ．5，4

B ．8，5

C ．6，5

D ．4，5

7．在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

8．如图，?ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO 的周长是（ ）

A ．10

B ．14

C ．20

D ．22

9．若关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）

A ．k ≥1

B ．k ＞1

C ．k ＜1

D ．k ≤1

10．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

11．如图，矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且BF=2FC ，AF 分别与DE 、DB 相交于点M ，N ，则MN 的长为（ ）

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A ．

B ．

C ．

D ．

12．已知二次函数y=ax 2﹣bx ﹣2（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a ﹣b 为整数时，ab 的值为（ ）

A ．或1

B ．或1

C ．或

D ．或

二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分

13．分式方程﹣=0的根是 ．

14．分解因式：2a 2+4a+2= ．

15．若二次函数y=2x 2﹣4x ﹣1的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，则+的值为 ．

16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，0），B （1﹣a ，0），C （1+a ，0）（a ＞0），点P 在以D （4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a 的最大值是 ．

三、本大题共3小题，每小题6分，共18分

17．计算：（﹣1）0﹣

×sin60°+（﹣2）2． 18．如图，C 是线段AB 的中点，CD=BE ，CD ∥BE ．求证：∠D=∠E ．

19．化简：（a+1﹣）?．

四．本大题共2小题，每小题7分，共14分

20．为了解某地区七年级学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，从该地区随机抽取部分七年级学生作为样本，采用问卷调

查

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的方法收集数据（参与问卷调查的每名同学只能选择其中一类节目），并调查

完成）

根据表、图提供的信息，解决以下问题：（1）计算出表中a 、b 的值；

（2）求扇形统计图中表示“动画”部分所对应的扇形的圆心角度数；

（3）若该地区七年级学生共有47500人，试估计该地区七年级学生中喜爱“新闻”类电视节目的学生有多少人？

21．某商店购买60件A 商品和30件B 商品共用了1080元，购买50件A 商品和20件B 商品共用了880元．

（1）A 、B 两种商品的单价分别是多少元？

（2）已知该商店购买B 商品的件数比购买A 商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A 、B 两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A 、B 两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？

五．本大题共2小题，每小题8分，共16分

22．如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处60米的点D （点D 与楼底C 在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈

，计算结果用根号表示，不取近

似值）．

23

．如

图，一次函数y=kx+b （k ＜0）与反比例函数y=的图象相交于A 、B 两点，一次函数的图象与y 轴相交于点C ，已知点A （4，1）

（1）求反比例函数的解析式；

（2）连接OB （O 是坐标原点），若△BOC 的面积为3，求该一次函数的解析式．

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六．本大题共2小题，每小题12分，共24分

24．如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 为⊙O 的直径，BD 与AC 相交于点H ，AC 的延长线与过点B 的直线相交于点E ，且∠A=∠EBC ．

（1）求证：BE 是⊙O 的切线；

（2）已知CG ∥EB ，且CG 与BD 、BA 分别相交于点F 、G ，若BG ?BA=48，FG=，DF=2BF ，求AH 的值．

25．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线l 与抛物线y=mx 2+nx 相交于A （1，3），B （4，0）两点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）在坐标轴上是否存在点D ，使得△ABD 是以线段AB 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点P 是线段AB 上一动点，（点P 不与点A 、B 重合），过点P 作PM ∥OA ，

交第一象限内的抛物线于点M ，过点M 作MC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点N ，若△BCN 、△PMN 的面积S △

B C N 、S △PM N 满足S △B C N =2S △PM N ，求出的值，

并求出此时点M 的坐标．

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2016年四川省泸州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分

1．6的相反数为（ ）

A ．﹣6

B ．6

C ．﹣

D ．

【考点】相反数．

【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．

【解答】解：6的相反数为：﹣6．

故选：A ．

2．计算3a 2﹣a 2的结果是（ ）

A ．4a 2

B ．3a 2

C ．2a 2

D ．3

【考点】合并同类项．

【分析】直接利用合并同类项的知识求解即可求得答案．

【解答】解：3a 2﹣a 2=2a 2．

故选C ．

3．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：A ，B ，D 是轴对称图形，C 不是轴对称图形，

故选：C ．

4．将5570000用科学记数法表示正确的是（ ）

A ．5.57×105

B ．5.57×106

C ．5.57×107

D ．5.57×108

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确

定n 的值是易错点，由于5570000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．

【解答】解：5570000=5.57×106．

故选：B ．

5．下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

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【考点】简单几何体的三视图．

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图．

【解答】解：A 、圆锥的主视图是三角形，符合题意；

B 、球的主视图是圆，不符合题意；

C 、圆柱的主视图是矩形，不符合题意；

D 、正方体的主视图是正方形，不符合题意．

故选：A ．

6．数据4，8，4，6，3的众数和平均数分别是（ ）

A ．5，4

B ．8，5

C ．6，5

D ．4，5

【考点】众数；算术平均数．

【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数，再根据平均数的计算公式求出平均数即可．

【解答】解：∵4出现了2次，出现的次数最多，

∴众数是4；

这组数据的平均数是：（4+8+4+6+3）÷5=5；

故选：D ．

7．在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【考点】概率公式．

【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．

【解答】解：根据题意可得：口袋里共有12只球，其中白球2只，红球6只，黑球4只，

故从袋中取出一个球是黑球的概率：P （黑球）==，

故选：C ．

8．如图，?ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO 的周长是（ ）

A ．10

B ．14

C ．20

D ．22

【考点】平行四边形的性质．

【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO ，BO=DO ，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO 的长，进而得出答案．

【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AO=CO ，BO=DO ，DC=AB=6，

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∵AC+BD=16，

∴AO+BO=8，

∴△ABO 的周长是：14．

故选：B ．

9．若关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）

A ．k ≥1

B ．k ＞1

C ．k ＜1

D ．k ≤1

【考点】根的判别式．

【分析】直接利用根的判别式进而分析得出k 的取值范围．

【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1=0有实数根， ∴△=b 2﹣4ac=4（k ﹣1）2﹣4（k 2﹣1）=﹣8k+8≥0，

解得：k ≤1．

故选：D ．

10．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【考点】正多边形和圆．

【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．

【解答】解：如图1，

∵OC=1，

∴OD=1×sin30°=

；

如图2，

∵OB=1，

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∴OE=1×sin45°=

；

如图3，

∵OA=1，

∴OD=1×cos30°=，

则该三角形的三边分别为：

、、， ∵（）2+（）2=（

）2， ∴该三角形是以

、为直角边，为斜边的直角三角形， ∴该三角形的面积是××=，

故选：D ．

11．如图，矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且BF=2FC ，AF 分别与DE 、DB 相交于点M ，N ，则MN 的长为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．

【分析】过F 作FH ⊥AD 于H ，交ED 于O ，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理得到AF===2，根据平行线分线段成比例定理得到OH=AE=，由相似三角形的性质得到==，求得AM=AF=，根据相似三角形的性质得到==，求得AN=AF=，即可得到结论．

【解答】解：过F 作FH ⊥AD 于H ，交ED 于O ，则FH=AB=2

∵BF=2FC ，BC=AD=3，

∴BF=AH=2，FC=HD=1，

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∴AF=

==2，

∵OH ∥AE ，

∴==， ∴OH=AE=，

∴OF=FH ﹣OH=2﹣

=， ∵AE ∥FO ，

∴△AME ∽FMO ，

∴==，

∴AM=AF=，

∵AD ∥BF ，

∴△AND ∽△FNB ，

∴==，

∴AN=AF=，

∴MN=AN ﹣AM=

﹣=， 故选B ．

12．已知二次函数y=ax 2﹣bx ﹣2（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a ﹣b 为整数时，ab 的值为（ ）

A ．或1

B ．或1

C ．或

D ．或

【考点】二次函数的性质．

【分析】首先根据题意确定a 、b 的符号，然后进一步确定a 的取值范围，根据a ﹣b 为整数确定a 、b 的值，从而确定答案．

【解答】解：依题意知a ＞0，＞0，a+b ﹣2=0，

故b ＞0，且b=2﹣a ，a ﹣b=a ﹣（2﹣a ）=2a ﹣2，

于是0＜a ＜2，

∴﹣2＜2a ﹣2＜2，

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又a ﹣b 为整数，

∴2a ﹣2=﹣1，0，1，

故a=

，1，， b=，1，

， ∴ab=或1，

故选A ．

二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分

13．分式方程﹣=0的根是 x=﹣1 ．

【考点】分式方程的解．

【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x （x ﹣3）进行检验即可．

【解答】解：方程两边都乘以最简公分母x （x ﹣3）得：4x ﹣（x ﹣3）=0， 解得：x=﹣1，

经检验：x=﹣1是原分式方程的解，

故答案为：x=﹣1．

14．分解因式：2a 2+4a+2= 2（a+1）2 ．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：原式=2（a 2+2a+1）

=2（a+1）2，

故答案为：2（a+1）2．

15．若二次函数y=2x 2﹣4x ﹣1的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，则+的值为

﹣

．

【

考点

】抛物线与x 轴的交点．

【分析】设y=0，则对应一元二次方程的解分别是点A 和点B 的横坐标，利用根与系数的关系即可求出+的值．

【解答】解：

设y=0，则2x 2﹣4x ﹣1=0，

∴一元二次方程的解分别是点A 和点B 的横坐标，即x 1，x 2，

∴x 1+x 2=﹣

=2，x 1，?x 2=﹣，

∵+==﹣，

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∴原式==﹣，

故答案为：﹣．

16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，0），B （1﹣a ，0），C （1+a ，0）（a ＞0），点P 在以D （4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a 的最大值是 6 ．

【考点】三角形的外接圆与外心．

【分析】首先证明AB=AC=a ，根据条件可知PA=AB=AC=a ，求出⊙D 上到点A 的最大距离即可解决问题．

【解答】解：∵A （1，0），B （1﹣a ，0），C （1+a ，0）（a ＞0），

∴AB=1﹣（1﹣a ）=a ，CA=a+1﹣1=a ，

∴AB=AC ，

∵∠BPC=90°，

∴PA=AB=AC=a ，

如图延长AD 交⊙D 于P ′，此时AP ′最大，

∵A （1，0），D （4，4），

∴AD=5，

∴AP ′=5+1=6，

∴a 的最大值为6．

故答案为6．

三、本大题共3小题，每小题6分，共18分

17．计算：（﹣1）0﹣

×sin60°+（﹣2）2． 【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及结合零指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简进而求出答案．

【解答】解：（﹣1）0﹣

×sin60°+（﹣2）2 =1﹣2×

+4

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=1﹣3+4

=2．

18．如图，C 是线段AB 的中点，CD=BE ，CD ∥BE ．求证：∠D=∠E ．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】由CD ∥BE ，可证得∠ACD=∠B ，然后由C 是线段AB 的中点，

CD=BE ，利用SAS 即可证得△ACD ≌△CBE ，继而证得结论．

【解答】证明：∵C 是线段AB 的中点，

∴AC=CB ，

∵CD ∥BE ，

∴∠ACD=∠B ，

在△ACD 和△CBE 中，

，

∴△ACD ≌△CBE （SAS ），

∴∠D=∠E ．

19．化简：（a+1﹣）?．

【考点】分式的混合运算．

【分析】先对括号内的式子进行化简，再根据分式的乘法进行化简即可解答本题．

【解答】解：（a+1﹣

）?

= =

=

=2a ﹣4．

四．本大题共2小题，每小题7分，共14分

20．为了解某地区七年级学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，从该地区随机抽取部分七年级学生作为样本，采用问卷调

查

第14页（共22页）

的方法收集数据（参与问卷调查的每名同学只能选择其中一类节目），并调查

完成）

根据表、图提供的信息，解决以下问题：（1）计算出表中a 、b 的值；

（2）求扇形统计图中表示“动画”部分所对应的扇形的圆心角度数；

（3）若该地区七年级学生共有47500人，试估计该地区七年级学生中喜爱“新闻”类电视节目的学生有多少人？

【考点】扇形统计图；用样本估计总体．

【分析】（1）先求出抽取的总人数，再求出b 的值，进而可得出a 的值； （2）求出a 的值与总人数的比可得出结论；

（3）求出喜爱新闻类人数的百分比，进而可得出结论．

【解答】解：（1）∵喜欢体育的人数是90人，占总人数的20%，

∴总人数==450（人）．

∵娱乐人数占36%，

∴a=450×36%=162（人），

∴b=450﹣162﹣36﹣90﹣27=135（人）；

（2）∵喜欢动画的人数是135人，

∴

×360°=108°；

（3）∵喜爱新闻类人数的百分比=×100%=8%， ∴47500×8%=3800（人）．

答：该地区七年级学生中喜爱“新闻”类电视节目的学生有3800人．

21．某商店购买60件A 商品和30件B 商品共用了1080元，购买50件A 商品和20件B 商品共用了880元．

（1）A 、B 两种商品的单价分别是多少元？

（2）已知该商店

购

买B

商

品的件数比购买A 商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A 、B 两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A 、B 两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？

【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．

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【分析】（1）设A 种商品的单价为x 元、B 种商品的单价为y 元，根据等量关系：①购买60件A 商品的钱数+30件B 商品的钱数=1080元，②购买50件A 商品的钱数+20件B 商品的钱数=880元分别列出方程，联立求解即可． （2）设购买A 商品的件数为m 件，则购买B 商品的件数为（2m ﹣4）件，根据不等关系：①购买A 、B 两种商品的总件数不少于32件，②购买的A 、B 两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m 的取值范围，进而讨论各方案即可．

【解答】解：（1）设A 种商品的单价为x 元、B 种商品的单价为y 元，由题意得：

，

解得．

答：A 种商品的单价为16元、B 种商品的单价为4元．

（2）设购买A 商品的件数为m 件，则购买B 商品的件数为（2m ﹣4）件，由题意得：

，

解得：12≤m ≤13，

∵m 是整数，

∴m=12或13，

故有如下两种方案：

方案（1）：m=12，2m ﹣4=20 即购买A 商品的件数为12件，则购买B 商品的件数为20件；

方案（2）：m=13，2m ﹣4=22 即购买A 商品的件数为13件，则购买B 商品的件数为22件．

五．本大题共2小题，每小题8分，共16分

22．如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处60米的点D （点D 与楼底C 在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈

，计算结果用根号表示，不取近

似值）．

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

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【分析】如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ，先在RT △BDN 中求出线段BN ，在RT △ABM 中求出AM ，再证明四边形CMBN 是矩形，得CM=BN 即可解决问题．

【解答】解：如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ．

在RT △BDN 中，BD=30，BN ：ND=1：，

∴BN=15，DN=15，

∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，

∴四边形CMBN 是矩形，

∴CM=BM=15，BM=CN=60﹣15=45，

在RT △ABM 中，tan ∠ABM=

=， ∴AM=27，

∴AC=AM+CM=15+27．

23．如图，一次函数y=kx+b （k ＜0）与反比例函数y=的图象相交于A 、B 两点，一次函数的图象与y 轴相交于点C ，已知点A （4，1）

（1）求反比例函数的解析式；

（2）连接OB （O 是坐标原点），若△BOC 的面积为3，求该一次函数的解析式．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）由点A 的坐标结合反比例函数系数k 的几何意义，即可求出m 的值；

（2）设点B 的坐标为（n ，），将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，利用根与系数的关系可找出n 、k 的关系，由三角形的面积公式可表示出来b 、n 的关系，再由点A 在一次函数图象上，可找出k 、b 的关系，联立3个等式为方程组，解方程组即可得出结论．

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【解答】解：（1）∵点A （4，1）在反比例函数y=

的图象上， ∴m=4×1=4，

∴反比例函数的解析式为y=

． （2）∵点B 在反比例函数y=

的图象上， ∴设点B 的坐标为（n ，

）． 将y=kx+b 代入y=

中，得： kx+b=

，整理得：kx 2+bx ﹣4=0， ∴4n=﹣，即nk=﹣1①．

令y=kx+b 中x=0，则y=b ，

即点C 的坐标为（0，b ），

∴S △B OC =bn=3，

∴bn=6②．

∵点A （4，1）在一次函数y=kx+b 的图象上，

∴1=4k+b ③．

联立①②③成方程组，即，

解得：，

∴该一次函数的解析式为y=﹣x+3．

六．本大题共2小题，每小题12分，共24分

24．如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 为⊙O 的直径，BD 与AC 相交于点H ，AC 的延长线与过点B 的直线相交于点E ，且∠A=∠EBC ．

（1）求证：BE 是⊙O 的切线；

（2）已知CG ∥EB ，且CG 与BD 、BA 分别相交于点F 、G ，若BG ?BA=48，FG=，DF=2BF ，求AH 的值．

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【考点】圆的综合题；三角形的外接圆与外心；切线的判定．

【分析】（1）欲证明BE 是⊙O 的切线，只要证明∠EBD=90°．

（2）由△ABC ∽△CBG ，得=求出BC ，再由△BFC ∽△BCD ，得BC 2=BF ?BD 求出BF ，CF ，CG ，GB ，再通过计算发现CG=AG ，进而可以证明CH=CB ，求出AC 即可解决问题．

【解答】（1）证明：连接CD ，

∵BD 是直径，

∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°，

∵∠A=∠D ，∠A=∠EBC ，

∴∠CBD+∠EBC=90°，

∴BE ⊥BD ，

∴BE 是⊙O 切线．

（2）解：∵CG ∥EB ，

∴∠BCG=∠EBC ，

∴∠A=∠BCG ，

∵∠CBG=∠ABC

∴△ABC ∽△CBG ，

∴=，即BC 2=BG ?BA=48，

∴BC=4，

∵CG ∥EB ，

∴CF ⊥BD ，

∴△BFC ∽△BCD ，

∴BC 2=BF ?BD ，

∵DF=2BF ，

∴BF=4，

在RT △BCF 中，CF=

=4， ∴CG=CF+FG=5，

在RT △BFG 中，BG=

=3， ∵BG ?BA=48，

∴即AG=5，

∴CG=AG ，

∴∠A=∠ACG=∠BCG ，∠CFH=∠CFB=90°，

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∴∠CHF=∠CBF ，

∴CH=CB=4，

∵△ABC ∽△CBG ，

∴=，

∴AC==，

∴AH=AC ﹣CH=

．

25．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线l 与抛物线y=mx 2+nx 相交于A （1，3），B （4，0）两点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）在坐标轴上是否存在点D ，使得△ABD 是以线段AB 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点P 是线段AB 上一动点，（点P 不与点A 、B 重合），过点P 作PM ∥OA ，

交第一象限内的抛物线于点M ，过点M 作MC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点N ，若△BCN 、△PMN 的面积S △

B C N 、S △PM N 满足S △B C N =2S △PM N ，求出的值，

并求出此时点M 的坐标．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）由A 、B 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）分D 在x 轴上和y 轴上，当D 在x 轴上时，过A 作AD ⊥x 轴，垂足D 即为所求；当D 点在y 轴上时，设出D 点坐标为（0，d ），可分别表示出AD 、BD ，再利用勾股定理可得到关于d 的方程，可求得d 的值，从而可求得满足条件的D 点坐标；

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（3）过P 作PF ⊥CM 于点F ，利用Rt △ADO ∽Rt △MFP 以及三角函数，可用PF 分别表示出MF 和NF ，从而可表示出MN ，设BC=a ，则可用a 表示出CN ，再利用S △B C N =2S △PMN ，可用PF 表示出a 的值，从而可用PF 表示出CN ，可求得的值；借助a 可表示出M 点的坐标，代入抛物线解析式可求得a 的值，从而可求出M 点的坐标．

【解答】解：

（1）∵A （1，3），B （4，0）在抛物线y=mx 2+nx 的图象上，

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣

x 2+4x ； （2）存在三个点满足题意，理由如下：

当点D 在x 轴上时，如图1，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，

∵A （1，3），

∴D 坐标为（1，0）；

当点D 在y 轴上时，设D （0，d ），则AD 2=1+（3

﹣d ）2，BD 2=42+d 2，且AB 2=（4﹣1）2+（3）2=36，

∵△ABD 是以AB 为斜边的直角三角形，

∴AD 2+BD 2=AB 2，即1+（3

﹣d ）2+42+d 2=36，解得d=，

∴D 点坐标为（0，）或（0，）； 综上可知存在满足条件的D 点，其坐标为（1，0）或（0，

）或（0，

）；

（3）如图2，过P 作PF ⊥CM 于点F ，

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∵PM ∥OA ，

∴Rt △ADO ∽Rt △MFP ，

∴==3，

∴MF=3

PF ， 在Rt △ABD 中，BD=3，AD=3， ∴tan ∠ABD=，

∴∠ABD=60°，设BC=a ，则CN=

a ， 在Rt △PFN 中，∠PNF=∠BNC=30°， ∴tan ∠PNF==，

∴FN=

PF ， ∴MN=MF+FN=4

PF ， ∵S △BC N =2S △PM N ，

∴a 2=2××4PF 2，

∴a=2

PF ， ∴NC=

a=2PF ， ∴==，

∴MN=NC=×

a=a ， ∴MC=MN+NC=（+）a ，

∴M 点坐标为（4﹣a ，（ +）a ），

又M 点在抛物线上，代入可得﹣（4﹣a ）2+4（4﹣a ）=（+）a ，

解得a=3﹣或a=0（舍去），

OC=4﹣a=+1，MC=2+，

∴点M 的坐标为（+1，2+）．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7qpq.html