随州市广水市2016届中考数学模拟试卷含答案解析

2016年湖北省随州市广水市中考数学模拟试卷

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运算正确的是（ ） A．3﹣1=﹣3 B．2．估计

=±3 C．（ab2）3=a3b6 D．a6÷a2=a3

的值（ ）

A．在2到3之间 B．在3到4之间 C．在4到5之间 D．在5到6之间 3．下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

4．若三角形的两边长分别为6cm，9cm，则其第三边的长可能为（ ） A．2cm B．3cm C．7cm D．16cm

5．今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”．某村小为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10，15，10，17，18，20．对于这组数据，下列说法错误的是（ ）

A．平均数是15 B．众数是10 C．中位数是17 D．方差是6．已知a＜b，下列式子不成立的是（ ） A．a+1＜b+1 B．3a＜3b

C．﹣ a＞﹣b D．如果c＜0，那么＜

7．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是（ ）

A． B．2 C．1 D．2

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8．如图，已知?ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（ ）

A．130° B．150° C．160° D．170°

9．如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+6于A、B两点，若反比例函数y=（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（ ）

A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8

10．如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题： ①当x＞0时，y＞0； ②若a=﹣1，则b=4；

③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2； ④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6

．

其中真命题的序号是（ ）

A．① B．② C．③ D．④

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

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11．若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是 ．

12．如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆的高度约为 m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

13．已知m是整数，且一次函数y=（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，则m= ． 14．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是 ．

15．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=2cm，C为的中点，则图中阴影部分的面积为 cm2．

的中点，D、E分别是OA、OB

16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为1．其中正确的说法是 ．（把你认为正确的说法的序号都填上）

﹣

三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17．先化简，再求值：（

）÷

，其中a，b满足

+|b﹣

|=0．

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18．如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E． （1）求证：AB=AE；

（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．

19．甲、乙两人准备整理一批新到的图书，甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理30分钟才能完工．问乙单独整理这批图书需要多少分钟完工？ 20．下表中，y是x的一次函数． x y ﹣2 6 1 ﹣3 2 5 ﹣15 ﹣ 12 （1）求该函数的表达式，并补全表格；

（2）已知该函数图象上一点M（1，﹣3）也在反比例函数y=图象上，求这两个函数图象的另一交点N的坐标．

21．901班的全体同学根据自己的兴趣爱好参加了六个学生社团（2015?黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．

（1）求证：∠BCP=∠BAN （2）求证：

=

．

23．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是

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400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．

（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围； （2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？

24．定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．

理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；

（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；

（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=

，点A在BP边上，且AB=13．用

圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．

25．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；

（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．

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2016年湖北省随州市广水市中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运算正确的是（ ） A．3﹣1=﹣3 B．

=±3 C．（ab2）3=a3b6 D．a6÷a2=a3

【考点】同底数幂的除法；算术平方根；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂． 【专题】计算题．

【分析】运用负整数指数幂的法则运算，开平方的方法，同底数幂的除法以及幂的乘方计算． 【解答】解：A、3﹣1=≠﹣3，故A选项错误； B、

=3≠±3，故B选项错误；

C、（ab2）3=a3b6，故C选项正确； D、a6÷a2=a4≠a3，故D选项错误． 故选：C．

【点评】此题考查了负整数指数幂的运算，开平方，同底数幂的除法以及幂的乘方等知识，解题要注意细心． 2．估计

的值（ ）

A．在2到3之间 B．在3到4之间 C．在4到5之间 D．在5到6之间 【考点】估算无理数的大小． 【专题】计算题． 【分析】先确定【解答】解：9＜故选B．

【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题，属于基础题．

3．下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）

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的平方的范围，进而估算

=11＜16，故3＜

的值的范围． ＜4；

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形；简单几何体的三视图．

【分析】先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； B、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； D、主视图是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确． 故选：D．

【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合； 中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4．若三角形的两边长分别为6cm，9cm，则其第三边的长可能为（ ） A．2cm B．3cm C．7cm D．16cm 【考点】三角形三边关系． 【专题】应用题．

【分析】已知三角形的两边长分别为6cm和9cm，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，或者任意两边之差＜第三边，即可求出第三边长的范围． 【解答】解：设第三边长为xcm． 由三角形三边关系定理得9﹣6＜x＜9+6， 解得3＜x＜15． 故选C．

【点评】本题考查了三角形三边关系定理的应用．关键是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可．

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5．今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”．某村小为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10，15，10，17，18，20．对于这组数据，下列说法错误的是（ ）

A．平均数是15 B．众数是10 C．中位数是17 D．方差是【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．

【分析】根据方差、众数、平均数和中位数的计算公式和定义分别进行解答即可． 【解答】解：平均数是：（10+15+10+17+18+20）÷6=15； 10出现了2次，出现的次数最多，则众数是10； 把这组数据从小到大排列为10，10，15，17，18，20， 最中间的数是（15+17）÷2=16，则中位数是16；

方差是： [2（10﹣15）2+（15﹣15）2+（17﹣15）2+（18﹣15）2+（20﹣15）2]=则下列说法错误的是C． 故选：C．

【点评】此题考查了方差、众数、平均数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．

6．已知a＜b，下列式子不成立的是（ ） A．a+1＜b+1 B．3a＜3b

C．﹣ a＞﹣b D．如果c＜0，那么＜ 【考点】不等式的性质．

【分析】利用不等式的性质知：不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，同乘以或除以一个负数不等号方向改变．

【解答】解：A、不等式两边同时加上1，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意； B、不等式两边同时乘以3，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；

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=．

C、不等式两边同时乘以﹣，不等号方向改变，故本选项正确，不符合题意； D、不等式两边同时乘以负数c，不等号方向改变，故本选项错误，符合题意． 故选D．

【点评】本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．

7．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是（ ）

A． B．2 C．1 D．2

【考点】解直角三角形． 【专题】计算题．

【分析】作DE⊥AB，构造直角三角形，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长． 【解答】解：作DE⊥AB于E点． ∵tan∠DBA==∴BE=5DE，

∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠A=45°， ∴AE=DE． ∴BE=5AE， 又∵AC=6， ∴AB=6

．

， ，

∴AE+BE=5AE+AE=6∴AE=

，

∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD=故选B．

AE=2．

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【考点】一次函数的性质；一次函数的定义．

【分析】由于一次函数y=（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，则得到可m的值．

【解答】解：∵一次函数y=（m+4）x+m+2的图象不过第二象限， ∴

，

，然后解不等式即

解得﹣4＜m≤﹣2， 而m是整数， 则m=﹣3或﹣2． 故填空答案：﹣3或﹣2．

【点评】此题首先根据一次函数的性质，利用已知条件列出关于m的不等式组求解，然后取其整数即可解决问题．

14．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是 x3=﹣4，x4=﹣1 ． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】计算题；压轴题．

【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．

【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=﹣2或x+2=1， 解得x=﹣4或x=﹣1． 故答案为：x3=﹣4，x4=﹣1．

【点评】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．

15．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=2cm，C为的中点，则图中阴影部分的面积为 （π+

﹣） cm2．

的中点，D、E分别是OA、OB

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【考点】扇形面积的计算． 【专题】压轴题．

【分析】连结OC，过C点作CF⊥OA于F，先根据空白图形ACD的面积=扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积，求得空白图形ACD的面积，再根据三角形面积公式得到三角形ODE的面积，再根据图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积，列式计算即可求解．

【解答】解：连结OC，过C点作CF⊥OA于F， ∵半径OA=2cm，C为

的中点，D、E分别是OA、OB的中点，

∴OD=OE=1cm，OC=2cm，∠AOC=45°， ∴CF=

，

∴空白图形ACD的面积=扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积 ==π﹣

﹣×（cm2）

三角形ODE的面积=OD×OE=（cm2），

∴图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积 ==π+

﹣（π﹣﹣（cm2）．

﹣）cm2． ）﹣

故图中阴影部分的面积为（π+故答案为：（π+

﹣）．

【点评】考查了扇形面积的计算，本题难点是得到空白图形ACD的面积，关键是理解图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积．

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16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为1．其中正确的说法是 ②④ ．（把你认为正确的说法的序号都填上）

﹣

【考点】四边形综合题． 【专题】压轴题．

【分析】根据正方形对角线的性质可得出当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为AC中点，故①错误；求得∠BAE=∠CBF，根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，然后利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得AE=BF，判断出②正确；根据题意，G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，然后求出弧的长度，判断出③错误；由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，根据勾股定理求出最小CG长度．

【解答】解：∵在正方形ABCD中，BF⊥AE， ∴∠AGB保持90°不变，

∴G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，

∴当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为AC中点， ∴AG=GE，故①错误； ∵BF⊥AE，

∴∠AEB+∠CBF=90°， ∵∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠CBF， 在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴故②正确；

∵当E点运动到C点时停止，

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∴点G运动的轨迹为圆， 圆弧的长=

×2=

，故③错误；

由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值， OC=

=

，

﹣1，故④正确；

CG的最小值为OC﹣OG=

综上所述，正确的结论有②④． 故答案为②④．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，勾股定理的应用，熟记性质并求出△ABE和△BCF全等是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．

三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17．先化简，再求值：（

）÷

，其中a，b满足

+|b﹣

|=0．

【考点】分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根． 【专题】计算题．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=[∵∴

+|b﹣

|=0， ，

，

﹣

]?

=

?

=，

解得：a=﹣1，b=则原式=﹣

．

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【点评】此题考查了分式的化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E． （1）求证：AB=AE；

（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．

【考点】作图—基本作图；等腰三角形的判定与性质．

【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠AEB=∠EBC，根据角平分线的性质，可得∠EBC=∠ABE，根据等腰三角形的判定，可得答案；

（2）根据三角形的内角和定理，可得∠AEB，根据平行线的性质，可得答案． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBC．

由BE是∠ABC的角平分线， ∴∠EBC=∠ABE， ∴∠AEB=∠ABE， ∴AB=AE；

（2）由∠A=100°，∠ABE=∠AEB，得 ∠ABE=∠AEB=40°． 由AD∥BC，得 ∠EBC=∠AEB=40°．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，利用了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定．

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19．甲、乙两人准备整理一批新到的图书，甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理30分钟才能完工．问乙单独整理这批图书需要多少分钟完工？ 【考点】分式方程的应用． 【专题】工程问题．

【分析】将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可． 【解答】解：设乙单独整理x分钟完工，根据题意得：

=1，

解得x=100，

经检验x=100是原分式方程的解． 答：乙单独整理100分钟完工．

【点评】本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量=工作效率×工作时间．

20．下表中，y是x的一次函数． x y ﹣2 6 1 ﹣3 2 ﹣6 4 ﹣12 5 ﹣15 （1）求该函数的表达式，并补全表格；

（2）已知该函数图象上一点M（1，﹣3）也在反比例函数y=图象上，求这两个函数图象的另一交点N的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式． 【专题】计算题．

【分析】（1）设y=kx+b，将点（﹣2，6）、（5，﹣15）代入可得函数解析式，也可补全表格； （2）将点M的坐标代入，可得m的值，联立一次函数及反比例函数解析式可得另一交点坐标． 【解答】解：（1）设该一次函数为y=kx+b（k≠0）， ∵当x=﹣2时，y=6，当x=1时，y=﹣3， ∴

，

解得：，

∴一次函数的表达式为：y=﹣3x，

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当x=2时，y=﹣6； 当y=﹣12时，x=4． 补全表格如题中所示．

（2）∵点M（1，﹣3）在反比例函数y=上（m≠0）， ∴﹣3=， ∴m=﹣3，

∴反比例函数解析式为：y=﹣，

联立可得，

解得：或，

∴另一交点坐标为（﹣1，3）．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是熟练待定系数法的运用，难度一般．

21．901班的全体同学根据自己的兴趣爱好参加了六个学生社团（2015?黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．

（1）求证：∠BCP=∠BAN （2）求证：

=

．

【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质． 【专题】证明题．

第22页（共29页）

【分析】（1）由AC为⊙O直径，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根据PC是⊙O的切线，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到结论．

（2）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到∠PBC=∠AMN，证出△BPC∽△MNA，即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AC为⊙O直径， ∴∠ANC=90°， ∴∠NAC+∠ACN=90°， ∵AB=AC， ∴∠BAN=∠CAN， ∵PC是⊙O的切线， ∴∠ACP=90°， ∴∠ACN+∠PCB=90°， ∴∠BCP=∠CAN， ∴∠BCP=∠BAN；

（2）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB，

∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°， ∴∠PBC=∠AMN， 由（1）知∠BCP=∠BAN， ∴△BPC∽△MNA， ∴

．

【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，解此题的关键是熟练掌握定理．

23．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．

第23页（共29页）

（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围； （2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用． 【专题】销售问题．

【分析】（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值．

（2）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w； 【解答】解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台， y=200+50×则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：

y=﹣5x+2200； ，化简得：

供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台， 则

解得：300≤x≤350．

∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；

（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200）， 整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000． ∵x=320在300≤x≤350内， ∴当x=320时，最大值为72000，

即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．【点评】本题主要考查对于一次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识．

24．定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．

理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；

（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；

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，

（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，点A在BP边上，且AB=13．用

圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．

【考点】四边形综合题． 【专题】新定义．

【分析】（1）根据对等四边形的定义，进行画图即可；

（2）连接AC，BD，证明Rt△ADB≌Rt△ACB，得到AD=BC，又AB是⊙O的直径，所以AB≠CD，即可解答；

（3）根据对等四边形的定义，分两种情况：①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11；利用勾股定理和矩形的性质，求出相关相关线段的长度，即可解答．

【解答】解：（1）如图1所示（画2个即可）．

（2）如图2，连接AC，BD，

∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=∠ACB=90°， 在Rt△ADB和Rt△ACB中，

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∴Rt△ADB≌Rt△ACB， ∴AD=BC，

又∵AB是⊙O的直径， ∴AB≠CD，

∴四边形ABCD是对等四边形． （3）如图3，点D的位置如图所示：

①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；

②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11， 过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F， 设BE=x， ∵tan∠PBC=∴AE=

，

，

在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2， 即

，

解得：x1=5，x2=﹣5（舍去）， ∴BE=5，AE=12， ∴CE=BC﹣BE=6，

由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12， 在Rt△AFD2中，∴

，

或12+

．

， ，

综上所述，CD的长度为13、12﹣

【点评】本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概念．在（3）中注意分类讨论思想的应用、勾股定理的应用．

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25．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；

（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．

【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题．

【分析】（1）由y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；

（2）首先令﹣x2+2x+3=0，求得点B的坐标，然后设直线BC的解析式为y=kx+b′，由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（a，3﹣a），即可得D（a，﹣a2+2a+3），即可求得PD的长，由

2

S△BDC=S△PDC+S△PDB，+即可得S△BDC=﹣（a﹣）

，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC

的面积最大时，求点P的坐标；

（3）首先过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，然后分别从点M在EF左侧与M在EF右侧时去分析求解即可求得答案． 【解答】解：（1）由题意得：解得：

，

，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）令﹣x2+2x+3=0， ∴x1=﹣1，x2=3，

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即B（3，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b′， ∴

，

解得：，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，

设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3）， ∴PD=（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）=﹣a2+3a， ∴S△BDC=S△PDC+S△PDB =PD?a+PD?（3﹣a） =PD?3 =（﹣a2+3a） =﹣（a﹣）2+

，

∴当a=时，△BDC的面积最大，此时P（，）；

（3）由（1），y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴OF=1，EF=4，OC=3，

过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1， 当M在EF左侧时， ∵∠MNC=90°， 则△MNF∽△NCH， ∴

，

设FN=n，则NH=3﹣n， ∴

，

即n2﹣3n﹣m+1=0，

关于n的方程有解，△=（﹣3）2﹣4（﹣m+1）≥0，

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得m≥且m≠1；

当M与F重合时，m=1；

当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°， 作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°， ∵FM=EF=4， ∴OM=5，

即N为点E时，OM=5， ∴m≤5，

综上，m的变化范围为：﹣≤m≤5．

【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．

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