20071031高一数学(3.1.1-1方程的根与函数的零点)
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3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点
第一课时 方程的根与函数的零点
问题提出
1 5730 p 2
t
判断下列方程是否有实根,有几个实根?
x 2x 3 02
lnx 2x - 6 0
方程的根与函数图像与x轴交点的对 2 比:x 2 x 3 0
方程的根函数以x轴的 交点
3,0 ; 1,0
x1 3, x2 1
一、函数零点的定义: 对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实 数x叫做函数y=f(x)的零点。 我们可不可以这样认为,零点就是 使函数值为0的点?
方程的根与函数的零 点究竟是什么关系?方程的根与函数零点是 等价关系。
如果已知函数y=f(x)有 零点,你怎样理解它?
函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有 公共点.
例1.求下列函数的零点:
2 y log2 x1 y 31 3 y xx
x 4 x 1 , x 4 4 y x 4 x 1 , x 4
那么我们来考虑怎么来求 的根的问题
lnx 2x - 6 0g x 6 2 x
f x ln x
化归思想
如果不转化,这个问题就 真的解决不了么?我们能不能不画图象就判 断出零点的存在呢?
函数y=f(x)具备什么条件时,能在区间 (a,b)上存在零点?f(a)· f(b)<0 若f(a)· f(b)<0,函数y=f(x)在区间(a,b)上 就存在零点吗? 不一定,要求函数在这段区间内是要连 续不断
函数零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 像是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点,即存在c∈ (a,b), 使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的 根.
1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)· f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内会是只有一个零点么?
1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)· f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内会是只 有一个零点么?若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)· f(b)<0,则只能确定f(x)在区间(a,b) 内有零点,有几个不一定。
2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)· f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内就一定 没有零点么?
若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)· f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内也可能 有零点。
3.在什么条件下,函数y=f(x)在区间 (a,b)上可存在唯一零点?
在零点存在性定理的条件下,如果函 数再具有单调性,函数y=f(x)在区间(a,b) 上可存在唯一零点。
三大数学思想:数形结合
化归与转化
函数与方程
实战演练:1.函数f(x)=x(x2-16)的零点为( C ) A. (0,0),(4,0) B.0,4 C. (–4,0),(0,0),(4,0) D.–4, 0, 42.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数, 且f(x)在 上有一个零点,则f(x)的零点个 数为( B ) A.3 B.2 C.1 D.不确定
实战演练:3.已知函数f(x)的图象是
连续不断的,有 如下对应值表:
x
1 2 f(x) 23 9
3 4 5 6 7 -7 11 -5 -12 -26
那么函数在[1,6]至少有几个零点?( C ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
实战演练:4.函数f(x)= – x3 – 3x + 5的零点所在的 大致区间为( B ) A.( – 2 ,0) B. (1,2) C. (0,1) D. (0,0.5)
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