流体力课后习题详解

流体力学习题解答

第一章

绪论

1—1

?1.875?10?5????1.61?10?5m2/s?1.165解：

1—2 解：

?????992.2?0.661?10?6?0.656?10?3Pas

dV1?0.1??20Pa dy0.0051—3 解：设油层速度呈直线分布

???1-4 解：木板沿斜面匀速下滑，作用在木板上的重力G在斜面的分力与阻力平衡，即

T?Gsin300n?5?9.81?0.5?24.53N

??AdVdy

由T??Tdy24.53?0.001??0.114Ns/m2

AdV0.4?0.6?0.91-5 解：上下盘中流速分布近似为直线分布，即

dVV?dy?

在半径r处且切向速度为

???r

??? 切应力为

dVV?r????dyy????4d32?

转动上盘所需力矩为M=

?dM???dA

1 =

??d20d2?(2?rdr)r

??r2?r2dr ? =

0 =1-6解：由力的平衡条件 而

???4

d32?G??A

dV drdV?0.046m/s

???dr??0.15?0.1492?/2?0.00025

G??AdVdr

??GdrdVA?9?0.000250.04?60.1??5?0.14?0.9569P4as

1-7解：油层与轴承接触处V=0, 与轴接触处速度等于轴的转速，即

V??dn??0.36?200

60?60?3.77m/sT??A??V?dl?0.73?3.77???0.36?1

?1.353?104?2.3?10?4N 克服轴承摩擦所消耗的功率为

N?M??TV?1.353?140?3.7?71-8解:

??dVV/dT dV

V??dT?0.00045?50?0.0225 dV?0.0225V?0.0225?10?0.225m3或，由

dVV??dT积分得

lnV?lnV0???t?t0?

V?V?t?t0?3

0e??10e0.00045?50?10.23m10.5d?1.051-9解:法一： 5atm

??0.538?10?9

10atm

??0.536?10?9

??0.537?10?9

d?

???dp

d????d?=0.537 x 10-9 x (10-5) x98.07 x 103 = 0.026%

法二：

d????d? ,积分得

51.kW0 2ln??ln?0???p?p0?

??p?p0.537?10?e???e?0???0?0.026%?0?9??10?5??98.07?103?1.00026

1-10 解：水在玻璃管中上升高度 h =

29.8?2.98mm d 水银在玻璃管中下降的高度 H =

10.5?1.05mm d第二章

流体静力学

2-1 解：已知液体所受质量力的x向分量为 –a ,z 向分量为-g。 液体平衡方程为

dp??(?adx?gdz)????????（1）

考虑等压方面dP=0, 由式（1）得

?adx?gdz?0????????（2）

积分该式，得等压面方程

?ax?gz?C

由边界条件确定积分常数C。建立坐标如图，选取位于左侧自由面管轴处得点 （x,z）= (0,h),将坐标值代入上式，得C=-gh，通过该点的等压面方程为

?ax?gz??gh????????（3）

由该式可解出加速度

a?h?zg x 位于右侧自由面管轴处的点位于该等压面上，（x,z）=(L-0)满足等压面方程（3）将

x?L?30cm,h?a?z?5?0?5代入上式，得cm

5?9.8m/s2 30

2-2 解：设Pabs0表示液面的绝对压强。A点的绝对压强可写成 解得

pabs0?g?h=pa?g?z?p

pabs0?pa?g?(z?h)?p

??0.98?105?9.8?1000??0.5?1.5??4.9?103?Pa?93.1?10pa?93.1kPa3

液面的相对压强

p0?pabs0?pa??93.1?103?9.8?104?Pa??4900Pa

2-3解：（1）A 、B两点的相对压强为

FFF4?4?103pA?pB????pa

A?d2/4?d2??13 A’ 、B’两点的相对压强为

?5.09?103pa

P'A?P'B?PA?g?h??5.09?103?9.8?1000?2?pa?2.47?104pa

(2)容器底面的总压力为

??d2?14F'?PA'A'?PA'??2.47?10????22N?7.76?104N ?4?4?p0?g?h?pa 故

2-4解：由题意得

h?pa?p09.8?10000?85?1000?m?1.33m

g?9.8?10002-5 解：设真空计内液面压强为P0，A点绝对压强为PabsA,

pabsA?p0?g?z,pa?p0?g?h

消去该两式的P0，得

pabsA?pa?g?h?g?z?pa?g?(z?h)

44???9.8?10?9.8?1000?1?2Pa?8.82?10Pa ????

A点的相对压强

pA?pabsA?pa??8.82?104?9.8?104?Pa??9800Pa

A点的真空度

hvA??pA9800?m?1.0m g?9.8?10002-6 解：设压力表G的读数 为PG。容器底压强可写成

pG?g?0?7.62?3.66??g?G?3.66?1.52?

?g?G(9.14?1.52)

解出PG ,得

pG?g?G?9.14?3.66??g?0?7.62?3.66?

??9.8?125?05.?48?9.8?834?Pa3.96??6713?0323?6Pa6?34Pa764

2-7解：压强分布图如图所示

2-8 解：压力表处得相对压强为

p?10at?100mH2O?9.8?105N

由于d=1m<<100m,可认为法兰堵头的平均压强近似等于P。故静

水总压力

P?p?d24?9.8?105??4?12N?7.70?105N

其作用点通过堵头圆心。

注释：根据精确计算，可得总压力为7.74 x 105N,作用点在圆心以下0.62mm处， 故上述近似方法满足设计要求。 2-9解：(1)闸门形心处得压强为

a???3?pC?g??h???9.8?1000??1??Pa?24500Pa

2???2? 故作用在闸门上的静水总压力

P?pcA?pc?ba??24500?2?3N?1.47?105N

(2)设压力中心的位置在D点，则D点在水下的深度为

?B?2?V2?1000?17.83533 ??kg/m?504.63kg/m22?r0L??r0L2-21 解（1）沉箱的混凝土体积

V??5?3?6?4.4?2.4?5.7?m3?29.808m3

410701.?038 沉箱重量

G?g?V??9.8?2400?29.?80N8?A?5?3m2?15m2

沉箱水平截面面积

设吃水深度为h取水的密度

??1000kg/m3。浮力F等于重量G。有

G

701.084?103h???m?4.796m

g?Ag?A9.8?1000?15F2?2.385m.设重心C距底面为h'。有

浮心D距底面为h/

6?6?0.3?h'V??5?3?6????4.4?2.4?5.7????0.3??80.3942?2?h'??80.369/29.808?m?2.697m

重心C位于浮心之上，偏心距

e?h'?h/2??2.697?4.769/2?m?0.312m

1?5?33m4?11.25m4,V?Ah?71.535m3 12 沉箱绕长度方向的对称轴y倾斜时稳定性最差。浮面面积A=15m2.浮面关于y轴的惯性矩和体积排量为

I0? 定倾半径

R0?I0/V??11.25/71.535?m?0.157m

可见，

R0?e，定倾中心低于重心，沉箱是不稳定的。

(2)沉箱的混凝土体积

V??5?3?6?4.4?2.4?5.6?m3?30.864m3 G?g?cV?9.8?2400?30.684N?A?5?3m2?15m2

3 10725.?921N 沉箱的重量

沉箱水平截面面积

设吃水深度为h,取水的密度

?=1000kg/m3.浮力F等于重量G。有

725.921?103h???m?4.938m

g?Ag?A9.8?1000?15FG浮心D距底面为

h/2??4.938/2?m?2.469m 。设重心C距底面为h’。有

6?6?0.4?h'V??5?3?6????4.4?2.4?5.6????0.4??80.7652 ?2?h'??80.765?30.864?m?2.617m重心C位于浮心之上，偏心距

e?h'?h/2??2.617?4.938/2?m?0.148m

沉箱绕长度方向的对称轴y轴倾斜时稳定性最差。浮面面积A=15m2。浮面关于y 轴的惯性矩和体积排量为

I0?1?5?33m4?11.25m4,VB?Ah?60.885m 12定倾半径

R0?I0/VB??11.25/60.885?m?0.152m

可见，

R0>e,定倾中心高于重心，沉箱是稳定的。

第三章 流体运动学

3-1解：质点的运动速度

u?4?314?24?13?,v?,w?? 1010101010tt3t,y?y0?vt?2?,z?z0?wt?1?10510

质点的轨迹方程

x?x0?ut?3?3-2 解：

az?0d2xd?553?ax?2??0.01?t3/2??0.01??t1/2?0.0375t1/2dt?222dt?d2yd?553?ay?2??0.01?t3/2??0.01??t1/2?0.0375t1/2dt?222dt?由

x?1?0.01t525和xA?10,得

25?x?1??10?1?t??A????15.19

?0.010.01????故

ax?0.0375?15.191/2?0146,ay?ax?0.146,az?0a?a?a?a?0.146?0.146?0?0.2063-3解：当t=1s时，点A（1,2）处的流速

2x2y2z22

u?xt?2y??1?1?2?2?m/s?5m/sv?xt?yt?1?1?2?1m/s??1m/s2?2?

流速偏导数

?u?u?u?x?1m/s2,?t?1s?1,?2s?1?t?x?y

?v?v?v?t2?1m/s2,?t2?1s?1,??t??1s?1?t?x?y点A(1,2)处的加速度分量

Du?u?u?u??u?v??1?5?1???1??2?m/s2?3m/s2Dt?t?x?y

Dv?v?v?vay???u?v??1?5?1???1????1??m/s2Dt?t?x?yax?3-4解：(1)迹线微分方程为

dxdy?dt,?dt uu将u,t代入，得

dx??1?y?dtdy?tdt12t 2

利用初始条件y(t=0)=0,积分该式，得

y?将该式代入到式（a）,得dx=(1-t2/2)dt.利用初始条件x(t=0)=0,积分得

1x?t?t3

6联立（c）和（d）两式消去t,得过（0,0）点的迹线方程

2342y?y?2y?x2?0 93(2)流线微分方程为

=

.将u,v代入，得

dxdy?或?1?y?dy?tdx

1?yt将t视为参数，积分得

y?12y?xt?C 212y?xt 2据条件x(t=1)=0和y(t=1)=0,得C=0.故流线方程为

y?3-5 答：

?1??u??v??w?0?0?0,满足?x?y?z?2??u??v??w?k?k?0?0，满足?x?y?z

?3??u??v??w??x?y?z?x?y?z2xy?x2?y22??x??2xy2?y22??0，满足

?4??u??v??w?0?0?0?0，满足?5??u??v??w?0?0?0?0，满足?x?y?z?6?满足ur1?u?kk???2?2?0?0，满足?rrr??rr ?urur1?u??8????0?0?0?0，满足?rrr???9??u??v?4，不满足?x?y?10??u??v?4y,仅在y?0处满足，其他处不满足?x?y?7??ur?3-6 解：

2???11r??V?2??udA?2??umax?1?????rdrdr?r0A?r000???0???2?r02?umax?r3?2umax?r2r4?1?r?dr???umax?2?2?2?22?r02?rr4r0?00?0?0?3-7 证：设微元体abcd中心的速度为ur,u?。单位时间内通过微元体各界面的流体体积分别为

r0r0

?u?ad面?ur?r?r??u?ab面?u???????udr?dr???rd?,bc面?ur?r??r?dr?d?2??r2??

?u?d??d???dr,cd面u?????dr2???2??根据质量守恒定律，有

?ud???ud???udr??udr??????dr??u????dr?0?ur?r?rd???ur?r??r?dr?d???u????r2?r2??2??2????????略去高阶无穷小项（dr）2和drd

,且化简，得

?urur1?u????0 ?rrr??3-8 解：送风口流量

Q?0.2?0.2?5m3/s?0.2m3/s

断面1-1处的流量和断面平均流速

Q1?3Q?3?0.2m3/s?0.6m3/sQ0.6V1?1?m/sA0.5?0.5断面2-2处的流量和断面平均流速

Q2?2Q?2?0.2m3/s?0.4m3/s,V2?断面3-3处的流量和断面平均流速

Q20.4?m/s?1.6m/s A0.5?0.5Q3?Q?0.5m3/s,V?Q30.2?m/s?0.8m/s A0.5?0.53-9解：分叉前干管的质量流量为Qm0=V0。设分叉后叉管的质量流量分别为Qm1和Qm2,则有

Qm0?Qm1?Qm2,Qm1?Qm2

故

2Qm0?d0?d12?d22??V0?0?V1?1?V2?

2844Qm1?Qm2解得

2d0v0?050?25?2.62V1??m/s?18.05m/s

22?45?2.242d1?12d0v0?050?25?2.62V2??m/s?22.25m/s

22?40?2.32d2?23-10 解：

?1?线变形速率?xx??u?0,?yy??v?0?x?y角变形速率?xy?1??u?v?1??????k?k??0?2??x?y??2

?2?线变形速率?xx??u??x角变形速率?yy2xy?x2?y2?2,?yy??v?2xy??yx2?y2???21??v?u?1?y2?x2y2?x2?y2?x2????????22???22222222??x?y?2?x?yx?yx?y???

???

???3?线变形速率?xx??u?0,?yy??v?0?x?y角变形速率?xy?3-11解：线变形速率

1??v?u?1?????2?2??2??2??x?y?2?xx??u?v?2xy?2?1?2?4,?yy???2?1?2??4 ?x?y角变形速率

2222?????xy????2x?y?x?2y?2?1?2?1?2?2??

??2??x?y?2221??v?u?113涡量

?z??v?u??2x?y2?x2?2y?2?1?22?12?2?2??7 ?x?y????3-12 解：

?w?v????x?y??z?0?0?0??u?w?1????0?0?0,无旋流 ??y??z?x??v?u????z?x??y?k?k?0???x??y?0?2??,无旋流

??z?0?0?0??x??y?0?3??,无旋流 y2?x2y2?x2???0??z?222222x?yx?y???????x??y?0?4??,有旋流

??z?0??????5??x??y??z?6??x??y??z?0,无旋流 ?0,无旋流

?kx???x??y?0u?22?x?y??7??得?,无旋流 ?v?u?2xyk?2xyk???????0?v?ky?z?x?y222222x?yx?y22??x?y??????ky???x??y?0u?22?x?y?? ?8??得??v?uky2?x2ky2?x2??0,无旋流?v?kx??z??x??y?222222x?yx?y?x2?y2??????????（9）和（10）不满足连续方程，不代表流场

3-13 解：任意半径r的圆周是一条封闭流线，该流线上

线速度u?=

0r,速度环量

??2?ru??2??0r2

(2)半径r+dr的圆周封闭流线的速度环量为

??d??2??0?r?dr?得

2

d?????d?????2??0?r?dr??2??0r2?4??0rdr?2??0dr2

2忽略高阶项2

0dr

2

，得 d

d??4??0rdr

（3）设涡量为布，得

，它在半径r和r+dr两条圆周封闭流线之间的圆环域上的积分为d。因为在圆环域上可看作均匀分

?zdA?d?

将圆环域的面积dA=2rdr代入该式，得

?z2?rdr?d??4??0rdr

可解出=2+dr/r。忽略无穷小量dr/r，最后的涡量

?z?2?0

3-14 解：由ur和u?=Cr,得

u??Cy,v?Cx,?u?u?v?v?0,??C,?C,?0 ?x?y?x?y依据式（3-5a）和（3-5b）,有

?u?u?v??y.0?Cx??C???C2x?x?y

?v?vay?u?v??Cy.C?Cx.0??C2y?x?yax?u可见，ar=-C2(x2+y2)1/2=- u2?/r,a?=0。显然，ar代表向心加速度。

（2）由ur=0和u?=C/r,得

CyCx?u2Cxy?uCy2?x2u??2,v?2,?4,??yrr?xrr4?vCx2?y2?v2Cxy?,?4?x?yr4rax?u?????u?uCx2CxyCxCy?x?v??2?2?x?yrr4rr4?22???C2x

?v?vCyCx2?y2Cx2CxyC2yay?u?v??2?2?444?x?yrrrrr可见，ar=-C2(x2+y2)1/2=- u?/r,a?=0。显然，ar代表向心加速度。

2??r43-15 解：当矩形abcd绕过O点的z向轴逆时针旋转变形。故有

时，在亥姆霍兹分解式（3-36）中，只有转动，没有平移，也没有

ud?u??zdy,vd?v??zdx

其中，称是z向角速率。据题意，=/4rad/s.

（2）因为矩形abdc的各边边长都保持不变，故没有线变性；ab边和ac边绕过O点的Z轴转动，表明没有平移运动；对角线倾角不变，表明没有旋转运动。根据亥姆霍兹分解式（3-36），有

ud?u??xydy,vd?v??yxdx

其中，角变形速率

?xy??yx?1d??d???rad/s

2dt83-16 解：（1）由已知流速u=y和v=0，得=0,=。依据式(3-33),角变形速率

1??v?u?1?? ???xy??yx????0?????2??x?y?22依据式（3-32），得角速率

1??v?u?1?????z????0?????2?2??x?y?2

（2）t=0时刻的矩形，在时段dt内对角线顺时针转动的角度为

?1???zdt??2dt

在t=0.125和t=0.25时刻，转角为=和=因为==0，故没有线变形。矩形各边相对于对角线

所转动的角度为

?2??xydt??2dt

在t=0.125和t=0.25时刻，=dt=和=。因为对角线顺时针转动了，，故矩形沿

y向的两条边得顺时针角为，，而与x轴平行的两条边转角为0.

依据u=y知，当时流速u之差值为，在dt=0.125和dt=0.25时段，位移差值为，.这验证了

与y轴平行的两条边的顺时针转角。

第四章

4-1 社固定平行平板间液体的断面流速分布为

uumax?B2?y????B2??,y?0 总流的动能修正系数为何

??17值？

解 将下面两式

?2?y?11B7V??AudA??2Bumax?B?dy?umaxAB?28?2?B17

?AudA??A?3?3??B22?BU3max?2?y?dy?Bu3Bmax???2?B37

y u(y) 代入到动能修正系数的算式

1Av7103?udA?3B

oumax x 得

3??BumaxB???umax?78?1.045

4-2 如图示一股流自狭长的缝中水平射出，其厚度

?0?0.03m，平均流速V0?8ms ，假设此射流受中

（2）该处的水股厚度? 。 ??450 处的平均流速V；速

为

V0

，

故

射

流

平

均

流

速

为

平

分

立作用而向下弯曲，但其水平分速保持不变。试求（1）在倾斜角 解

⑴

在

θ

＝

45

°

处

，

水

8v??m/s?11.31m/s

cos45?cos45?⑵由连续性条件，在

voθ?45°处的单宽流量与喷口处相等，

即

vδ?vδo故

v8δ?oδo??0.33m?0.021m

v11.314-3 如图所示管路，出口接一管嘴，水流射入大气的速度

Vo δo δ 45° V2?20ms，管径d1?0.1m,管嘴出口直径d2 ?0.05m,压力表断面至出口断面高差H=5m,两断面间的水头损失为0.5?V122g? 。试求此时压力表

的读数。

? 解 由总流连续性条件

4d12V22?2?4d22V22 ，得

2?d2V1???d?1根据总流伯诺里方程

??0.05??V???0.1???20m/s?5m/s ?2???p1α1V12p2α2V22?z1???z2??hw

gρ2ggρ2g

?12取α1?α2?1，已知z1?z2?Hhw?0.52g，

p2?0，得

?p1V22V1220252??mH2O?H??0.5??5??0.5??gρ2g2g2?9.80?9.8????24.77mH2O?2.48at即压力表读数为2048个大气压。

4-4 水轮机的圆锥形尾水管如图示。一直A-A断面的直径

dA?0.6m ，流速VA?6ms，B-B断面的直接

22g?。求（1）当z=5m时A-A断面处的真空度（2）dB?0.9m ，由A到B水头损失hw?0.15?VA当A-A断面处的允许真空度为5m水柱高度时，A-A断面的最高位置解：⑴ 由水流连续性知

zmax

VB?dA???d?B??0.6??V???0.9???6m/s?2.66m/s?A???22

取水面为基准面,

ZB?pB?0，且取?B?1.0，得断面B-B的总能头 g?H0B?pBαBVB22.6672??M?0.363 ?ZB????0???gρ2g2?9.8??断面A-A与B-B之间能量方程可写成

pAαAVA2Z????H0B?hw

gρ2g其中，由A到B水头损失

A A z hw?0.15当z=5m时（取

V6?0.15??0.267m/s 2g2?9.8B 2a2，有 ?A?1.0）

B 1m ?pAαAVA262??m??6.20m?H0B?hw?z???0.363?0.276?5??gρ2g2?9.8???

故A-A断面的真空度为vAh??pA?6.20m g?pA??5m和z=z⑵将

gρzmax?H0B

，得max代入式（a）

A-A断面的最高位置

?αAVA2pA62??hw????0.363?0.276??m?3.802ggρ2?9.8??4-5 水箱中的水从一扩散短管流到大气中，如图示。若直径

d1?100mm 该处绝对压强pabs1?0.5at,而直径

d2?150mm求作用水头H (水头损失可以忽略不计)

解： 基准面0-0，断面1-1、2-2、3-3如图示。在1-1与2-2断面之间用伯诺里方程（取

）

pabs1V12pabs2V22z1????g?2gg?2g已知z1?z2,由水流连续性，得

pabs1p?5m,abs2?10m

g?g?22?d2?2?150??V1??V???100??V2＝2.25V2 ?d????1?代入到伯诺里方程，

225??2.25V?2g2VV4.0632?5?10?或

2g2g22解出流速水头

V22?1.23m

2g列出断面3-3、2-2之间的伯诺里方程

papabs2V22?H?z2??

2gg?2g将

pabs2?pa和z2?0代入得出作用水头

V22H??1.23m

2g4-6一大水箱中的水通过一铅垂管与收缩管嘴流入大气中，如图。直管直径dA=100mm，管嘴出口直径dB=500mm，若不计

水头损失，求直管中A点的相对压强

pA。

解： 断面1-1位于水面上，断面A和断面B分别通过A、B点。列出断面1-1与B

之间的伯诺里方程

p1α1V12pBαBVB2z1???zB???gρ2ggρ2g利用已知条件

Z1?ZB?(4?2?3)m?9mp1?0,pB?0,V1?0且取

?1??B?1.0，得断面B的流速水头

VB2?z1?zB?9m2g22

由连续性，算出断面A的流速和水头

?dBVA???d?A??50?VBVA1?VB????V??V?,?B?100??4?B42g2g????2?1VB9???m?162g16?22写断面1-1与A之间的伯诺里方程

p1?1V12pA?AVA2z1????zA?g?2gg?2g

将下列数据代入该式

z1?zA?2?3?5m,p1?0,va?0

?1??A?1.0，得

?pAVA29???z1?zA???5?m?4.44m , pA1.11H2O

??gρ2g16???a=1.29kg/m3。

且取

4-7离心式通风机用集流器C从大气中吸入空气，如图示。在直径d=200mm的圆截面管道部分接一根玻璃管，管的下端插入水槽中。若玻璃管中的的水面升高H=150mm，求每秒钟所吸取的空气量Q。空气的密度

解： 设圆截面管道的断面平均流速 为V，压强为p.由于距离集流器C较远处大气流速 为

零以，若不计损失，假定集流器中空气密度与外部大气的密度相同，管道断面与远处大气之间的不可压气体的能量方程可写成

p?V2p???g??g??2g

玻璃管液面压强为p，若ρ为水的密度，有静压强关系

p??p??gH

故从能量方程中可解得

V?由此得

2??(p??p)?2g?H???2?9.8?1000?150?103m/s?47.470m/s1.29Q??d24V?47.740???0.224m3/s?1.50m3/s

4-8水平管路的过水流量Q=2.5L/s，如图示。管路收缩段由直径d1=50mm收缩成d2=25mm。相对压强 水头损失可忽略不计。问收缩断面上的水管能将容器内的水吸出多大的高度h？ 解：在1与2两断面之间应用伯诺里方程

p1=0.1at，两段面间

p1?1V12p2?2V22z1???z2???g?2gg?2g取

?1??B?1.0，已z1＝z2，p1=0.1at知可解出

2.5?10?3V1??m/s?1.273m/s2?32?d1/4??(50?10)/4Q

?d1??50???V2??V??25???V1?4?1.273m/s?2.093m/s?d?1???2?故

22

p2p?1gρgρ1?1.2735.093?V12V22??m??0.241m???0.1?10???2g2g2?9.82?9.8???22依据吸水管的静压强关

p?-p2=gρh系，得出高度

?0?(?0.241)?0.24(m）

h?p?gρ?p2gρ4-9图示矩形断面渠道，宽度B=2.7m。河床某处有一高度0.3m的铅直升坎，升坎上、下游段均为平底。若升坎前的水深为1.8m，过升坎后水面降低0.12m，水头损失hw为尾渠（即图中出口段）流速水头的一半，试求渠道所通过的流量Q。

解： 取断面1-1和2-2如图。依据连续性方程

0.12mm V1A1?V2A2，得

1.0BV1?(1.8?0.3?0.12)BV2

或

1.8m 升坎

1.8V1?1.38V2

0.3m 写出两断面之间的能量方程

p1V12p2V22V22z1???z2????0.5g?2gg?2g2g

若基准面o-o取在图示升坎前来流的水面上，有

z1?p1p?0,z2?2??0.12m

g?g?代入到能量方程，得

V12V22??0.12?1.52g2g联立求解（a）、（b）两方程，得

V1 ＝1.231 m/s , V2=1.606m/s

故渠道能过的流量

Q＝A1 V1＝1.8×2.7×1.231＝5.98m3/s

4-10 图示抽水机功率为

P?14.7KW，效率为??75%，将密度?0?900kgm3的油

从油库送入密闭油箱。已知管道直径

d?150mm ，油的流量Q?0.14m3s ，抽水机进口B

h?2.3m油柱高，问此时油箱内A点的压强为

处真空表指示为-3m水柱高，假定自抽水机至油箱的水头损失为多少？

解： 选取面A位于油液面上，断面B位于抽水机进口。写出两面之间有能量输入的能量方程

pBVB2pAVA2zB???Hm?zA????hwB?A

g?02gg?02g为单位重量油体通过抽水机后增加的能理。由水泵轴功率计算公式

其中，

g?QHmP??得

Hm?P0.75?14.7?103???8.929m 油柱

g?Q9.8?900?0.14Q?d2/40.14m/s?7.922m/s

2??0.15/4 由连续性，得

VB??

7.9222VB2?m 油柱?3.202m 油柱

2g2?9.8pApBVB2VA2?(zB???Hm?(zA??hwB?A)g?0g?02g2g????-3? ???0?3.02?8.929?(5?0?2.3)1.498 m油柱? m油柱＝??0.9????由能量方程可解出

油箱A压强

pA=1.498×9.8×900Pa=13.21×103 Pa

4-11 如图所示虹吸管由河道A向渠道B引水，已知管径

d?100mm，虹吸管断面中心点2高出河道水位

z?2m

，点1至点2的水头损失为

hw1?2?10V22g??，点2至点3水头损失

hw2?3?2V22g?? ，V表示管道的断面平均流速，若点2的真空度限制在

hv?7m以内，试问（1）虹

吸管的最大流量有无限制？如有，应为多大？（2）出水口到河道水面高差h有无限制？如有，应为多大？ 解：⑴ 取面1位于河道A的自同面上，断面2过点2.写出两断面间能量方程

p2V2V2z1?z2???10g?02g2g将

z1 -z2=z=2m代入，得

p2gρV2??2?112gp2?7m时，gρ

p2当h??gρ??7m。因此有

p2?2?11??7(m)

g?求解后，得

V?Q?V5?2?9.8?2.985m/s11?4

d2?2.985?π?0.12m3/s?0.0234m3/s 4即应当将最大流量限制在23.4 L/s以内

⑵ 断面3位于虹吸管的出口。写出面1与3之间的能量方程

V2V2z1?z3??(10?2),z1?z3?h

2g2g

解得

v2.982h?13?13??5.98m2g2?9.8

故应限制h不应大于5.89m

4-12 图示分流叉管，断面1-1处得过流断面积

A1?0.1m2,高程z1?75m流速V1?3ms,压强p1?98kPa;断面2-2处A2?0.05m2,z2?72m；断面3-3处A3?0.08m2,z3?60m压强p3?196kPa，；断面1-1至2-2和3-3的水头损失分别为hw1?2?3m和hw1-3?5m.试求（1）断面2-2和3-3处的流速V2和V3;(2)断面2-2处的压强p2解： 取1-1和2-2断面，有

p1V12p2V22z1???z2???h1?2

g?2gg?2g

代入各项数据，得

98?10332p2V2275???72???3

98002?9.8g?2g??p2V2298?10332?m?10.459m???75???72?3??g?2g98002?9.8??(1)取1-1和3-3断面，有

由此解出

p1V12p3V32z1???z3???hw1?3

gρ2ggρ2g代入各项数据，得

196?10398?10332V32??60???5 75?98002?9.898002g解之得

V3＝3m/s。 由V1A1 =V2 A2+V3 A3，有

3×0.1＝0.05V2+0.08×3

解得

⑴

V2=1.2 m/s

?p21.22??m?10.39m??10.459???2g2g??将其代入到式（a），得

故

P2＝9800×10.39Pa=1.018×105 Pa

4-13定性绘制图示管道的总水头线和测管水头线。 答 总水头线

H0和测管水头线Hp如图示。

4-14 试证明均匀流的任意流束在两断面之间的水头损失等于两断面的测管水头差。

证 在均匀流中断央1-1和2-2之间取任意流束，用z’、p’、V’ 表示流束断面的高程、压强和流速，h’w表示两断面之间流束的

能量损失。写出该流束的能量方程

p1??V1?2??V2?2α1p2α2????z1??z2??hw?

gρ2ggρ2g

设z、p表示总流断面的高程、压强。依据均匀流任一断面上测管水头等值，有

p1??p1p2p2??z1??z1?, z2??z2?gρgρgρgρ

依据均匀流的任意两面都满足

?V1?2?V2?2α1α2?2g2g

得

或

p1p2z1??z2??h?wgρgρ

?p1??p2??hw???z1?gρ?????z2?gρ???Hp1?Hp2??Hp1?2

????4-15当海拔高程z的变幅较大时，大气可近似成理想气体，状态方程为

pa?z???aRT，其中R为气体常数。试推

求

?a?z?和pa?z? 随z变化的函数关系。

分别表示高程z处的大气压强和温度。将状态方程该写成

解：设pao、T0分别表示z=0处的大气压强和温度，

ρ?(z)=p?(z)/RT(z)

，利用温度随z变化的线性关系

T(z)=T0-βz，得

ρ?(z)=p?(z)/RT(T0??z)

大气的压强足静压强分布规律，可依据式（2-11）写出

dpα(z)=-gpα(z)dz

将式（a）代入，得

或改写成

dpα(z)=-gpα(z)/RT(T0-βz)dz

dp?g??dz

p?R(T0??z)p(z=0)=pα0积分上式，得

利用边界条件α

pαgβzln=ln(1-)

pα0βRT0故αp(z)随z变化的函数关系为

?βz?pα(z)?pα0??1?T??0??g/βR

将该式代入式（a），令α0ρ=ρα(0)=ρα0/RT0表示z=0处大气密度，得函数ρα(z)，即

g/βR

?pα0βz????α(z)?1??R(T0??z)?T0????z????0??1?T??0??g/βR

4-16 锅炉排烟风道如图所示。已知烟气密度为

?s?0.8kg/m3，空气密度为

?a?1.2kgm3，烟囱高H?30m，烟囱出口烟气的流速为10ms（1）若自锅炉至烟囱

出口的压强损失为失应减小到多大？

解 （1）烟气密度与空气密度的差别较大，应考虑大气对烟气的浮力作用。取锅炉进风口断面1-1，烟囱出口断面2-2.依据式（4-42），取

pw?200Pa，求风机的全压。（2）若不安装风机，而是完全依靠烟囱的抽吸作用排烟，压强损

?1??2?1.0，有

p1?11?V12?pq?p2??V22?pw?g??s??a?H2s2s其中，风机全压

pq 是输入的能量。断面1-1和2-2的相对压强均为当地大气压强，即

p1?p2?0。忽略断

面1-1的动压

?sV12/2 ，可解出风机全压

pq?1?V22?pw?g??a??s?H2s?1?2???0.8?10?200?9.8??0.8?1.2??30?Pa?122.4Pa?2?（

2

）

当

不

安

装

风

机

时

Pq?0，有

1?V22?pw?g??a??s?H2s由此得0?1pw?g??a??s?H??V222s?12?????9.8?1.2?0.8?30??0.8?10?Pa?77.6Pa2??强损失应减小到77.6Pa以下

4-17 管道泄水针阀全开，位置如图所示。已知管道直径

这表明，压

d1?350mm，出口直径d2?150mm，流速

V2?30ms，测得针阀拉杆受力F=490N ，若不计能量损失，试求连接管道出口段的螺栓所受到的水平作用力。

解 管道流量

Q??42dV?222?40.152?30m3s?0.530m3s

2管道内断面平均流速为

?d2V1???d?1??150???V2??350??30ms?5.510ms

??? ，得

p1V12V22??根据能量方程

g?2g2g

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