2011年浙江高考数学（理）试题及答案word版

2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（理科）试题

一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。 1．设函数f(x)??

??x,x?0,?x,x?0.2若f(?)?4,则实数?=

C．-2或4

D．-2或2

A．-4或-2 B．-4或2

?2．把复数z的共轭复数记作z，i为虚数单位，若z?1?i,则(1?z)?z=

A．3-i B．3+i C．1+3i 3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是

4．命题中错误的是 ．．

D．3

A．如果平面??平面?，那么平面?内一定存在直线平行于平面? B．如果平面α不垂直于平面?，那么平面?内一定不存在直线垂直于平面? C．如果平面??平面?，平面??平面?，???=l，那么l?平面? D．如果平面??平面?，那么平面?内所有直线都垂直于平面?

?x?2y?5＞0?5．设实数x,y满足不等式组?2x?y?7＞0,若x,y为整数，则3x?4y的最小值是

?x≥0，y≥0，?

A．14

B．16

C．17

D．19

6．若0＜?＜?2，-?2＜?＜0，cos(?1???3??)?，cos(?)?，则cos(??)? 432423C． A．3 3B．?3 31b53 9D．?6 91m”是a＜或b＞的 7．若a,b为实数，则“0＜ab＜

1a A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

x2y2y22?1有公共的焦点，C1的一条渐近线8．已知椭圆C1:2?2?1(a＞b＞0)与双曲线C1:x?4ab与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则

2A．a?13 2B．a2?13 2C．b?1 2D．b2?2

9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架

的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率

A．

1 5B．

2 5C．

34 D 5510．设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）(x2?bx?c),g(x)?(ax?1)(ax2?bx?1)．记集合

S=xf(x)?0,x?R,T?xg(x)?0,x?R,若S，T分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是 ．．．

A．S=1且T=0 C．S=2且T=2

B．S?1且T=1 D．S=2且T=3

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分

11．若函数f(x)?x?x?a为偶函数，则实数a? = 。 12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是 。 13．设二项式（x-2a）6（a>0）的展开式中X的系数为A,常数项为B， x若B=4A，则a的值是 。

14．若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的

平行四边形的面积为

1，则α与β的夹角?的取值范围是 。 215．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到

2，得到乙丙公司面试的概率为p，且三个公司是否让其面试是相互独31立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若P(X?0)?，则随机变量X的数学期望

12甲公司面试的概率为

E(X)?

16．设x,y为实数，若4x2?y2?xy?1,则2x?y的最大值是 ．。

?????????x22?y?1的左、右焦点，点A,B在椭圆上，若F1A?5F2B;则点A的17．设F1,F2分别为椭圆3坐标是 ．

三、解答题;本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本题满分14分）在?ABC中，角A.B.C所对的边分别为a,b,c．

已知sinA?sinC?psinB?p?R?,且ac?（Ⅰ）当p?12b． 45,b?1时，求a,c的值； 4（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围；

19．（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a（a?R）,设数列的前n项

和为Sn，且

111，，成等比数列 a1a2a4（1）求数列{an}的通项公式及Sn （2）记An?11111111，当n?2时，试比较An???...?，Bn????...?S1S2S3Sna1a2a22a2n与Bn的大小．

20．（本题满分15分）

如图，在三棱锥P?ABC中，AB?AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2 （Ⅰ）证明：AP⊥BC；

（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的

长；若不存在，请说明理由。

21．（本题满分15分）

已知抛物线C1:x＝y，圆C2:x2?(y?4)2?1的圆心为点M （Ⅰ）求点M到抛物线c1的准线的距离；

（Ⅱ）已知点P是抛物线c1上一点（异于原点），过点P作圆c2的两条切线，交抛物线c1于A，

B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程

22．（本题满分14分）

设函数f(x)?(x?a)lnx,a?R

23 （I）若x?e为y?f(x)的极值点，求实数a；

（II）求实数a的取值范围，使得对任意的x?(0,3e]，恒有f(x?4e)成立，注：e为自然

对数的底数。

2

参考答案

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。 BADDBCACBD

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。 11．0 12．5 13．2 14．[?5?6,5210] 15． 16． 17．(0,?1)

365三、解答题：本大题共5小题，共72分。

18．本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

5?a?c?,??4 （I）解：由题设并利用正弦定理，得?

1?ac?,??41?a?1,???a?,解得?4 1或?c?,???4?c?1. （II）解：由余弦定理，b?a?c?2accosB

222?(a?c)2?2ac?2accosB11?p2b2?b2?b2cosB,

2231即p2??cosB,22因为0?cosB?1,得p?(,2)，

232由题设知p?0,所以6?p?2. 219．本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。

满分14分。 （I）解：设等差数列{an}的公差为d，由(1211)??, a2a1a4

得(a1?d)2?a1(a1?3d)

因为d?0，所以d?a所以an?na1,Sn?（II）解：因为

an(n?1). 21211?(?)，所以 Snann?1An?111121??????(1?) S1S2S3Snan?1n?1因为a2n?1?2a，所以

11?()n111112?2(1?1). Bn????????a1a2a22a2n?1a1?1a2n2012n当n?2时,2n?Cn?Cn?Cn???Cn?n?1，

即1?11?1?n, n?12所以，当a?0时,An?Bn; 当a?0时,An?Bn.

20．本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。 方法一：

（I）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，

建立空间直角坐标系O—xyz

则O(0,0,0),A(0,?3,0),B(4,2,0),C(?4,2,0),P(0,0,4)，

????????????????AP?(0,3,4),BC?(?8,0,0)，由此可得AP?BC?0，所以 ????????AP?BC，即AP?BC.

??????????????（II）解：设PM??PA,??1,则PM??(0,?3,?4) ??????????????????????BM?BP?PM?BP??PA

?(?4,?2,4)??(0,?3,?4)

?(?4,?2?3?,4?4?)

??? AC??(?4,5,0),???BC??(?8,0,0)

设平面BMC的法向量?n?1?(x1,y1,z1)， 平面APC的法向量??n?2?(x2,y2,z2)

由??????????BM?n1?????BC?0,????0, ?n1得???4x1?(2?3?)y1?(4?4?)x1?0,?8x

?1?0,?x1?0,即?????2?2?3?) ?z?3?可取n1?(0,1,14?4?y1,4?4???????由??????AP??n????2??0,即??AC?n?3y2?4z2?0, 2?0.??4x2?5y2?0,?x?5y,得??2?42可取??n?2?(5,4,?3). ???z??324y2,由??n????2?3?1?n2?0,得4?34?4??0, 解得??25，故AM=3。

综上所述，存在点M符合题意，AM=3。 方法二：

（I）证明：由AB=AC，D是BC的中点，得AD?BC 又PO?平面ABC，得PO?BC.

因为PO?AD?O，所以BC?平面PAD，

故BC?PA.

（II）解：如图，在平面PAB内作BM?PA于M，连CM，由（I）中知AP?BC，得AP?平面BMC， 又AP?平面APC，所以平面BMC?平面APC。 在Rt?ADB中,AB2?AD2?BD2?41,得AB?41. 在Rt?POD中,PD2?PO2?OD2， 在Rt?PDB中,PB2?PD2?BD2,

所以PB2?PO2?OD2?DB2?36,得PB=6. 在Rt?POA中,PA2?AO2?OP2?25,得PA?5.

PA2?PB2?AB21?, 又cos?BPA?2PA?PB3从而PM?PBcos?BPA?2，所以AM=PA-PM=3。

综上所述，存在点M符合题意，AM=3。

21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析

几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。 （I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： y??所以圆心M（0，4）到准线的距离是

1, 417. 422（II）解：设P(x0,x0),A(x1,x12),B(x2,x2)，

则题意得x0?0,x0??1,x1?x2，

2设过点P的圆C2的切线方程为y?x0?k(x?x0)， 2即y?kx?kx0?x0 2|kx0?4?x0|①

则1?k2?1,

222即(x0?1)k2?2x0(4?x0)k?(x0?4)2?1?0，

设PA，PB的斜率为k1,k2(k1?k2)，则k1,k2是上述方程的两根，所以

222x0(x0?4)(x0?4)2?1k1?k2?,k1k2?. 22x0?1x0?1将①代入y?x得x?kx?kx0?x0?0, 由于x0是此方程的根，

故x1?k1?x0,x2?k2?x0，所以

222

kAB2222x0(x0?4)x0?4x12?x2??x1?x2?k1?k2?2x0??2x,k?. 0MP2x1?x2x0?1x0222x0(x0?4)x0?4?(?2x)?(??1)， 02x0?1x0由MP?AB，得kAB?kMP解得x0?223, 5即点P的坐标为(?2323,)， 553115x?4. 115所以直线l的方程为y??

22．本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推

理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分14分。

(x?a)2a?(x?a)(2lnx?1?). （I）解：求导得f'(x)?2(x?a)lnx?xx因为x?e是f(x)的极值点， 所以f'(e)?(e?a)(3?)?0, 解得a?e或a?3e经检验，符合题意，

所以a?e或a?3e.

2（II）解：①当0?x?1时，对于任意的实数a，恒有f(x)?0?4e成立； 22②当1?x?3e时，由题意，首先有f(3e)?(3e?a)ln(3e)?4e，

ae解得3e?2e2e， ?a?3e?ln(3e)ln(3e)ax由（I）知f'(x)?(x?a)(2lnx?1?), 令h(x)?2lnx?1?a,则h(1)?1?a?0,h(a)?2lna?0, x且h(3e)?2ln(3e)?1?a?2ln(3e)?1?3e3e?2eln(3e) 3e

?2(ln3e?1)?0. ln3e又h(x)在(0,??)内单调递增

所以函数h(x)在(0,??)内有唯一零点， 记此零点为x0,则1?x0?3e,1?x0?a. 从而，当x?(0,x0)时，f'(x)?0; 当x?(x0,a)时,f'(x)?0; 当x?(a,??)时，f'(x)?0.

即f(x)在(0,x0)内单调递增，在(x0,a)内单调递减， 在(a,??)内单调递增。

所以要使f(x)?4e对x??1,3e?恒成立，只要

2?f(x0)?(x0?a)2lnx0?4e2,(1)? ?22??f(3e)?(3e?a)ln(3e)?4e,(2)成立。

由h(x0)?2lnx0?1?a?0，知 x0（3）

a?2x0lnx0?x0,

2将（3）代入（1）得4x0ln3x0?4e2.

又x0?1，注意到函数xlnx在?1,???内单调递增，

33故1?x0?e。

再由（3）以及函数2xlnx?x在(1,??)内单调递增，可得1?a?3e. 由（2）解得，3e?2e2e?a?3e?.

ln(3e)ln(3e)

所以3e?2e?a?3e.

ln(3e)2e?a?3e.

ln(3e)综上，a的取值范围是3e?

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