大学应用物理第八章习题答案

第八章 磁场

8-11 如8-11题图所示，有两根导线沿半径方向接触铁环的a、b两点，并与很远处的电源相接。求环心O的磁感强度。

解：设图中圆弧的半径为R。由题可知，ef距o点很远，故Be f?0；o点在eb和fa的延长线上故Beb?Bfa?0；又因载流圆弧在圆心处产生的磁感强度为：

B??0I??Il?Il??l弧和adb??l弧在o点产??0??02，其中l为圆弧长，故acb122R2?2R2?R4?RB1?生的磁感强度分别为：

?0I1l1?0I2l2B?， 2224?R4?R?和圆弧又由于导线的电阻与导线的长度成正比，且圆弧acb?构成并联电路，所以有： adbI1l1?I2l2

根据叠加原理可得o点的磁感强度为：

8-11题图 B?Bef?Beb?Bfa?B1?B2??0I1l1?0I2l2??0 224?R4?R8-12 如8-12题图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I，它们在点O的磁感

8-12题图 强度各为多少?

解：因载流圆弧在圆心处产生的磁感强度为：B?限长载流直导线在距离a处的磁感应强度为B??0I??Il?Il??0??02，无2R2?2R2?R4?R?0I，故由叠加原理可得： 2?a(a)图中，将流导线看作1圆电流和两段半无限长载流直导线，则：

4B0?B圆弧?B长直导线?B长直导线?(b)图中，将载流导线看作圆电流和长直电流，则：

?0I8R+0+0=?0I8R

B0??0I2R??0I 2?RB0的方向垂直纸面向里。

(C)图中，将载流导线看作12圆电流和两段半无限长直电流，则：

?I?I?I?I?IB0?0?0?0?0?0

4?R4?R4R2?R4RB0的方向垂直纸面向外。

8-14在磁感强度为B的均匀磁场中，有一半径为R的半球面，B与半球面轴线的夹角为?。求通过该半球面的磁通量。

解：设有一半径为R的圆面与半径为R的半球面构成封闭曲面，则由磁场的高斯定理可知：

8-16题图(a) ??封闭曲面B?ds???半球面半球面B?ds+??圆面B?ds=0

8-14题图 所以：

??B?ds=??圆面B?ds=?R2Bcosa

8-15电流I均匀地流过半径为R的圆形长直导线，试计算单位长度导线通过8-15题图中所示剖面的磁通量。

解：将导线视为长直圆柱体，由于电流沿轴向均匀流过导体，故其磁场呈轴对称分布，即在与导线同轴的圆柱面上各点，B大小相等，方向与电流成右手螺线关系。围绕轴线取同心圆环路L，使其绕向与电流成右手螺旋关系，根据安培环路定理

??B?dl???I可求得导线内部距轴线

0r处的磁感强度。

?0Ir2I2??LB?dl?B?2?r??0?I??0?R2?r?R2

B?8-15题图 ?0Ir； 2?R2如图所示，在距轴线r处的剖面上取一宽度dr很窄的面元ds?ldr，该面元上各点的B相同，由磁通量的定义可知穿过该面元的磁通量为：

d??Bds?故：

?0Irldr 22?R???d???sR0?0Ir?0Illd? 22?R4?单位长度的磁通量为：?0???0I? l4?8-16 如8-16题图所示，两平行长直导线相距40cm，每条通有电流I＝200A求：

(1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处的磁感应强度；

(2)通过图中斜线所示矩形面积内的磁通量。已知r1＝r3=10cm，r2＝20cm，l＝25cm。 解：(1)解：因长直载流导线在空间某点产生的磁感应强度为B??0I，由磁场的叠加2?a原理可知两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处的磁感应强度为：

?0I?0I?0I4??10?7?200B?B1?B2?????4.0?10?5T

2?a2?a?a??0.02方向垂直纸面向里。

(2)建立如图8—16(b)所示的坐标，穿过线圈的总磁通?总等于一条电流产生磁通?的两倍，即?总?2?。

方法一：在中距原点0为x处取一很窄的面积元dS?ldx，穿过该面积的磁通量为：d??B1dS??0Ildx。穿过线圈的总磁通为： 2?x??2?r2?r1r1?0Ildx?2.2?10?5Wb 2?x方法二：设两电流相距为d，则由两电流产生的磁感应强度为

B?故

?0I?0I? 2?x2?(d?x)：

8-16题图(b) 2?总??r1?rr1BdS??r?rr1[?0I?0I?]ldx?2.2?10?5Wb 2?x2?(d?x)8-17已知10mm裸铜线允许通过50A电流而不会使导线过热，电流在导线横截面上均匀分布。求：

(1)导线内、外磁感强度的分布； (2)导线表面的磁感强度。

解：(1)将导线视为长直圆柱体，由于电流沿轴向均匀流过导体，故其磁场呈轴对称分布，即在与导线同轴的圆柱面上各点，B大小相等，方向与电流成右手螺线关系。围绕轴线取同心圆环路L，使其绕向与电流成右手螺旋关系，根据安培环路定理知：

2??B?dl???I可

08-17题图 ??B?dl?B?2?r???I

L0IIr22?r?2，所以： 当r?R时，?I??R2RB?当r?R时，

?0Ir； 22?R?I?I，所以：

B??0I 2?rS(2)在导线表面，由题可知：I?50I，R???1.78?10?3m，则由(1)问可得：

B??0I?5.6?10?3T 2?R磁感强度的分布曲线如图8-17题图所示。

8-18 有一同轴电缆，其尺寸如8-18题图(a)所示。两导体中的电流均为I，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感强度：

（1）r＜R1； （2）Rl＜r＜R2； （3）R2＜r＜R3；

（4）r＞R3，画出B一r图线。

8-18题图 解：由题可知，同轴导体内的电流均匀分布，其磁场呈轴对称分布，取半径为r的同心圆为积分路径，根据安培环路定理

??B?dl???I有：

0(1)当r?R1时有：B1?2?r??0?0IrI2 ?rB?1?R122?R12?0I 2?r(2) 当R1?r?R时有：B2?2?r??0I B2??0IR32?r?(r2?R22)(2) 当R2?r?R3时有：B3? 2?r??0[I?I] B3?2222?(R3?R2)2?rR3?R2(2) 当r?R1时有：B4?2?r??0(I?I)?0 B4?0

磁感强度B?r图线如8-18题图(b)所示。

8-19 如8-19题图所示，N匝线圈均匀密绕在截面为长方形的中空骨架上。求通入电流I后，环内外磁场的分布。

解：由右手螺旋法则可知：螺线管内磁感强度的方向与螺线管中心轴线构成同心圆，若取半径为r的圆周为积分路径，则由安培环路定理

当r?R1时，B1?2?r?0 B1?0 当R2?r?R1时，B2?2?r??0NI B2?当r?R2时，B3?2?r?0 B3?0

8-24 一通有电流为I的导线，弯成如8-24题图(a)所示的形状，放在磁感强度为B的均匀磁场中，B的方向垂直纸面向里．问此导线受到的安培力为多少?

解：将导线分解成两段直线和一段半圆弧三部分。由于两段导线所受的安培力大小相等，但方向相反，由安培定律可知：

??B?dl???I可知：

0?0NI 2?rF两段导线?0

如8-24题图(b)所示，在半圆弧上与x轴成?角处任取一圆弧dl?Rd?，该圆弧所受

8-24题图 的力为：dF1?Idl?B=IRBd?，方向如图所示。由对称性可知，整个半圆弧在x轴上所受的合力为零。故有：

F1??dF1y??BIRsin?d??2BIR

0?由叠加原理可知：所求导线的安培力为：

F?F两段导线?F圆弧?2BIRj

8-25 如8-25题图(a)所示，一根长直导线载有电流I1?30A，矩形回路载有电流

I2?20A试计算作用在回路上的合力。已知d?1.0cm，b?8.0cm，l?0.12m。

解：设上、下两段导线所受的力分别为F1和F2，左右两段导线所受的力分别为F3和F4，如8-25题图(b)所示。由安培定律和叠加原理可知，F1和F2大小相等，方向相反，即

8-25题图 F1?F2?0；整个矩形回路所受的力为F?F3?F4。即

F?F3?F4??0I1I2l?IIl?012?1.28?10?3N 2?d2?(d?b)合力的方向向左。

8-26 一个正方形线圈，每边长度为0.6m，载有0.1A的稳恒电流，放在一个强度为10T?4的匀强磁场中。求

（1）线圈平面平行于磁场时，求线圈所受到的力矩；（2）线圈平面垂直于磁场时，求线圈所受到的力矩； （3）当线圈的法线与磁场方向之间的夹角?从0变到?时，画出力矩随角度变化的曲线。

解：由教材8.2.5节均匀磁场对载流线圈的磁力矩公式M?BISsin?有：

(1)线圈平面平行于磁场时，即???2，

M?BIS?3.6?10?6N?m；

(2) 线圈平面垂直于磁场时，??0，M?0； (3) 因M?BISsin??3.6?10?6sin?，力矩随角度变化的曲线如8-26题所示。

8-26题图

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