高中数学放缩技巧

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高考数学备考之放缩技巧

证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩 (3)求证:1 1 3 1 3 5 1 3 5 (2n 1) 2n 1 1

2

2 4

2 4 6

2 4 6 2n

(4)求证:2(n 1 1) 1 1 1 1 (2n 1 1)

技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩

例1(1)求 n2的值; (2)求证:n

15. k 14k2 1 2

k 1k3

奇巧积累:(1)1 4 4 2

11

(2)1211 n24n24n2 1 2n 1 2n 1

C12

n 1Cn(n 1)n(n 1)n(n 1)n(n 1)

(3)T

1n

r

n! 1 1 1 1r 1

Crn

1 1

rr(r 2) r!(n r)!nr!r(r 1)r (4)(1 1n)n 1 1 12 1 13 2 1n(n 1) 52

(5)

1 11

(6)

1

2n

(2n

1)2n 1 2

n

n 2

n 2 n (7)2(n 1 n)

1 2(n n 1)

(8)

21n

2n 1 2n 3 1112

n

(2n 1) 2n 1 (2n 3) 2n (9)1 11 111 11 k(n 1 k) n 1 k k n 1,n(n 1 k) k 1 n n 1 k

(10)

n11 (11)

(n 1)! n!

(n 1)!

1 2(2n 1 2n 1)

2n 1 2n 1

2n

12 n 12

(12) 2n2n2n2n 1

(2n 1)2 (2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n 2) (2n 1)(2n 1

1) 11 2n 1 1 2n 1(n 2) (13)

11

n3

1n n2

n(n 1)(n 1) 11

n(n 1)n(n 1) 1 n 1 n 1

11 n 1 n 1

11

1

1

2n

n 1 1

(14)n

n

2n 1 2 2n (3 1) 2n 3 3(2n 1) 2n 2n 1 2 1

23

2n

1

3

(15)

k 211 (16)

1

k! (k 1)! (k 2)! (k 1)!

(k 2)!

n n 1(n 2) n(n 1)

(17) i2 1 j2

122

i ji j 1

i j

(i ji2

1

j2

1)

i2

1

j2

1

例2(1)求证:1 113

2 15

2

(2n 1)

2

76 1

2(2n 1)(n 2) (2)求证:14

116

136

14n

2

12

14n

例3 求证:6n2n 1) 1 14 115

9

(n 1)(n2 3

例4 设函数f(x) x xlnx.数列 an 满足0 a1 1.an 1 f(an).设b (a1,1),整数k≥a1 b.证明:ak 1 b.

a1lnb

例5 已知n,m N ,x 1,Sm 1m 2m 3m nm,求证: nm 1 (m 1)Sm 1n (n 1) 1.

例6.已知ann

n 4 2n,T

2n

,求证:a1 a2 aT1 T2 T3 Tn

3.

n

2

例7 已知x1 1,x n(n 2k 1,k Z)n

,求证:

n 1(n 2k,k Z)

11 x x 1

2(n 1 1)(n N23x4 x5x2nx*)

2n 1

二、函数放缩

例8 求证:ln2n

ln3 ln4 ln3 3n 5n 6(n N*2

3

4

3

n

6

).

例9 求证:(1) 2

2,ln2 ln3 lnn 2n n 12 3 n

2(n 1)

(n 2)

例10.求证:12

13

1n 1

ln(n 1) 1 12

1n

例11 求证:(1 1)(1 1) (1 1) e和(1 1181) (1 1

. 2!

3!

n!

9)(1

3

2n) e

例12 求证:(1 1 2) (1 2 3) [1 n(n 1)] e2n 3

例13 证明:ln2 ln3 ln4lnnn( 3

4

5

n 1 n 1)

4

(n N*,n 1)

例14 已知a

1

1,an 1 (1

11证明n2

n)an 2

n.

an e2.

例15 已知函数f(x)是在(0, )上处处可导的函数,若x f'(x)

f(x)在x 0上恒成立.

1

(1)求证:函数

g(x)

f(x)

在(0, )x

上是增函数;

五、迭代放缩

例25 已知x

例26. 设S

六、借助数列递推关系

n

(2)当x1 0,x2 0时,证明:f(x1) f(x2) f(x1 x2); (3)已知不等式ln(1 x) x在x 1且x 0时恒成立,

例16 已知函数f(x) xlnx.若a 0,b 0,证明:f(a) (a b)ln2 f(a b) f(b).

n 1

xn 4n

,x1 1,求证:当n 2时, |xi 2| 2 21 n xn 1i 1

sin1!sin2!sinn!

1 2 n,求证:对任意的正整数222

1

k,若k≥n恒有:|Sn+k-Sn|<

n

三、分式放缩

姐妹不等式:ba

b ma m

(b a 0,m 0)和ba

b ma m

(a b 0,m 0)

记忆口诀”小者小,大者大”

解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之. 例19 姐妹不等式:(1 1)(1 1)(1 1) (1

1) 2n 1和(1 11也可以表示成为 3

5

2n 12)(1 14)(1 16) (1 12n) n 1

2 4 6 2n

和1 3 5 (2n 1)1

1 3 5 (2n 1)

2n 1

2 4 6 2n 例20 证明:(1 1)(1 14)(1 17) (1 1

3n 2

) 3n 1.

四、分类放缩

例21 求证:1 1 1

12

3

n

1 n

2 2

例22 在平面直角坐标系xoy中, y轴正半轴上的点列 An

与曲线y 2x(x≥0)上的点列 B n 满足

OA1,直线n n

AB的横坐标为n

nn在x轴上的截距为an.点Bnb n,n N .

(1)证明an>an 1>4,n N ;(2)证明有n 0 N,使得对 n n0都有b2b b3 bn bn 1<n 2008.

1

b2

bn 1

bn

例23 已知函数f(x) x2 bx c(b 1,c R),若f(x)的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].若数列{bn}满足b

n

f(n)

3(n N*),记数列{bn}的前n项和为Tn,问是否存在正常数A,使得对于任意正整数n都有n

Tn A?

并证明你的结论。

例24 设不等式组

x 0,表示的平面区域为D y 0,

n

,设D内整数坐标点的个数为n

an.设

Sn

1 a

1

1,

n 1

an 2

a2n

y

nx 3n当n 2时,求证:1 1 1 1 7n 11.

a1

a2

a3

a2n

36

2

例27 求证:12

1 32 4

1 3 52 4 6

1 3 5 (2n 1)2 4 6 2n

2n 2 1

例28 求证:1 1 3 1 3 5

3 5 (2n 1)

2

2 4

2 4 6

1 4 6 2n

2n 1 1

2

例29 若a1 1,an 1 an n 1,求证:1

1a 1

2( 1 1) a1

2an

七、分类讨论

例30 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn 2an ( 1)n,n 1.证明:对任意的整数

m 4,有

1a 1a 1 7 45am8

八、线性规划型放缩

例31 设函数f(x) 2x 1.若对一切x R, 3 af(x) b 3,求a b的最大值。

x2 2

九、均值不等式放缩

例32 设Sn 2 2 3 n(n 1).求证n(n 1)

(n 1)2

2

S

n

.

2

例33 已知函数f(x)

1,若1 a 2bxf(1)

4,且f(x)在[0,1]上的最小值为1, 5

2求证:f(1) f(2) f(n) n

12

n 1

12

.

例34 已知a,b为正数,且1 1 1,试证:对每一个n N ,(a b)n an bn 22n 2n 1.

a

b

n 1 例35 求证C1 C23nn

n

Cn

Cn

n 2

2

(n 1,n N)

例36 已知f(x) ex

e x

n,求证:f(1) f(2) f(3) f(n) (e

n 1

1)2

例37.已知f(x) x 1,求证:f(1) f(2) f(3) f(2n) 2n(n 1)n

x

.

例38 若k 7,求证:S11n n

1n 1

1n 2

nk 1 3

2

.

例39 已知f(x) a(x x1)(x x2),求证:f(0) f(1) a2.

16

.

例40 已知函数f(x)=x2-(-1)k·2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时,

求证: [f’(x)]n-2n-

1·f’(xn)≥2n(2n-2).

例41已知函数f(x) ax x(a 1)

(1)求函数f(x)的最小值,并求最小值小于0时的a取值范围;

(2)令S(n) C1'2'n 1'nf(1) Cnf(2) Cnf(n 1)求证:S(n) (2n 2) f'(n)

2

例42 已知函数f

x x 0, .对任意正数a,证明:1 f x 2.

例43 求证:1

111 n 1 n 2 3n 1

2十、二项放缩

2n

(1 1)n

C0 C1 Cn,2n

C0 C1n

n

n

n

n

n 1,

2

2n C0n C1n C2n

n n 2 2

2n n(n 1)(n 2)

例44 已知a11 1,an 1 (1 n2

n)a1

2n 2

n.证明an e

例45 设a

n

(1 1

)n

,求证:数列{aan 4.

n

n}单调递增且

例46 已知a+b=1,a>0,b>0,求证:an bn 21 n.

例47 设n 1,n N,求证(2)n

8. 3

(n 1)(n 2)

例48 求证:ln3 ln2 ln(1

1ln2. n2n)

n

解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)

例49 已知函数y f(x),x N*,y N*,满足:

①对任意a,b N*,a b,都有af(a) bf(b) af(b) bf(a); ②对任意n N*都有f[f(n)] 3n.

(1)试证明:f(x)为N*

上的单调增函数;

(2)求f(1) f(6) f(28); (3)令an*1n f(3),n N,试证明:.

n4n 2≤1a 1

1a 2

a 1 n4

例50 已知函数f x 的定义域为[0,1],且满足下列条件: ① 对于任意x [0,1],总有f x 3,且f 1 4; ② 若x

1

0,x2 0,x1 x2 1,则有

f x1 x2 f x1 f(x2) 3.

(1)求f 0 的值;

(2)求证:f x ≤4; (3)当x (1,

1

时,试证明:f(x) 3x 3.

3n3n 1

](n 1,2,3, )例51 已知:a1 a2 an 1,ai 0 (i 1,2 n) 求证:a22

1aa22

n 1

an1 a a 2

12a2 a

3

a

n 1 anan a12

十一、积分放缩

利用定积分的保号性比大小

保号性是指,定义在 a,b 上的可积函数f x 0,则 ba

f x

dx

0.

例52

求证: e e .

利用定积分估计和式的上下界

定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积,现在用它来估计小矩形的面积和.

例53

求证:121

, n 1,n N .

例54 已知n N,n 4.求证:1n 1 1n 2

1n 3

12n 710

.

例55 设a 0,如图,已知直线l:y ax及曲线C:y x2,C上的点Q1的横坐标为a1(0 a1 a).从C上的点Qn n 1 作直线平行于x轴,交直线l于点Pn 1,再从点Pn 1作直线平行于y轴,交曲线C于点Qn 1.Qn n 1,2,,n

的横坐标构成数列 an .

3

(1)试求an 1与an的关系,并求 an 的通项公式; (2)当a 1,a 1时,证明

1 (a

n

顺利解决原不等式.其基本原理为:

欲证明A f(x) B,只要证明:A C f(x) B C(C 0,A B).

例61 已知数列{an}满足:a 1,a a 1,求证:2n 1 an 3n 2(n 2).

1n 1n

an

2

k

ak 1)ak 2

k 1

1;

32

n1 (3)当a 1时,证明 (ak ak 1)ak 2 .

k 1

引申:已知数列{an}满足:a 1,a a 1,求证: n1

1n 1n aa

n

k 1

3

解析:an a(

a12n 1

)(过程略). a

2n 1

.

k

年浙江高考试题)已知数列 a ,an 0,a1 0,a2 a 1 a2(n N ).

奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如:

i 1 2;

i1

i

n 1

1 xdx ln 1 i n ln

1 i 1 ;

i

in 1n

n

sin i i 1

sin i

i ④(a

a)a2

1k

k 1k 1

ak

ax2dx

3

a33

. k 1

k ak 1 十二、部分放缩(尾式放缩) 例56 求证:

13 1 13 2 1 14

3 2n 1

1 7

例57 设an 1 12a 13

a

1na,a 2.求证:an 2.

例58设数列 a2

n 满足an 1 an nan 1 n N ,当a1 3时证明对所有n 1, 有(i)an n 2;

(ii)1111

1 a 11 a21 an2

P

十三、三角不等式的放缩 例59 求证:|sinx| |x|(x R).

O

T

B

十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强

对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)

进行加强.如要证明f(x) A,只要证明

f(x) A B(B 0),其中B通过寻找分析,归纳完成.

例60 求证:对一切n(n N*),都有 n

1 3.

k 1

kk

(ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双向加强

有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而

4

nn 1n 1n记Sn a1 a2 an,

T1n

1 a 1a 1

.求证:当n N 时. 1(1 1)(1 a2)(1 a1)(1 a2) (1 an)

(1)an an 1; (2)Sn

n 2;

★(3)Tn 3.

例62 已知数列{an}的首项a

3,an,n 1,2,. 1

5

a

n 1

32an 1

(1)证明:对任意的x 0,a1 2n

≥11 x

(1 x) x ,n 1,2,2; 3n

(2)证明:2

a a2 an

n1.

n 1

十四、经典题目方法探究

年福建省高考)已知函数f(x) ln(1 x) x.若f(x)在区间[0,n](n N*)上的最小值为bn,令

an ln(1 n) bn.求证:a1a a1 a3 a a1 a3 a5 a2n 1 a 2an 1 1.

2a24a2 a46 a2n

年全国二卷)设函数f(x) sinx.如果对任何x≥0,都有f(x)2 cosx

≤ax,求a的取值范围.

变式:若0 x,3, ,n且0 a 1

i arccos3a,其中i 1,23

,x1 x2 x3 xn arccos3a,求证:

tan

x12 tanx22 tanx32 tanxn3a

2 2

arccos3a. 年全国一卷)已知函数 f(x) 1 x1 x

e ax.若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范围.

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/7p51.html

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