高中数学放缩技巧
更新时间:2023-06-10 16:15:01 阅读量: 实用文档 文档下载
高考数学备考之放缩技巧
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩 (3)求证:1 1 3 1 3 5 1 3 5 (2n 1) 2n 1 1
2
2 4
2 4 6
2 4 6 2n
(4)求证:2(n 1 1) 1 1 1 1 (2n 1 1)
技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩
例1(1)求 n2的值; (2)求证:n
15. k 14k2 1 2
k 1k3
奇巧积累:(1)1 4 4 2
11
(2)1211 n24n24n2 1 2n 1 2n 1
C12
n 1Cn(n 1)n(n 1)n(n 1)n(n 1)
(3)T
1n
r
n! 1 1 1 1r 1
Crn
1 1
rr(r 2) r!(n r)!nr!r(r 1)r (4)(1 1n)n 1 1 12 1 13 2 1n(n 1) 52
(5)
1 11
(6)
1
2n
(2n
1)2n 1 2
n
n 2
n 2 n (7)2(n 1 n)
1 2(n n 1)
(8)
21n
2n 1 2n 3 1112
n
(2n 1) 2n 1 (2n 3) 2n (9)1 11 111 11 k(n 1 k) n 1 k k n 1,n(n 1 k) k 1 n n 1 k
(10)
n11 (11)
(n 1)! n!
(n 1)!
1 2(2n 1 2n 1)
2n 1 2n 1
2n
12 n 12
(12) 2n2n2n2n 1
(2n 1)2 (2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n 2) (2n 1)(2n 1
1) 11 2n 1 1 2n 1(n 2) (13)
11
n3
1n n2
n(n 1)(n 1) 11
n(n 1)n(n 1) 1 n 1 n 1
11 n 1 n 1
11
1
1
2n
n 1 1
(14)n
n
2n 1 2 2n (3 1) 2n 3 3(2n 1) 2n 2n 1 2 1
23
2n
1
3
(15)
k 211 (16)
1
k! (k 1)! (k 2)! (k 1)!
(k 2)!
n n 1(n 2) n(n 1)
(17) i2 1 j2
122
i ji j 1
i j
(i ji2
1
j2
1)
i2
1
j2
1
例2(1)求证:1 113
2 15
2
(2n 1)
2
76 1
2(2n 1)(n 2) (2)求证:14
116
136
14n
2
12
14n
例3 求证:6n2n 1) 1 14 115
9
(n 1)(n2 3
例4 设函数f(x) x xlnx.数列 an 满足0 a1 1.an 1 f(an).设b (a1,1),整数k≥a1 b.证明:ak 1 b.
a1lnb
例5 已知n,m N ,x 1,Sm 1m 2m 3m nm,求证: nm 1 (m 1)Sm 1n (n 1) 1.
例6.已知ann
n 4 2n,T
2n
,求证:a1 a2 aT1 T2 T3 Tn
3.
n
2
例7 已知x1 1,x n(n 2k 1,k Z)n
,求证:
n 1(n 2k,k Z)
11 x x 1
2(n 1 1)(n N23x4 x5x2nx*)
2n 1
二、函数放缩
例8 求证:ln2n
ln3 ln4 ln3 3n 5n 6(n N*2
3
4
3
n
6
).
例9 求证:(1) 2
2,ln2 ln3 lnn 2n n 12 3 n
2(n 1)
(n 2)
例10.求证:12
13
1n 1
ln(n 1) 1 12
1n
例11 求证:(1 1)(1 1) (1 1) e和(1 1181) (1 1
. 2!
3!
n!
9)(1
3
2n) e
例12 求证:(1 1 2) (1 2 3) [1 n(n 1)] e2n 3
例13 证明:ln2 ln3 ln4lnnn( 3
4
5
n 1 n 1)
4
(n N*,n 1)
例14 已知a
1
1,an 1 (1
11证明n2
n)an 2
n.
an e2.
例15 已知函数f(x)是在(0, )上处处可导的函数,若x f'(x)
f(x)在x 0上恒成立.
1
(1)求证:函数
g(x)
f(x)
在(0, )x
上是增函数;
五、迭代放缩
例25 已知x
例26. 设S
六、借助数列递推关系
n
(2)当x1 0,x2 0时,证明:f(x1) f(x2) f(x1 x2); (3)已知不等式ln(1 x) x在x 1且x 0时恒成立,
例16 已知函数f(x) xlnx.若a 0,b 0,证明:f(a) (a b)ln2 f(a b) f(b).
n 1
xn 4n
,x1 1,求证:当n 2时, |xi 2| 2 21 n xn 1i 1
sin1!sin2!sinn!
1 2 n,求证:对任意的正整数222
1
k,若k≥n恒有:|Sn+k-Sn|<
n
三、分式放缩
姐妹不等式:ba
b ma m
(b a 0,m 0)和ba
b ma m
(a b 0,m 0)
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之. 例19 姐妹不等式:(1 1)(1 1)(1 1) (1
1) 2n 1和(1 11也可以表示成为 3
5
2n 12)(1 14)(1 16) (1 12n) n 1
2 4 6 2n
和1 3 5 (2n 1)1
1 3 5 (2n 1)
2n 1
2 4 6 2n 例20 证明:(1 1)(1 14)(1 17) (1 1
3n 2
) 3n 1.
四、分类放缩
例21 求证:1 1 1
12
3
n
1 n
2 2
例22 在平面直角坐标系xoy中, y轴正半轴上的点列 An
与曲线y 2x(x≥0)上的点列 B n 满足
OA1,直线n n
AB的横坐标为n
nn在x轴上的截距为an.点Bnb n,n N .
(1)证明an>an 1>4,n N ;(2)证明有n 0 N,使得对 n n0都有b2b b3 bn bn 1<n 2008.
1
b2
bn 1
bn
例23 已知函数f(x) x2 bx c(b 1,c R),若f(x)的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].若数列{bn}满足b
n
f(n)
3(n N*),记数列{bn}的前n项和为Tn,问是否存在正常数A,使得对于任意正整数n都有n
Tn A?
并证明你的结论。
例24 设不等式组
x 0,表示的平面区域为D y 0,
n
,设D内整数坐标点的个数为n
an.设
Sn
1 a
1
1,
n 1
an 2
a2n
y
nx 3n当n 2时,求证:1 1 1 1 7n 11.
a1
a2
a3
a2n
36
2
例27 求证:12
1 32 4
1 3 52 4 6
1 3 5 (2n 1)2 4 6 2n
2n 2 1
例28 求证:1 1 3 1 3 5
3 5 (2n 1)
2
2 4
2 4 6
1 4 6 2n
2n 1 1
2
例29 若a1 1,an 1 an n 1,求证:1
1a 1
2( 1 1) a1
2an
七、分类讨论
例30 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn 2an ( 1)n,n 1.证明:对任意的整数
m 4,有
1a 1a 1 7 45am8
八、线性规划型放缩
例31 设函数f(x) 2x 1.若对一切x R, 3 af(x) b 3,求a b的最大值。
x2 2
九、均值不等式放缩
例32 设Sn 2 2 3 n(n 1).求证n(n 1)
(n 1)2
2
S
n
.
2
例33 已知函数f(x)
1,若1 a 2bxf(1)
4,且f(x)在[0,1]上的最小值为1, 5
2求证:f(1) f(2) f(n) n
12
n 1
12
.
例34 已知a,b为正数,且1 1 1,试证:对每一个n N ,(a b)n an bn 22n 2n 1.
a
b
n 1 例35 求证C1 C23nn
n
Cn
Cn
n 2
2
(n 1,n N)
例36 已知f(x) ex
e x
n,求证:f(1) f(2) f(3) f(n) (e
n 1
1)2
例37.已知f(x) x 1,求证:f(1) f(2) f(3) f(2n) 2n(n 1)n
x
.
例38 若k 7,求证:S11n n
1n 1
1n 2
nk 1 3
2
.
例39 已知f(x) a(x x1)(x x2),求证:f(0) f(1) a2.
16
.
例40 已知函数f(x)=x2-(-1)k·2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时,
求证: [f’(x)]n-2n-
1·f’(xn)≥2n(2n-2).
例41已知函数f(x) ax x(a 1)
(1)求函数f(x)的最小值,并求最小值小于0时的a取值范围;
(2)令S(n) C1'2'n 1'nf(1) Cnf(2) Cnf(n 1)求证:S(n) (2n 2) f'(n)
2
例42 已知函数f
x x 0, .对任意正数a,证明:1 f x 2.
例43 求证:1
111 n 1 n 2 3n 1
2十、二项放缩
2n
(1 1)n
C0 C1 Cn,2n
C0 C1n
n
n
n
n
n 1,
2
2n C0n C1n C2n
n n 2 2
2n n(n 1)(n 2)
例44 已知a11 1,an 1 (1 n2
n)a1
2n 2
n.证明an e
例45 设a
n
(1 1
)n
,求证:数列{aan 4.
n
n}单调递增且
例46 已知a+b=1,a>0,b>0,求证:an bn 21 n.
例47 设n 1,n N,求证(2)n
8. 3
(n 1)(n 2)
例48 求证:ln3 ln2 ln(1
1ln2. n2n)
n
解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)
例49 已知函数y f(x),x N*,y N*,满足:
①对任意a,b N*,a b,都有af(a) bf(b) af(b) bf(a); ②对任意n N*都有f[f(n)] 3n.
(1)试证明:f(x)为N*
上的单调增函数;
(2)求f(1) f(6) f(28); (3)令an*1n f(3),n N,试证明:.
n4n 2≤1a 1
1a 2
a 1 n4
例50 已知函数f x 的定义域为[0,1],且满足下列条件: ① 对于任意x [0,1],总有f x 3,且f 1 4; ② 若x
1
0,x2 0,x1 x2 1,则有
f x1 x2 f x1 f(x2) 3.
(1)求f 0 的值;
(2)求证:f x ≤4; (3)当x (1,
1
时,试证明:f(x) 3x 3.
3n3n 1
](n 1,2,3, )例51 已知:a1 a2 an 1,ai 0 (i 1,2 n) 求证:a22
1aa22
n 1
an1 a a 2
12a2 a
3
a
n 1 anan a12
十一、积分放缩
利用定积分的保号性比大小
保号性是指,定义在 a,b 上的可积函数f x 0,则 ba
f x
dx
0.
例52
求证: e e .
利用定积分估计和式的上下界
定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积,现在用它来估计小矩形的面积和.
例53
求证:121
, n 1,n N .
例54 已知n N,n 4.求证:1n 1 1n 2
1n 3
12n 710
.
例55 设a 0,如图,已知直线l:y ax及曲线C:y x2,C上的点Q1的横坐标为a1(0 a1 a).从C上的点Qn n 1 作直线平行于x轴,交直线l于点Pn 1,再从点Pn 1作直线平行于y轴,交曲线C于点Qn 1.Qn n 1,2,,n
的横坐标构成数列 an .
3
(1)试求an 1与an的关系,并求 an 的通项公式; (2)当a 1,a 1时,证明
1 (a
n
顺利解决原不等式.其基本原理为:
欲证明A f(x) B,只要证明:A C f(x) B C(C 0,A B).
例61 已知数列{an}满足:a 1,a a 1,求证:2n 1 an 3n 2(n 2).
1n 1n
an
2
k
ak 1)ak 2
k 1
1;
32
n1 (3)当a 1时,证明 (ak ak 1)ak 2 .
k 1
引申:已知数列{an}满足:a 1,a a 1,求证: n1
1n 1n aa
n
k 1
3
解析:an a(
a12n 1
)(过程略). a
2n 1
.
k
年浙江高考试题)已知数列 a ,an 0,a1 0,a2 a 1 a2(n N ).
奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如:
i 1 2;
i1
i
n 1
1 xdx ln 1 i n ln
1 i 1 ;
i
in 1n
n
;
sin i i 1
sin i
i ④(a
a)a2
1k
k 1k 1
ak
ax2dx
3
a33
. k 1
k ak 1 十二、部分放缩(尾式放缩) 例56 求证:
13 1 13 2 1 14
3 2n 1
1 7
例57 设an 1 12a 13
a
1na,a 2.求证:an 2.
例58设数列 a2
n 满足an 1 an nan 1 n N ,当a1 3时证明对所有n 1, 有(i)an n 2;
(ii)1111
1 a 11 a21 an2
P
十三、三角不等式的放缩 例59 求证:|sinx| |x|(x R).
O
T
B
十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强
对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)
进行加强.如要证明f(x) A,只要证明
f(x) A B(B 0),其中B通过寻找分析,归纳完成.
例60 求证:对一切n(n N*),都有 n
1 3.
k 1
kk
(ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双向加强
有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而
4
nn 1n 1n记Sn a1 a2 an,
T1n
1 a 1a 1
.求证:当n N 时. 1(1 1)(1 a2)(1 a1)(1 a2) (1 an)
(1)an an 1; (2)Sn
n 2;
★(3)Tn 3.
例62 已知数列{an}的首项a
3,an,n 1,2,. 1
5
a
n 1
32an 1
(1)证明:对任意的x 0,a1 2n
≥11 x
(1 x) x ,n 1,2,2; 3n
(2)证明:2
a a2 an
n1.
n 1
十四、经典题目方法探究
年福建省高考)已知函数f(x) ln(1 x) x.若f(x)在区间[0,n](n N*)上的最小值为bn,令
an ln(1 n) bn.求证:a1a a1 a3 a a1 a3 a5 a2n 1 a 2an 1 1.
2a24a2 a46 a2n
年全国二卷)设函数f(x) sinx.如果对任何x≥0,都有f(x)2 cosx
≤ax,求a的取值范围.
变式:若0 x,3, ,n且0 a 1
i arccos3a,其中i 1,23
,x1 x2 x3 xn arccos3a,求证:
tan
x12 tanx22 tanx32 tanxn3a
2 2
arccos3a. 年全国一卷)已知函数 f(x) 1 x1 x
e ax.若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范围.
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