江西财经大学线性代数试卷09-10

江西财经大学线性代数试卷09-10

江西财经大学

2009－2010学年第二学期期末考试试卷

试卷代码：03043 C 授课课时：48 考试用时：150分钟 课程名称：线性代数 适用对象：本科

试卷命题人 试卷审核人 ［请注意：将各题题号及答案写在答题纸上，写在试卷上无效］ 一、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分。）不写解答过程。

1. 行列式

111

1 1x的展开式中x的系数是_________； 11 A2 5A 7E __________；

2. 已知3阶矩阵A的特征值为0，1，2，则

3. 向量组 1 (0,0,1), 2 (0,1,1), 3 (1,1,1), 4 (1,0,0)的秩为______；

1 12

4. 设A 2t3 ，若

021

3阶非零方阵B满足AB 0，则t ；

5. 设3阶可逆方阵A有特征值2，则方阵(A2) 1有一个特征值为_________。

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸相应位置处。答案错选或未选者，该题不得分。每小题3分，共15分。）

1. A是n阶方阵，A*是其伴随矩阵，则下列结论错误的是【 】

A.若A是可逆矩阵，则A*也是可逆矩阵； B.若A不是可逆矩阵，则A*也不是可逆矩阵；

C.若|A*| 0，则A是可逆矩阵； D.|AA*| AE。

a1

2. 设A a2

a 3

b1b2b3

c1 a1 c2 ，若AP a2

ac3 3

c1

c2c3

b1

b2 ，则P=【 b3

】

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100 001

A. 001 ； B. 100 ；

010 010 001 000 C. 010 ； D. 001 .

100 010

3. m n是n维向量组 1, 2, , m线性相关的【 】

A.C.

充分条件 B.

充分必要条件

必要条件 D.

必要而不充分条件

4．设 1, 2, 3是Ax 0的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示为【 】

A． 1, 2, 3的一个等价向量组； B. 1, 2, 3的一个等秩向量组； C. 1, 2 2, 1 2 3； D. 1 2, 2 3, 3 1.

5. 1, 2, , s是齐次线性方程组AX 0(A为m n矩阵)的基础解系，则R(A) 【 】

A．s B．n s C．m s D．m n s

三、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分）。

a234

12 a34

计算行列式

123 a41234 a

四、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分）。 求解矩阵方程

010 1 1

AX B X,其中A 111 ,B 20 .

10 1 5 3

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五、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分）。

5

2

已知A 0

0

21000085

0 0 *8

A，求及|A|

3 2

。

六、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分）

设向量组 1 (a,3,1)T, 2 (2,b,3)T, 3 (1,2,1)T, 4 (2,3,1)T的秩为2，求a,b 求该向量组的秩和它的极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。

七、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分） 根据参数的取值，讨论线性方程组解的情况，并求解线性方程组

2x1 x2 x3 x4 1

x1 2x2 x3 4x4 2 x 7x 4x 11x k

234 1

八、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分）

3 12

设 1是矩阵A 0 14 的一个特征向量。

t01

（1） 求参数t的值；

（2） 求对应于 1的所有特征向量。

九、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） (1) 设A,B都是n阶矩阵，且A可逆，证明AB与BA相似；

(2) 设b1 a1 a2,b2 a2 a3,b3 a3 a4,b4 a4 a1，证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关。

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江西财经大学

2009－2010学年第二学期期末考试试卷答案

试卷代码：03043 C 授课课时：48 考试用时：150分钟 课程名称：线性代数 适用对象：本科

试卷命题人 何明 试卷审核人 盛积良 ［请注意：将各题题号及答案写在答题纸上，写在试卷上无效］ 一、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分。）不写解答过程。

1. 2； 2. 21； 3. 3； 4.-4； 5.1/4。

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸相应位置处。答案错选或未选者，该题不得分。每小题3分，共15分。）

1. D 2.A 3. A 4.C 5. B

三、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分）。

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33

44

a111

22 a2233

44

a a a44

222

a2 a

3 a434 a222

33

3 a434 a

2分

（10 a)

2 a3 a434 a

4分

1234

（10 a)

0a00

6分

00a0000a

a00

（10 a)0a0 8分

00a （10 a)a3 10分

四、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分）。 求解矩阵方程

010 1 1

AX B X,其中A 111 ,B 20 .

10 1 5 3

解：由

AX B X

得

分

AX X B (A I)X B-------------------------------------------------2

110

|A I| 101 3 0,所以A可逆

10 2

------------------------------------------------------

-----------4分

110 11

(A I| B) 101 20

10 2 53

做行初等变换

-------------------------------------------------------5分

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110 11 110 11 110 11 0 11 11 0 11 11 0 11 11 0 1 2 42 00 3 33 0011 1

---------------------

-8分

100 31 1003 1

0 10 20 01020 --------------------------------------------------- 0011 1 0011 1

---------10分

五、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分）。

5

2

已知A 0

0

21000085

0 0 *8

A，求及|A|

3 2

。

解

|A|

5283

1 1 1

2152

：

-----------------------------------------------------------------------------

-----2分

|A8|=|A| 18 1-----------------------------------------------------------------------------

---------------------5分

|A*| A

3

-------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------7分

方

0 1 20

2500 A*

002 3 00 58

法二：

--------------------------------------------------------------------------7

分

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|A*|

1 22 3

=1-------------------------------------------------------------------- 25 58

-----------------10分

六、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分）

设向量组 1 (a,3,1)T, 2 (2,b,3)T, 3 (1,2,1)T, 4 (2,3,1)T的秩为2，求a,b 求该向量组的秩和它的极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。 解

：

a212 A 3b23

1311

做行初等变换

-----------------------------------------------------------------------------2分

311 1311 1

3b23 0b 9 10 ---------------------------------------------------------- a212 02 3a1 a2 a

--------4分

R（A）=2，说明最后两行对应成比例，得

a 2,b 5-------------------------------------------------------5

分

将a 2,b 5代入得

11 1311 101/41 13 A 0 4 10 011/40 011/40

0 4 10 0000 0000

------------------------------------------

---8分 所

以

有

极

大

无

关

组

为

1, 2------------------------------------------------------------------------------------------9分

且

3 1 2, 4 1------------------------------------------------------------------------------14

14

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-----------10分

七、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分） 根据参数的取值，讨论线性方程组解的情况，并求解线性方程组

2x1 x2 x3 x4 1

x1 2x2 x3 4x4 2 x 7x 4x 11x k

234 1

解

2 1111 12 142

12 142 0 53 7 3 17 411k 00 00k 5

：

------------------------------------------------------3

分 当

k 5

时，有无穷多解，当

k 5

时，无解。

----------------------------------------------------------------5分 当k 5时，代入得

12 142 12 142 101/56/54/5 0 53 7 3 01 3/57/53/5 01 3/57/53/5 00 00 00 000000000

--------------------8

分

所以通解为X (4/5,3/5,0,0)T 或

X (4/5,3/5,0,0)T k1( 1,3,5,0)T k2( 6, 7,0,5)T,k1,k2 R---------------------------10

k1( 1/5,3/5,1,0)T k2( 6/5, 7/5,0,1)T,k1,k2 R

分

八、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分）

3 12

设 1是矩阵A 0 14 的一个特征值。

t01

（2） 求参数t的值；

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（2） 求对应于 1的所有特征向量。 解

：

1

是特征值，所以有

I A I A 0-----------------------------------------------------------2分

由于

212

I A 02 4 0

t00

，所以

t

可取任意实数

--------------------------------------------------------5分 解

(I A)X 0------------------------------------------------------------------------------------------

-----------6分 得

(0,2,1)T

基础解系

---------------------------------------------------------------------------------------------8

分 所

以

特

征

向

量

为

k(0,2,1)T,k 0--------------------------------------------------------------------------10分

九、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） (1) 设A,B都是n阶矩阵，且A可逆，证明AB与BA相似；

证明：要证AB与BA相似，即要证存在可逆矩阵P，使得

P 1(AB)P BA---------------2

分

，

A

由题意知可逆，分

又有

A 1(AB)A BA---------------------------------------------------------------4

所以有AB与BA相似；

(2) 设b1 a1 a2,b2 a2 a3,b3 a3 a4,b4 a4 a1，证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关。 方法一：观察可得

b1 b3 b2 b4

，所以有

b1,b2,b3,b4

线性相关。

---------------------------------5分

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方

1 1

(b1,b2,b3,b4) (a1,a2,a3,a4)

0 0

0110

法

0011

二

1 0

------------------------------------------------------20 1

：

分

又

1

1 0 0

011000111 0 00 1

有

------------------------------------------------------------------------------------

---------3分

1

1

R(b1,b2,b3,b4) R

0 0

011000111 0 0 1

根据

知，

R(b1,b2,b3,b4) 3-----------------------------------------4

分

所以有b1,b2,b3,b4线性相关。

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