第1部分 专题二 第四讲 高考中的三角函数(解答题型)

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第1部分 专题二 三角函数、平面向量

数 学

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第四讲 高考中的三角函数(解答题型)

第四讲

高考中的三角函数 解答题型

考点 三角恒等变换 三角函数的图像与性质 解三角形

向量与三角函数的综合问题解三角形的实际应用数 学

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第四讲 高考中的三角函数(解答题型)

考情1.三角恒等变换是高考的热点内容，在解答题中多作为一种化简工具考查，其中升幂公式、降幂公式、辅助角公式是考查的重点，如 2013年湖南T17等.

2.三角函数的图像与性质是高考考查的另一个热点，侧重于对函数y=Asin(ωx+φ)的周期性、单调性、对称性以及最值等的考查，常 与其他知识交汇以解答题的形式考查，难度中等，如2013年安徽T16 等. 3.正弦定理、余弦定理以及解三角形的问题是高考的必考内 容.在解答题中主要考查：(1)边和角的计算；(2)面积的计算；(3)有 关范围的问题.由于此内容应用性较强，解三角形的实际应用问题也 常出现在高考解答题中，如2013年重庆T20等.数 学

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第四讲 高考中的三角函数(解答题型)

π π 1.(2013· 湖南高考)已知函数f(x)=sin x-6 +cos x-3 ,

g(x)=2sin 2. 3 3 (1)若α是第一象限角，且f(α)= 5 ,求g(α)的值； (2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.

2x

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第四讲 高考中的三角函数(解答题型)

π π 解：f(x)=sin x-6 +cos x-3

3 1 1 3 = 2 sin x-2cos x+2cos x+ 2 sin x= 3sin x, g(x)=2sin 2=1-cos x. 3 3 3 (1)由f(α)= 5 得sin α=5. 又α是第一象限角，所以cos α>0. 4 1 从而g(α)=1-cos α=1- 1-sin α=1-5=5.2 2x

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第四讲 高考中的三角函数(解答题型)

(2)f(x)≥g(x)等价于 3sin x≥1-cos x, 即 3sin x+cos x≥1. π 1 于是sin x+6 ≥2.

π π 5π 从而2kπ+6≤x+6≤2kπ+ 6 ,k∈Z, 2π 即2kπ≤x≤2kπ+ 3 ,k∈Z. 故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为 2π x|2kπ≤x≤2kπ+ ,k∈Z . 3

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第四讲 高考中的三角函数(解答题型)

2.(2013· 重庆高考)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是 a,b,c,且a2+b2 + 2ab=c2. (1)求C; 3 2 cos α+A cos α+B 2 (2)设cos Acos B= 5 , = 5 ,求tan α cos2α 的值.解：(1)因为a2+b2+ 2ab=c2, a2+b2-c2 - 2ab 2 由余弦定理有cos C= = 2ab =- 2 , 2ab 3π 故 C= 4 .数 学

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第四讲 高考中的三

角函数(解答题型)

(2)由题意得 sin αsin A-cos αcos A sin αsin B-cos αcos B 2 =5. cos2α 2 因此(tan αsin A-cos A)(tan αsin B-cos B)= 5 , tan2αsin Asin B-tan α(sin Acos B+cos Asin B)+cos 2 Acos B= 5 ,tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B)+cos Acos B 2 =5. ①

3π π 2 因为C= 4 ,A+B=4,所以sin(A+B)= 2 ,数 学

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第四讲 高考中的三角函数(解答题型)

因为cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B, 3 2 2 即 5 -sin Asin B= 2 , 3 2 2 2 解得sin Asin B= 5 - 2 = 10 . 由①得tan2α-5tan α+4=0, 解得tan α=1或tan α=4.

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第四讲 高考中的三角函数(解答题型)

3.(2013· 江苏高考)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证：a⊥b; (2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.

解：(1)证明：由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a· b+ b2=2. 又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2a· b=2,即a· b= 0,故a⊥b. (2)因为a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),数 学

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第四讲 高考中的三角函数(解答题型)

cos α+cos β=0, 所以 sin α+sin β=1.

由此，得cos

α=cos

(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π.又

0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1得，sin α=sin β= 1 5π π 2,而α>β,所以α= 6 ,β=6.

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第四讲 高考中的三角函数(解答题型)

1.辅助角公式 b asin x+bcos x= a +b sin(x+φ),其中tan φ=a.2 2

可利用辅助角公式求最值、单调区间和周期. 2.三角形的面积公式 1 1 1 (1)S=2aha=2bhb=2chc(ha,hb,hc分别是边a,b,c上的高); 1 1 1 (2)S=2absin C=2bcsin A=2acsin B; (3)S△ABC= s s-a s-b s-c (海伦公式).数 学

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第四讲 高考中的三角函数(解答题型)

3.解三角形常见问题 (1)已知一边和两角解三角形； (2)已知两边及其中一边的对角解三角形； (3)已知两边及其夹角解三角形； (4)已知三边解三角形； (5)三角形形状的判定； (6)三角形的面积问题； (7)正弦、余弦定理的综合应用.

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第四讲 高考中的三角函数(解答题型)

三角变换与求值1 (2013· 北京高考)已知函数f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ 22

[例1] cos 4x.

(1)求f(x)的最小正周期及最大值； π (2)若α∈ 2,π ,且f(α)=

2 2 ,求α的值.

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第四讲 高考中的三角函数(解答题型)

[自主解答]

1 (1)因为f(x)=(2cos x-1)sin 2x+2cos 4x2

π 1 1 2 =cos 2xsin 2x+2cos 4x=2(

sin 4x+cos 4x)= 2 sin 4x+4 , π 2 所以f(x)的最小正周期为2,最大值为 2 . π 2 (2)因为f(α)= 2 ,所以sin 4α+4 =1. π π 9π 17π 因为α∈ 2,π ,所以4α+4∈ 4 , 4 ,

π 5π 9π 即4α+4= 2 .故α=16.数 学

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第四讲 高考中的三角函数(解答题型)

互动探究在本例中，若F(x)=f(x)· f(-x)+f2(x),求F(x)的最大值和单调递 增区间.1 解：∵f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+2cos 4x 1 =2 sin 4x+cos 4x ,∴F(x)=f(x)· f(-x)+f2(x) 1 1 =4(cos 4x+sin 4x)(cos 4x-sin 4x)+4(sin 4x+cos 4x)2 1 1 1 1 1 =4cos 8x+4(1+2sin 4xcos 4x) =4cos 8x+4sin 8x+4数 学

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第四讲 高考中的三角函数(解答题型)

1 π 1 2 2 2 2 = 4 cos 8x+ sin 8x +4= 4 sin 8x+4 +4, 2 2

2+1 2 1 ∴F(x)max= 4 +4= 4 . π π π 由-2+2kπ≤8x+4≤2+2kπ,k∈Z,得 3π 1 π 1 -32+4kπ≤x≤32+4kπ,k∈Z. 3π 1 π - + k π , + 故函数F(x)的单调递增区间为 32 4 32

1 4kπ ,k∈Z.

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第四讲 高考中的三角函数(解答题型)

——————————规律· 总结————————————1.条件求值的一般思路 (1)先化简所求式子或所给条件； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角 入手); (3)将已知条件代入所求式子，化简求值. 2.三角恒等变换的“五遇六想” (1)遇正切，想化弦；(2)遇多元，想消元；(3)遇差异，想联 系；(4)遇高次，想降次；(5)遇特角，想求值；(6)想消元，引辅 角.

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第四讲 高考中的三角函数(解答题型)

1.已知向量a=

θ θ θ 2 sin x+ ,cos x+ ,b= cos x+ , 2 2 2

3 ,

函数f(x)=2a· b- 3为偶函数，且θ∈[0,π]. (1)求函数f(x)的解析式； (2)设x∈(0,π),f(x)=1,求x的值. θ θ 解：(1)f(x)= 2sin x+2 cos x+2 +2

3cos

2

θ x+ - 2

3=

sin(2x+θ)+数 学

π 3cos(2x+θ)=2sin 2x+θ+3 .

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7p7i.html