2008年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准A
更新时间:2023-06-11 01:11:01 阅读量: 实用文档 文档下载
2008年全国高中数学联合竞赛加试试
2008年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)
试题参考答案及评分标准
说明:
1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分;
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划
分档次评分,10分为一个档次,不要增加其他中间档次.
一、(本题满分50分)
如题一图,给定凸四边形ABCD, B D 180 ,P是平面上的动点,令
f(P) PA BC PD CA PC AB.
(Ⅰ)求证:当f(P)达到最小值时,P,A,B,C四点共圆; (Ⅱ)设E是 ABC外接圆O的 AB上一点,满足
:
12
ECA,又DA,DC是
O的切线,AC
AEAB
2
,
BCEC
1,
ECB
f(P)的最小值.
[解法一] (Ⅰ)如答一图1,由托勒密不等式,对平面上的任意点P,有
PA BC PC AB PB AC. 因此 f(P) PA BC PC AB PD CA
PB CA PD C A(PB PD) CA.
因为上面不等式当且仅当P,A,B,C顺次共圆时取等号,因此当
AC上时, 且仅当P在 ABC的外接圆且在
f(P) (PB PD) CA. …10分
答一图
1
又因PB PD BD,此不等式当且仅当B,P,D共线且P在BD上时取等号.因此当且仅当P为 ABC的外接圆与BD的交点时,f(P)取最小值f(P)min AC BD.
故当f(P)达最小值时,P,A,B,C四点共圆. …20分 (Ⅱ)记 ECB ,则 ECA 2 ,由正弦定理
有
sin 3
AEAB
3
2s in2sin 4sin ) 4sin cos ,所以
sin2 sin3
2
,从
而
cos ) 4cos 0,
2
整理得2 4cos 0, …30分
解得cos
2
或cos
,
故 30 , ACE 60 .
2008年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)试题参考答案及评分标准 第1页(共6页)
2008年全国高中数学联合竞赛加试试
由已知
2
BCEC
1=
sin EAC 30
sin EAC
,
有sin( EAC 30
) 1)sin EAC,即
212
cos EAC,
EAC
12
cos EAC 1)sin
EACin EAC
故tan EAC
2
EAC 75, …40分
从而 E 45 , DAC DCA E 45 ,
ADC为等腰直角三角形.因AC
CD 1.
,则
又 ABC也是等腰直角三角形,
故BC
,BD2 1 2 2 1
5,
BD
故f(P)min BD AC …50分 [解法二] (Ⅰ)如答一图2,连接BD交 ABC的外接圆O于P0点(因为D在 O外,故P0在BD上).
过A,C,D分别作P0A,P0C,P0D的垂线,两两相交得 A1B1C1,易知P0在 ACD内,从而在 A1B1C1内,记
ABC
之三内角分别为x,y,z
,又因
B1C 1
,则
P0,A
AP0C 180 y z x
B1A1 P0C,得 B1 y,同理有 A1 x, C1 z,
答一图
2
所以 A1B1C1∽ ABC. …10分
设B1C1 BC,C1A1 CA,A1B1 AB,则对平面上任意点M,有 f(P) (PA B C00
P D CA0 PC )AB
P C 1AB0
P0A BC PD CA 11011 2S A
1
B1C1
M C1 AB
MA BC MD 1C1A 11
(MA BC MD CA MC AB) f(M), 从而 f(P) f(M.) 0
由M点的任意性,知P0点是使f(P)达最小值的点.
由点P0在 O上,故P0,A,B,C四点共圆. …20分 (Ⅱ)由(Ⅰ),f(P)的最小值 f(P0)
2
S A1BC
11
2008年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)试题参考答案及评分标准 第2页(共6页)
2008年全国高中数学联合竞赛加试试
2 S ABC,
记 ECB ,则 ECA 2 ,
由正弦定理有即sin 4sin3 ) 4sin cos ,所以
2
cos ) 4cos 0,
AEAB
sin2 sin3
2
3 2sin2 ,
整理得2 4cos 0, …30分
解得cos
2
cos ,
故 30 , ACE 60 . 由已
知
2
BCEC
1=
sin EAC 30
sin EAC
,
有sin( EAC 30 ) 1)sin EAC,
即
212
cos EAC,
EAC
12
cos EAC 1)sin
EACin EAC
故tan EAC
2
EAC 75, …40分
所以 E 45 ,
ABC为等腰直角三角形,AC
S ABC 1,因为 AB1C 45 ,B1点
在 O上, AB1B 90 ,所以B1BDC
1为矩形,B1C1 BD ,
故
,所以f(P)min 21 …50分
[解法三] (Ⅰ)引进复平面,仍用A,B,C等代表A,B,C所对应的复数.
由三角形不等式,对于复数z1,z2,有 z1 z2 z1 2,
当且仅当z1与z2(复向量)同向时取等号.
有 PA B PC, AB P AB CP C
所以 (A P)(C )(C P)(B A)
(A P)(C B) (C P)(B A ) (1) P C A B C B P A (B P)(C ) ,C 从而 P B
P D CA
PB AP C
2008年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)试题参考答案及评分标准 第3页(共6页)
2008年全国高中数学联合竞赛加试试
(PB PD) AC
BD AC. (2) …10分
(1)式取等号的条件是
复数 (A P)(C B)与(C P)(B A) 同向,故存在实数 0,使得 (A P)(C B) 所以 argA P
A PC P )
(C P)(B ,A B C
AB
,
B A
, )aC PC B
向量PC旋转到PA所成的角等于BC旋转到AB所成的角,
从而P,A,B,C四点共圆.
(2)式取等号的条件显然为B,P,D共线且P在BD上.
故当f(P)达最小值时P点在 ABC之外接圆上,P,A,B,C四点共圆. …20分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(P)min BD AC. 以下同解法一.
二、(本题满分50分)
设f(x)是周期函数,T和1是f(x)的周期且0 T 1.证明: (Ⅰ)若T为有理数,则存在素数p,使
1p
是f(x)的周期;
(Ⅱ)若T为无理数,则存在各项均为无理数的数列{an}满足1 an an 1 0
(n 1,2, ),且每个an
(n 1,2, )都是f(x)的周期.
nm
[证] (Ⅰ)若T是有理数,则存在正整数m,n使得T 使得
1. ma nb
且(m,n) 1,从而存在整数a,b,
于是
1m
ma nb
m
a bT a 1 b T
是f(x)的周期. …10分 又因0 T 1,从而m 2.设p是m的素因子,则m pm ,m N ,从而
2008年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)试题参考答案及评分标准 第4页(共6页)
2008年全国高中数学联合竞赛加试试
1 m 1
p
m
是f(x)的周期. …20分
(Ⅱ)若T是无理数,令 a1 1 1 T,
T
则0 a1 1,且a1是无理数,令
a2 1 1 a1,
a1
……
an 1 1 1 an,
an
……. …30分
由数学归纳法易知an均为无理数且0 an 1.又 1
即an 1 1
an
1 1 1,故1 an an,an an an 1
an an.因此{an}是递减数列. …40分
1
最后证:每个an是f(x)的周期.事实上,因1和T是f(x)的周期,故a1 1 T亦
T
是f(x)的周期.假设ak是f(x)的周期,则ak 1 1 1 ak也是f(x)的周期.由数学归
ak
纳法,已证得an均是f(x)的周期. …50分
三、(本题满分50分)
设ak 0,k 1,2, ,2008.证明:当且仅当 ak 1时,存在数列{xn}满足以下条件:
k 12008
(ⅰ)0 x0 xn xn 1,n 1,2,3, ; (ⅱ)limxn存在;
n
(ⅲ)xn xn 1
20082007
k
a
k 1
xn k
a
k 0
k 1
xn k,n 1,2,3, .
[证] 必要性:假设存在{xn}满足(ⅰ),(ⅱ),(iii).注意到(ⅲ)中式子可化为 xn xn 1 其中x0 0.
2008年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)试题参考答案及评分标准 第5页(共6页)
2008
a
k 1
k
(xn k xn k 1),n N,
*
2008年全国高中数学联合竞赛加试试
将上式从第1项加到第n项,并注意到x0 0得 xn a(xn 1 x) a2(n x2 x) 112由(ⅱ)可设b limxn,将上式取极限得
n
a20(0nx8
2008
x.) …10分
b a(b 1x) a(b 2x) 12
2008
2a00(8b
0)x2
b ak (a1x1 a2x2 a2008x2008)
k 12008
b ak,
k 1
2008
因此 ak 1. …20分
k 1
2008
充分性:假设 ak 1.定义多项式函数如下:
k 1
2008
f(s) 1
a
k 1
k
k
s,s [0,1],
则f(s)在[0,1]上是递增函数,且
f(0) 1 0,f(1) 1
2008
a
k 1
k
0.
因此方程f(s) 0在[0,1]内有唯一的根s s0,且0 s0 1,即f(s0) 0. …30分 下取数列{xn}为xn xn
n
n
s
k 1n 1
k0
,n 1,2, ,则明显地{xn}满足题设条件(ⅰ),且
s
k 1
k
s0 s0
.
s0 s0
n 1
1 s0
n 10
因0 s0 1,故lims
n
0,因此limxn lim
n
n
1 s0
s01 s0
,即{xn}的极限存在,满
足(ⅱ). …40分
最后验证{xn}满足(ⅲ),因f(s0) 0,即 aks0k 1,从而
k 1
2008
2008
2008
k2008
xn xn 1 s (
n
as)
kk0n0
s
k 1
nk0
as
k 1
(ax k nk
n 1k
x.)
k 1
综上,存在数列{xn}满足(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ). …50分
2008年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)试题参考答案及评分标准 第6页(共6页)
正在阅读:
2008年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准A06-11
2016新南威尔士大学专业03-19
游戏化教学05-25
冀教版备战2020年中考英语专题复习——语法填空(真题)C卷05-06
Outlook使用技巧 - 图文12-16
《学前儿童舞蹈教育》作业03-22
九江市半山美树苑业主自治委员会章程06-20
钢结构及空间结构稳定性的研究现状09-25
工程技术服务规范03-08
- 教学能力大赛决赛获奖-教学实施报告-(完整图文版)
- 互联网+数据中心行业分析报告
- 2017上海杨浦区高三一模数学试题及答案
- 招商部差旅接待管理制度(4-25)
- 学生游玩安全注意事项
- 学生信息管理系统(文档模板供参考)
- 叉车门架有限元分析及系统设计
- 2014帮助残疾人志愿者服务情况记录
- 叶绿体中色素的提取和分离实验
- 中国食物成分表2020年最新权威完整改进版
- 推动国土资源领域生态文明建设
- 给水管道冲洗和消毒记录
- 计算机软件专业自我评价
- 高中数学必修1-5知识点归纳
- 2018-2022年中国第五代移动通信技术(5G)产业深度分析及发展前景研究报告发展趋势(目录)
- 生产车间巡查制度
- 2018版中国光热发电行业深度研究报告目录
- (通用)2019年中考数学总复习 第一章 第四节 数的开方与二次根式课件
- 2017_2018学年高中语文第二单元第4课说数课件粤教版
- 上市新药Lumateperone(卢美哌隆)合成检索总结报告
- 加试
- 竞赛
- 试题
- 评分
- 答案
- 高中
- 参考
- 数学
- 联合
- 标准
- 全国
- 2008
- 六年级下册综合实践活动教案-成果展评课 全国通用
- 双峰县湘教版七年级下期中数学试卷含答案解析
- 语文S版五年级语文下册期中测试题
- C语言32个关键字九种控制语句34种运算符,好
- 学校公共场所及物品定期消毒制度
- 班主任经验交流会材料 (1)
- 2012秋新目标英语七年级上期末复习
- 名匠装饰公众演讲与沟通训练
- 介绍常见的音频文件格式的特点
- “十三五”重点项目-改性石墨烯项目可行性研究报告
- 最新电子商务与网络营销期中考试试卷
- 足球教案学习参照
- 植物生产与环境教学计划
- 英语初二时态测试
- 门科红外光幕电梯门保护系统主要优点
- 央视广告招标2012年度度CCTV-5中央电视台2012体育频道数字电视合作伙伴
- 电话销售销售概念
- 单原点最短路径算法与实现
- 科学四年级下册教学计划
- 2015年新乡市平原示范区事业单位公开招聘工作人员24人公告