第一章 行列式（教案）

第一章 行列式

一、教学目的：掌握行列式的概念；

熟练掌握行列式的性质及计算方法； 利用克莱姆法则解线性方程组。

二、学时分配：

三、重点、难点：熟练运用行列式的性质，掌握行列式计算的方法 四、作业：

§1 n阶行列式

定义：一阶行列式就是元素自身，当n>1时规定n阶行列式为： |a11|?a11，

a11a21?an1a12a22?an2?a1n??ann??aijAij j=1,2,?，n;

j?1n?a2na11a12a22?an2?a1n???aijAij j=1,2,?，n;

i?1n或

a21?an1?a2n?ann

其中Aij?(?1)i?jMij称为元素aij的代数余子式；Mij是从n阶行列式中划去aij的所在的行和列得到的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式。

按此定义计算行列式的方法通常称为拉普拉斯（laplace）展开法，可以简述为：n阶行列式等于任一行（列）元素与其代数余子式乘积之和。

例1 计算对角形行列式

1

a1a2?ana1和

ana2?

其中未写出的数都是零。

解：依行列式的定义，按第一行依次展开，

a1a2?ana1a2?an?(?1)(n?1)?n???3a1a2?an ?(?1)n(n?3)/2a1a2?an ?(?1)n(n?1)/2a1a2?an

a2?(?1)1?1a1a3?ana2a3?an???a1a2?an;

?(?1)1?na1??

类似地，三角行列式有相同的结果

a11a21?an1a22?an2??anna1na2,n?1?an1??an,n?1a2n?annn(n?1)?a11a22?ann

?(?1)2a1na2,n?1?an1

2

例2 计算2n阶行列式

aa?D2n??bbabba?aa?bb

解：按第1行展开，得

a?aD2n?a??b0bba?a00a0bb0?(?1)1?2nb???b00a?abba?a0?b

?a2D2(n?1)?b2D2(n?1)?(a2?b2)D2(n?1)

以此作为递推公式，得

D2n?(a2?b2)2D2(n?2)???(a2?b2)n?1D2?(a2?b2)n

例3证明

a11?am1c11?an1?a11?a1m?amm0?0b11?bn1???0?0?a11??am1?a1mb11bn1?b1n? ?bnn?c1m?cnm??a1mamm?b1n?bnn????ammb11D2??bn1?b1n?

证：令D1??am1?bnn?，对D1的阶数m用数学归纳法。 把D1中元素aij的余子式记作Mij

3

当m=1时，左端依第一行展开，得

a11c11?cn10b11?bn1?bnn?0?b1nb11?a11?bn1?b1n? ?bnn假设要证式当m=k-1时已经成立，现在证m=k的情形，按第一行展开，有

a11?D?ak1c11?cn1???a1k??akkc1k?cnk??(?1)K?1a1kak1c11?cn1???a210?0b11?bn1??0?0??bnn?a2k?1?akk?1c1k?1?cnk?10?0b11?bn1??b1n?a11a22?ak2c12?cn2??0?0??bnn?b1n???a2k?akkc1k?cnk0?0b11?bn1??0?0??bnn?b1n??

依据归纳法假设上式右端变为

11D?a11(?1)1?1M11D2???a1k(?1)1?kM1kD2 11?[a11(?1)1?1M11???a1k(?1)1?kM1k]D2

a11?D1?D2??ak1??a1kakkb11bn1?b1n?

????bnn于是证明了对m=k情形仍然成立。 由数学归纳法，结论成立，证毕。

定理：由定义按不同行、列展开计算n阶行列式所得的结果是唯一确定的。 证明略。

4

§2 行列式的性质

设行列式

a11D?a21?an1a12a22?an2??a1n?anna11a21a22?a2n?an1??ann?a2na12?a1n?an2 D??

D?叫做行列式 D的转置行列式。

性质1：行列式与它的转置行列式相等。

证：使用数用归纳法，对于二阶行列式性质1显然成立，假设对于n-1阶行列式性质1成立，把n阶行列式Ｄ按第一行展开，依据归纳法假设可得

D?nn?(?1)j?11?ja1jM1j??(?1)1?ja1jM1?jj?1?D?

右端恰为D?按第一列的展开式。

性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。

证：先证明邻行互换时行列式变号，设D１是由n阶行列式Ｄ的第i行与第i＋１行互换得到的行列式。

?ai?1,1D1?ai?1,1ai,1???ai?1,n?ai?1,n??i行 ai,ni?1行把D１按第i+1行展开

D1??(?1)j?1ni?1?jaijMij???(?1)1?jaijMij??D

j?1n设D２是由n阶行列式Ｄ的第i行与第j行互换得到的行列式，不妨设i

D2?(?1)(j?i)?(j?i?1)D??D

推论：如果行列式有两行（列）完全相同，那么此行列式为零。 性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数K，等于用数

5

a11Dx1?a21?an1b1?b2?bna12a22?an2a12a22?an2?a1n?x1?a11x1?a12x2???a1nxna21x1?a22x2???a2nxn?an1x1?an2x2???annxna12a22?an2?a1n??a2n?ann?a1n??ann?a2n?a2n?ann

?D1

一般有 Dxj?Dj j=1，2，?，n 这里Dj是D中第j列a1j,a2j,?,anj换成（1）的常数列b1,b2,?,bn得到的行列式，当D≠0时，有

x1?D1D,?,xn?DnD (2)

证明了：线性方程组（1）当D≠0时，如果有解，那么解必唯一，现在来验证（2）确是线性方程组（1）的解，即要证明：

ai1D1D?ai2D2D???ainDnD?bi i=1,2,?，n

即 ai1D1?ai2D2???ainDn?biD i=1,2,?，n 引进两行相同的n+1阶行列式（辅助）

bib1?bnai1a11?an1?ain??ann?a1n ， i=1,2,?，n

按第1行展开，因为第1行第j+1列元素aij的代数余子式是

b1(?1)1?j?1?bna11?an1?an,j?1an,j?1?ann?a1,j?1a1,j?1?a1n

又因为这n+1阶行列式是零，所以有

biD?ai1D1???ainDn?0 ，i=1,2,?，n

这说明（2）确是线性方程组（1）的解。

11

克莱姆（G.Cramer）法则：n个未知数n个方程的线性方程组（1），如果它的系数行列式D≠0，那么它有唯一解。

x1?D1D,?,xn?DnD

式中Dj是把D的第j列元素a1j,a2j,?,anj分别换成常数列b1,b2,?，bn得到的行列式。

特点地，当（1）右端各常数项都是零时，得到的齐次线性方程组。

?a11x1???a1nxn?0?????ax???ax?0nnn?n11

（3）

显然x1?x2???xn?0是它的解，由克莱姆法则得到。

推论：若n个未知数n个方程的齐次线性方程组（3）的系数行列式D≠0，那么它只有零解：

x1?0,x2?0,?,xn?0

例1：解齐次线性方程组

?x?3y?2z?0??2x?y?3z?0 ?3x?2y?z?0?解：因为系数行列式 D=42≠0 所以方程组只有零解 x=0, y=0, z=0

例2：解线性方程组

?2x1?x2?5x3?x4?8??x1?3x2?6x4?9 ??2x2?x3?2x4??5??x1?4x2?7x3?6x4?0解：D=27，D1=81 D2=-108 D3=-27 D4=27 解得 x1?

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D1D?3,x2?D2D??4,x3?D3D??1,x4?D4D?1

计算行列式的方法： （1）降阶法

①利用行（列）初等变换：1）互换两行（列）；2）某行（列）乘以K倍 ； 3）某行（列）的K倍加到另一行（列）上去；

②看行和（列和），如行和相等，则均可加到某列上去，然后提出一数； ③逐行相减（加）；

④找递推公式，注意对称性； ⑤laplace展开；

一个复杂的行列式往往是以上这些步骤的联合使用。 （2）升阶（加边）法

a?*10011?a1*1n????0a11?a*1*1na?????*0a11n1?ann0an1?a???nnn?1*0an1（3）分项（拆开）找递推公式

?**1??1?2??n??1?2??n??1?2??n

（4）利用公式

det(AB)=(detA)(detB)

附：特殊行列式的计算公式 （1）Vandermonde行列式

（2）上三角形、下三角形、对角形行列式 （3）

AC0B?A0CB?A00B?AB

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0*a1n

?annn?2????? 第二章 矩阵

一、教学目的：掌握矩阵的概念、矩阵的运算（加、减、乘、数乘）

熟练掌握矩阵的逆运算、矩阵的初等变换及初等矩阵，掌握矩阵分块方法。

二、学时分配：

三、重点、难点：重点掌握矩阵求逆的方法及矩阵的性质。 四、作业：

§1 矩阵的概念

定义1：由m×n个数aij(i?1,2,?m;j?1,2,?,n)排成的m行n列的表

?a11??a21????a?m1a12a22?am2a1n???a2n?称为m×n矩阵，简称矩阵，其中每一个aij????amn???称为矩阵的元素。

矩阵可用大写字母A，B，?来表示，简记为Am?n或A?(aij)m?n

当m=n时，A称为n阶方阵或n阶矩阵； 当m=1时，A称为行矩阵 当n=1时，A称为列矩阵。

?0??0定义2：元素都是零的矩阵称为零矩阵，记之为：????0?0?0??0?0?

????0?0??定义3 如果两个矩阵 A?(aij)m?n与B?(bij)mxn的一切对应元素都相等：

aij?bij（i=1,2,?m; j=1,2,?，n），那么称这两矩阵相等，记为A=B

几个特殊矩阵 （1）单位阵

14

En?(?ij)n?n?1??????0?1?0???? ?1??（2）对角阵

??1???i?ij??????0??20????

???n??也可记为diag(?1,?2,?,?n)

（3）上三角阵

?a11??A??0???a12a22a1n??a2n?

????ann???若记A?(aij)，其元素aij当i>j时为零。

（4）下三角阵

?a11??a21A?????a?n1a22an2??0?? ??ann??若记A?(aij)，其元素aij当i

§2 矩阵的运算

一、矩阵的加法

定义1：设A?(aij),B?(bij)，是两个m×n矩阵，则矩阵

C?(Cij)m?n?(aij?bij)m?n

称为A和B的和，记为C=A+B

结合律：A+（B+C）=（A+B）+C 交换律：A+B=B+A

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矩阵

??a11???a21?????am1??a12?a22??am2?a1n????a2n? ?????amn???称为矩阵A的负矩阵，记为-A，显然有A+（-A）=0

矩阵的减法定义为

A- B=A+（-B）

二、矩阵与数的乘法

定义2：矩阵

?ka11??ka21????ka?m1ka12ka22?kam2ka1n???ka2n? ????kamn???称为矩阵A??aij?m?n与数k的数量乘积，记为kA 数量乘积满足以下规律：

(k?l)A?kA?lAk(A?B)?kA?kBk(lA)?(kl)A1A?A

三、矩阵的乘法

定义3：设A?(aik)m?s B?(bkj)s?n则矩阵C?(Cij)m?n 其中Cij?ai1b1j?ai2b2j???aisbsj??aikbkj

K?1S称为A与B的乘积，记为C=AB

例1：设

?2A???3??11?1?0??B? ?2??2???5??3??1? 0?? 16

?2则 C?AB???3??11?10????2??2????5?3???01????15??0??7?? ??8?例2：如果A?(aij)m?n是一线性方程组的系数矩阵，而

?x1??b1?????x?2??b?X??? B??2?

???????x??b??n??m?分别是未知量和常数项所成的n?1和m?1矩阵，那么线性方程组可以写成矩阵形式，AX?B 1.矩阵的乘法满足结合律

设A?(aij)m?n,B?(bjk)n?p,C?(Ckl)p?q 证明： （AB）C=A（BC）

令 U?AB?(uik)m?p V?BC?(Vjl)n?q

S?(AB)C?(Sil)m?q W?A(BC)?(Wil)m?q

则 uik??aijbjk(i?1,2,?,m;k?1,2,?,p)

j?1n vjl??bikCkl(j?1,2,?,n;l?1,2,?q)

k?1p又因为 S?(AB)C?UC

故 Sil??uikCkl??(?aijbjk)ckl???aijbjkckl

k?1k?1j?1k?1j?1ppnPn而 W=A(BC)=AV

故 Wil??aijvjl??(?bjkckl)???aijbjkckl

j?1j?1k?1j?1k?1nnpnn得证结论

※矩阵的乘法不适合交换律，即：一般AB≠BA 例如：

1??1?1?1???A??B? ??1?1???11??

????

17

1??1?1??0?1????AB??????????1?1???11??00?? 0??2?? ??2?而 BA????1?1??11??2???????????11???1?1???22. 矩阵乘法满足运算规律

（1）数乘矩阵与所有的n×n矩阵相乘是可交换的。

kA=（kE）A=A（kE）

（2）矩阵乘法和加法适合分配律，即

（A+B）C=AC+BC C(A+B)=CA+CB

(3)矩阵的乘法和矩阵与数的乘法还适合结合律。

k(AB)=(kA)B=A(kB)

3. 矩阵的方幂：

设A为n阶方阵，定义A1=A， Ak+1=AkA 即Ak是k个A连乘

AkAl?Ak?l(AK)l?Akl

4.方阵A与它的行列式（记为|A|或detA）之间的联系。 设A和B均为n阶方阵，k为常数，则 1）|kA|=kn|A|； 2）|AB|=|A|·|B| 证明略： 四、矩阵的转置

定义4：设

?a11??a21A?????a?m1?a11??a12A??????a?1n

a12a22?am2a1n???a2n? ????amn???an1???an2? ????amn???18

所谓A的转置就是指矩阵

a21a22?a2nm×n矩阵的转置是n×m矩阵 1. 矩阵的转置适合下列规律：

(A?)??A(1)(A?B)??A??B?(2) (AB)??B?A?(3)(kA)??kA?(4)

证明（3）：设A?(aij)m?s B?(bij)s?n 则AB中（i,j）的元素为

?saikbkj

k?1S所以(AB)′中（i,j）的元素为?ajkbki （5）k?1其次，B?中（i,k）的元素为bkiA?中（k,j）的元素为ajk 故B?A?中（i,j）的元素即为：

?ssbkiajk? k?1?ajkbki k?1比较（5），（6）即得（3）

7?1?例4：设A???20?1???2??B?123??13? ??4?? ?201??AB???20?1???17?1?14?3???132??43?????0??2???201???171310??? ?21??12?A????03?? B???4?720??? ??12?????131???142??21??0B?A????720?1413?????03????17?????(AB)? ??131????12?????310??§3 逆矩阵

定义1：设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得

A B=B A=E

（这里E是n阶单位阵），那么A称为可逆的，B称为A的逆矩阵。

19

6）

（1.对任意方阵A，若逆矩阵存在的话，必定唯一。 假设有B1，B2使AB1=B1A=E，AB2=B2A=E

B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2

定义2：设Aij是矩阵

??a11a12?a1n?A??aaa?2122??2n?????? ??an1an2?a?nn??中元素aij的代数余子式，则矩阵

??A11A21?An1?A*??AA?1222?A?n2?????? ??A1nA2n?A?nn??称为A的伴随矩阵

由行列式按一行（列）展开的公式，即得

??|A|0?0?AA*?A*A??0|A|?0?????????|A|E ??00?|A|???如果 |A|?0,则A???1??1?|A|A*???????|A|A*???A??E 定理：方阵A可逆的充分必要条件|A|≠0，且A?1?1|A|A*证：假设|A|≠0，则由（3）式知，A可逆，且A?1?A*|A|

反过来，如果A可逆，那么必存在A-1，使

A A-1=E

两边取行列式，得|A||A-1|=|E|=1 因而|A|≠0证毕

2. 由定理可知，对于n阶方阵A，B，如果AB=E 那么A，B就都是可逆的，并且它们互为逆矩阵。

20

（2）（3） 4）

（

?x1?x2?x3?x4?x5?2??2x1?3x2?x3?x4?3x5?0 （6） ?x?2x?2x?6x?6345?1??4x1?5x2?3x3?3x4?x5?4解：对其增广矩阵施行初等行变换

?1??2B??1??4??1??0??0??0?11001305112310011231002??1???30??0??066?????0?14??1002???4??B10??0??111?11111115?1?1?5?1?1?52???4?4???4??

?1?1?5可见rank(A)?rank(B)?2?5 方程组（6）有无穷多解。

通常为了求解方便，一般在最后一个矩阵B1中选取不为零的2阶子式，继续施行初等行变换，把选定的2阶子式所对应的子块化成单位矩阵，如：

?1??0B1??0??0?1100100100100?1?1?52???4????0??0???1??0?0??0?0100200200600?1?1?56???4??B2 0??0??由B2得方程组（6）的同解方程组

x1?2x3?2x4?6x5?6 （7）

x2?x3?x4?5x5??4

把（7）中x4,x5,x6移到右边，作为自由未知量，即得原方程组（6）的全部解

46

x3?2~x4?6~x5?x1?6?2~?~~~?x2??4?x3?x4?5x5? ?x3?~ x3?x?~x4?4~??x5?x5其中~x,~x,~x为任意实数。

345 例2：设线性方程组

?a??1 ?1??1?1a1111a11??x1??a??????1??x2??a???? （8） ???1x3a?????????a???x4??a?其中a为实数，试讨论方程组的解

解：首先考察（8）的系数矩阵A对应的行列式

aA? det1111a1111a1111a

因为

a?3A? det11111a?100000a?3a1110a?10a?31a1100a?1?(a?3)(a?1)3 a?311a?（a?3)111a111111a1111a

=(a?3)所以当a?1和?3时,detA?0,从而rank(A)?rank(B)?4，方程组（8）有唯一解。

当a??3时，增广矩阵为

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?a??1 B??1??1??1??0 ?0??0?1a11140011a11440111a?3?8?40a???3??a??1???a1???a???11?31111?31111?3?3???3???? ??3??3???1???1?由于rank(A)?3,rank(A)?4,所以（8）?1???1??无解。

当a?1时

?1??1 B??1??1?1111??1??1111??0????1111?0???01111???1000100010001??0? 0??0??由于rank(A)?rank(B)?1?4（未知数个数），所以（8）有无穷多解，可得（8）的同解方程组

x1?x2?x3?x4?1 （9）

把方程（9）中的x2,x3,x4移到右边，作为自由未知量，即得原方程组

(a?1时)的全部解。

x2,~x3,~x4为任意常数） x2?~x3?~x4（其中~ x1?1?~例3：解线性方程组

?x1?x2?x3?x4?x5?0??3x?2x2?x3?x4?3x5?0 ?1

x?2x?2x?6x?0345?2??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?0解：对其系数矩阵A施行初等行变换

?1??3 A??0??5?1214112311231??1???3??0????6?0???0?1???11121?22?2?1?2?1?21???6? 6???6?? 48

?1??0????0??0?1100120012001??1??6??0????00?????00??0100?1?15??226? ?000?000??可见，rank(A)?2?5方程组有无穷多非零解，共同解方程组为

?x1?x3?x4?5x5?0 ??x2?2x3?2x4?6x5?0 把x3,x4,x5移到右端，作为自由未知量，即得原方程组的全部解为

x3?~x4?5~x5?x1?~?~~~?x2??2x3?2x4?6x5? ?x3?~， 其中x3,x4,x5为任意常数。 x3?x?~x4?4~??x5?x5§5线性方程组的结构

一、齐次线性方程组的结构

设齐次线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?0??a21x1?a22x2???a2nxn?0 （1） ???????am1x1?am2x2???amnxn?0改写成矩阵形式为 AX?0 （2）

?a11??a 其中 A??21???a?m1a12a22am2a1n??x1?????a??x2?2n ， X??????????x???amn??n?? 把方程组（1）的解，例如，x1?k1，x2?k2,?，xn?kn，看成一个n维向量并称其为方程组（1）的解向量，简称为方程组（1）的解，记为

??(k1,k2,?kn)

方程组（1）的解具有如下重要性质：

1）如果 X??1 ，X??1是方程组（1）的解，那么X??1+?2也是方程组（1）的解；

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2）如果是X??1方程组（1）的解，k为实数，那么也X?k?1是方程组（1）的解。

推广：

c1,c2,?,cm是常数，如果?1,?2,?,?m都是方程组（1）的解，那么?1,?2,?,?m的线性组合

c1?1?c2?2???cm?m

也是方程组（1）的解。

定义1：齐次线性方程组（1）的全部解向量的极大无关组，称为该方程组（1）的基础解系。

定理1：设齐次线性方程组（1）的系数矩阵A的秩为r,则 1）当r?n时，方程组（1）只有零解，即没有基础解系；

2）当r?n时，方程组（1）有无穷多解，即有无穷多个基础解系，每个基础解系包含n?r个解向量。

证：由方程组（1）rank(A)?r，根据§4定理2，即知1）中所述的事实是显然的，下面只需要证明2）成立，而2）中方程组（1）有无穷多解，根据§4定理2，是已知的，所以只需证2）中后面的事实成立。 在方程组（1）的系数矩阵A中，不妨设A左上角的r阶子式不为零，则根据§4定理2的证明，即知方程组（1）与§4中的方程组（3）相应的齐次线性方程组同解，于是，当

r?n时，把§4中方程组（3）相应的齐次线性方程组改写如下：

?a11x1???a1rxr??a1r?1xr?1???a1nxn??a21x1???a2rxr??a2r?1xr?1???a2nxn （3） ????????ax???ax??ax???axrrrrr?1r?1rnn?r11从而由自由未知量xr?1,xr?2?,xn取值的任意性，把xr?1,xr?2?,xn分别取以下n?r组数值：

（1，0，?，0），（0，1，0，?，0），??，（0，0，?，1）

即得方程组（3），也就是方程组（1）的n?r个解向量，记为 ?1?(c11,?,c1r,1,0,?,0)? ?2?(c21,?,c2r,0,1,?,0)?

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