数形结合在中学数学解题中的应用

数形结合在中学数学解题中的应用

（湖北师范学院数学与统计学院，湖北 黄石 435002）

1.引言

数形结合思想方法是数学知识的本质之一、基础之一，也是重点之一，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。所谓数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系，通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，并且解法简便。

在国内，我国数学方法论的倡导者、数学家徐利治陆续发表了《浅谈数学方法论》、《数学方法论宣讲》等论著，并提出了很多创新性的观点，在数学界中引起了强烈的共鸣；在国外，日本著名数学家、教育家米山国藏发表了《数学的精神、思想与方法》，系统论述了贯穿于整个数学的数学精神、重要数学思想与若干有效的数学方法。纵观国内外数学思想方法方面研究的现状，可以看出，虽然很多数学专家对于数学思想方法的含义及教学有过很深层次的探讨，且有了较为明显的成效，但在新课程改革不断发展的今天，这方面的研究工作还有待于完善，更重要的是要真正的实践到教学中去。

作为一名高中数学教师，在近两个多月亲身高中数学教学实践中，我发现高中学生大多数把数形结合等同于“借助图象来解题”，对数形结合的背景知识知道的非常少。而且有些老师只重视知识的传授或是进行大运动量的习题训练，一些数学思想往往会被忽视。由此引发了我的思考，同时我也在学术期刊网上下载了几十篇进行研读。根据近期我所研读的材料可以概括出数形结合主要包含“以形助数”、“以数辅形”和“数形互动”三个方面。

数形结合的思想是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，能否有意识地运用数形结合思想方法解答数学问题，是衡量学生数学素养和数学能力的重要指标，而让学生真正掌握、熟练的运用才是最终的目的。

通过研读材料以及在高中数学教学中的了解和亲身实践，于是从便于学

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生解题方面以及培养学生数形结合思想方面确定了论文方向。本论文是在概括搜集材料的基础上，自己进行归纳小结，主要介绍数形结合在集合、不等式、求方程的根、函数、解析几何、向量问题中的应用。

2.数型结合方法概述

中学数学研究的对象是现实世界的数量关系（数）和空间形式（形），数是数量关系的体现，而形则是空间形式的体现。“数”和“形”常依一定的条件相互联系，抽象的数量关系常有形象与直观的几何意义，而直观的图形性质也常用数量关系加以精确的描述。数和形也可依一定条件相互转化，互相沟通。我们在研究数量关系时，有时要借助于图形直观地去研究，而在研究图形时，又常借助于数量关系趋探求。“数”和“形”是研究数学的两个侧面，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来，可以使所要解决的问题化难为易，化繁为简，思维广阔。华罗庚教授对此有精辟概述：“数无形，少直观；形无数，难入微。”

数形结合源于数学，是数学思想方法中的一种。它是中学数学中的一个重要的思想方法，它不仅在数学解题中有着强大的功能，更在数学教学中发挥着巨大的作用。“形”的直观与“数”的精确相辅相成，能优化解题，化解难点知识，学生易于理解接受。

对于数形结合思想方法的专题研究很多，各类数学杂志上都能见到，但对数形结合思想方法没有完整的、深刻的认识。

伴随着社会的发展，数形结合的应用范围越来越广。人们不但使其在数学学科中原有的应用发挥地淋漓尽致，而且还不断挖掘它新的应用；不但开始尝试它在其他学科中的应用，并试图总结出一些应用规律，而且也在摸索它在生活实际中的应用。这说明，数形结合的应用不再仅限于数学学科中，也不限于在其他学科中，它有更广的使用范围。

那数形结合为什么应用如此之广呢？这值得我们思考。可以肯定地说，它本身具有一定的教育意义和教育价值。

因此要根据解决问题的需要，把数量关系的问题转化为图形的性质问题来研究，也可把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，数形结合才能真正发挥其作用。

我们希望，运用数形结合的教育意义和教育价值也能带来数学解题能力

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的提高。因此，我们把中学数学中运用数形结合提高解题能力作为研究的课题是从数形结合的教育意义及教育价值视角出发的。

3.数形结合的应用

在中学阶段，有许多的代数题，学生总是拘泥于代数求法，结果导致布什很繁杂，就、被认为超出其范围不能求解。其实，代数与几何是有着密切联系的。在代数中若能充分联想题设与结论中的“几何背景”恰当构造图形，实施命题变更，不但能够激发学生的学习兴趣，而且往往探索出新思路，找到解题的关键，优化解题方法。它不仅对于沟通代数、三角与几何内在联系具有指导意义，而且更重要的是对于开阔学生的思路，发展学生的创造性思维，提高学生的思维品质有着重要作用。因此本论文主要介绍主要介绍数形结合在集合、不等式、求方程的根、函数、解析几何、向量问题中的应用。

3.1数形结合在集合问题中的应用

在解决集合问题时，有一些常用的方法如数轴发取交并集、文氏图法以及借助函数图像等，是中学数学中的一类重要的题型，处理这类问题的常用方法是先观察题目已知条件，若能充分注意到集合的性质，利用数形结合思想，形象地表示出各数量间的联系，从而求解，则往往可以形成较为简洁的解法。

3.1.1 借助文氏图

文氏图主要适用于离散型（元素各自孤立）的集合以及单纯的抽象型集合，但仍要注意问题的全面性，考虑问题要面面俱到，紧抓已知条件，准确的画出文氏图，简便解题。

例1:已知集合U?{x??|12??}，7?x??{x??|2?x?26且x为质数}，

??{x|x2?7x?12?0}，求集合(CuA)?B。

分析：由题目已知条件可以很明显的看出，此题是交并集集合问题，首先我们应该依此解出集合，观察可知解出集合里都是数字，那么自然而然

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的，我们采取文氏图法来解决问题。

12解：U?{x??|??}??1,3,4,5,6?；

7?x??{x??|2?x?26且x为质数}=?3,5?；

??{x|x2?7x?12?0}??3,4?

如右图，易得(CuA)?B?{4}。 3.1.2 借助数轴

数轴主要适用于解决与不等式相关的集合问题，数轴是学生很早就已经接触比较简便的图形，但是此类题型在用数轴的时候，最容易忽视空集的情况，这里做出强调。

例2:已知集合???x|a?x?5?，???y|3?y?b?，C??z|1?z?4?， A=B，求集合??C。

分析：由题目的已知条件可以看出，题目是与不等式相关的集合问题，并且也是集合的交并集问题，我们很容易想到要借助数轴解题，但需要进行非空的讨论，往往空集的情况是学生最容易忽视的。

解：(1)当a?5,b?3时A=B=? 此时 ??C??。 (2)当a、b不满足(1)时 由A=B得 a=3,b=5

此时 A?B??x|3?x?5?， 利用数轴如右图

求得 ??C??x|3?x?4?。 3.1.3 借助函数图象

函数图像主要适用于解决与函数相关的集合问题，函数是中学的重点知识也是难点，那么此类题目需要学生有良好的函数基础，往往此时要求集合的交并集时就可以转化为求函数的交点，于是我们画出函数图像问题就迎刃

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而解。

例3:集合???(x,y)|y?k?,Q??(x,y)|y?a2?1?，已知P?Q只有一个 子集，那么k的取值范围是（ ）。

（A）(??,1) （B）(??,1] (C) (1,??) （D）(??,??) 分析：由题目已知条件可知，本题是与函数相关的集合问题，所以我们轻而易举的想到将集合问题转化为直线与指数函数的图象的交点问题，根据题意作出图形，运用数形结合的思想，合理求解。在作图时，应注意y= a2?1的图象始终在直线y?1上方。

解：集合P表示直线y?k，集合Q表示曲线y= a2?1 . 由P?Q只有一个子集 可知

P?Q??

所以

直线y=k与曲线y= a2?1没有交不妨设a>1,（当0

k?1

点。

所以k的取值范围是(??,1]，选（B）。

3.2数形结合在不等式问题中的应用

在解决不等式问题时，运用数形结合更为形象直观，简洁明快，特别是在解决含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致演算过程繁琐，若用数形结合的方法，问题会大大简化，有时在确定不等式中的参数

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的范围时，几何图形能使问题直观化。 3.2.1 借助函数图象

函数图像适用于不等式中含x?a,x?b的不等式，可以将其看作函数并画出函数图像，转化成为几何问题，从图像直观地观察出特点，然后进行计算，即准确又快速。

例4:解不等式x?1?x?2?x?1?x?3。

分析：由已知条件可知，利用数形结合解含x?a,x?b的不等式，看做函数或者曲线，作出图象，根据范围和图像特点解题。

解：令

f(x)?x?1?x?2,g(x)?x?1?x?3

可得

?2x?1 (x??1)? f(x)=?1 (?2?x??1)

??2x?3 (x??2)??2x?3 (x>0) ? g(x)??3 (?3?x?0)

??2x?3 (x??3)?它们的图象如右图所示 因为f(x)?g(x)，所以

原不等式的解集为 ?x|?3?x?0?。 3.2.2 借助二次方程实根分布

若已知实系数一元二次方程实根的分布范围，则可根据“判断式，对称 轴,区间端点值”确定相应二次函数的某些性质。因此利用二次方程实根分布范围处理不等式，可使其解法简捷巧妙。

2??x?2x?a?0 (1)例5:设???1?x?3?，又设B是关于x的不等式?2??x?2bx?5?0 (2)- 6 -

的解集，且???，试确定a,b的取值范围。

分析：由已知条件可知实系数一元二次方程实根的分布范围，于是我们可以根据“区间端点值”确定相应二次函数的性质，利用实根分布范围处理不等式，从而使问题得到解决。

解： 记f(x)=x2-2x+a,B1为不等式（1）的解集；

记g(x)= x2-2bx+5,B2为不等式（2）的解集。

则 B?B1?B2, 又因为??? 所以??B1且??B2 如右图 则有：

?f(1)?0?g(1)?0 且 ??f(3)?0g(3)?0????1?a?0?6?2b?0即 ? 且 ?

3?a?014?6b?0??解得： a??3且b?3 3.2.3 借助线性规划

线性规划适用于解决不等式组解集区域问题，也可通过一个不等式转化成不等式组区域，总而言之，此类题目，应该根据不等式画出可行区域，然后用线性规划的知识进行求解不等式问题，但需强调的是不能忽略一些特殊点情况。

1 2分析：由已知条件我们可以观察出，不能运用两边同时平方或是直接求

例6：解不等式3?x?x?1?解，于是我们想到通过“双换元”将不等式转化为混合组，在可行域内根据几何意义先求出辅元的范围，使不等式得到巧妙解决，这种方法简单直观具有创新性。

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解：令3?x?u, x?1?v

1?u?v??2??则 ?u2?v2?4

?u,v?0???解得 u?1?31?1?31 ，v? 44根据约束条件画出可行域，如右图

AB(包含A(2,0)) 则可行区域为圆在第一象限内的弧??1?31?1?31?不含点B ?) ??4,?4??由 1?31?u?2 431。 8解得 ?1?x?1?3.2.4 借助向量图形

向量图形适用于与根式相关的不等式问题，当根号下是一个单纯的数字的时候，往往我们优先考虑借助向量解题，我们可以构造向量模型，例如圆，然后由图形的范围求出不等式的解。

例7：求证：3?8?1?10。

分析：由已知条件可以想到构造向量模型或图形的方法，比其常规解法都要简捷、巧妙，达到事半功倍的效果。

?????证明：不妨构造向量，设p?(1,1),m?(3,8),n?(1,10)， 则 |m|?|n|?11 ???即向量m，n的中点M(3,8),N(1,10)在圆O：x2?y2?11上

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如右图示，设圆与x正半轴交于点A，在第一象限与直线y=x交于点B 由kON?10?8?kOM?1得 3

?4??AOM??AON??2

所以 0??AOB??4??AON??4??4

即 0??BOM??BON?则有

?4

2?cos?BON?cos?BOM?1 2???? 3?8?p?m?2?11cos?BOM ??? 1?10?p?n?2?11cos?BON

故 3?8?1?1 03.3数形结合在求方程的根问题中的应用

在求方程的根问题中，我们也优先考虑数形结合的方法解题。对于一元二次方程实根的分布问题，可借助二次函数图像，利用数形结合的思想对问题做等价转换，从顶点、判别式、对称轴、自变量去一些关键值时函数值的符号，从而列出相应的方程或是不等式，使问题得到解决。 3.3.1 相关参数的取值

适用于求方程的表达式及根的取值范围，先推导出相应的二次函数的大 致图象，然后观察图像特征，再依据图象直观形象地得到结论，为求参数m的值提供依据。

例8：关于x的二次方程x2?(2m?1)x?m?8?0有两个实数根，一个大 于-1，另一个小于-1，则m应满足（ ）。

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(A)m??1 (B)m?2 (C)m?2 (D)m??1

分析：由已知条件可知，要求方程相关参数的取值，可以立刻想到运用数形结合的思想，先设出方程和根，然后根据已知条件画出图像，进而观察图像的特点以及结合范围进行求解。

解：设方程的两实数根为x1,x2,且x1??1,x2??1

y?f?x??x2??2m?1?x?m?8 令 因为 a?1?0

所以，其函数图象的开口向上。 又根据题意知

此抛物线与x轴的两个交点的左右两侧 （?1,0）因此，此函数的大致图象如右图所示 观察分析图象可知

f??1??0

（?1）2?（2m?1）???1??m?8?0 即

解得： (C)m?2 本题答案应选C。 3.3.2 结合二次函数图象

适用于求一元二次方程的解类型的题目，先根据题目已知条件画出二次 函数的图象，然后观察图像，根据图像的各类特征，再依据图象直观形象地得到关系式或是结论，从而求出方程的解。

例9：已知二次函数y??x2?2x?m的部分图象如图所示，则关于x的 一元二次方程?x2?2x?m?0的解为_______.

分析：由题目已知条件和图像可知，应该将数形结合起来进行解题，首先要读清题意，观察图像，然后根据函数图像对称轴的性质直观形象地得到关系式，再根据二次函数与一元二次方程的相互关系得出方程的根。

解：观察右图可知：

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