高中物理牛顿第二定律连接体专题

连接体问题

连接体是相互关联的物体，它们之间的作用力与它们的运动及相对运动方式有关。此类问题频见各类试题中，难、易各异，对这类题目的分析和计算具有一定的难度。我们的目的是分析连接体力和运动的内在联系、规律，应用牛顿运动定律、利用逻辑关系推导、演练、计算、得到结果。有一些问题难度较大，运用我们高中所学物理知识、数学知识、还不能准确地进行描述，我们可以运用图像方法来描述。我们就物理问题的分析方法和解法做了一些研究、探讨。上述方法与传统方法相比计算过程相对简便了许多，但需要缜密的思维过程，希望本教材使用者认真思考。为了研究方便，我们把连接体分为加速度相同和加速度不相同两种情况。这种分类并非严格的科学分类，仅仅是一种大体的归类吧，便于进行分析。因为运动情况有所不同，分析和解题的方法将有所区别。前者注重有相同加速度的物体“合外力按质量来均分”理念；加速度不相同的物体注重逻辑关系推演、超重和失重理念及对系统的牛顿第二定律的应用；还有一些问题加速度是变化的，则需注重力、功、能关系理念以及应用图像法来解决问题的意识。

1 加速度相同的连接体

例|1在右图中，质量分别为m1、m2的物体由弹簧相连接，在恒力F作

用下共同向右运动，弹簧的长度恒定，物块与水平面间动摩擦因数为?。求：弹簧的弹力？

m2m1F【引导】上述问题属于连接体的问题，按照传统的解法，老师会教你用整体法与隔离法，按照“先整体后隔离”或“先隔离后整体”等方法，列方程组再求解计算。那么类似的，像物体在水平面上动运、水平面光滑或粗糙；衡力F足够大可以拉着物体沿着斜面向上运动、斜面光滑或粗糙；衡力F足够大可以拉着物体沿着竖直方向向上运动等五种情况下，弹力大小又将如何？难道我们要一一算来，没有规律可循？不妨来一块探究一下！ 【解析】解法一：常规方法（整体法与隔离法）

以整体为研究对象，由牛顿第二定律得

F-??m1?m2?g??m1?m2?a

解得a?F??(m1?m2)gF???g

m1?m2m1?m2以m2为研究对象

FT??m2g?m2a

解得FT?m2F

m1?m2质量分别为m1、m2的物体有弹簧相连接，在恒力F作用下共同向右运动。既然是共同运动、就有相同的加速度，有相同加速度的物体“合外力按质量来均分”。因此

FT?两者结果相同！ 【答案】

m2F

m1?m2m2F

m1?m2【品味】通过上述分析及计算，在恒力F作用下共同运动，具有相同加速度的物体“合外力按质量来均分”的计算结果与采用隔离法的计算结果相同。“合外力按质量来均分”的结论更加深刻地反映了牛顿第二定律的本质。

例|2如图右所示，质量为m1、m2的物块在F1、F2共同作用下向右运动。已知m1?3kg、m2?2kg、F1?14N、F2?4N，求m1和m2之间的作用力FT为多少？

【引导】本题中物体系统水平方向，不仅受到外力F1作用，还受到F2作用，因此系统的合外力为两力的矢量和，然后再按照“合外力按质量均分”结论求解。 【解析】物体系的合外力

F2m2m1F1?F?14N-4N?10N

按照“合外力按质量来均分”知 m1的合力

?F1?6N

m2的合力由于或

?F2?4N

?F21?F1?FT

?F?FT?F2

所以m1和m2之间的拉力

FT?F1??F1?14N-6N?8N

也可以FT?F2?【答案】8N

【品味】当系统所受外力不仅一个时，先求和力再分配，然后任意隔离一个物体进行分析就可求出物体间的“牵连力”。

例|3如右图所示，物体m1、m2用一细绳连接，两者在竖直向上的力F的作用下向上加速运动，重力加速度为g，求细绳上的张力？

【启导】本题由水平情境变为竖直情境，但我们依然可以应用结论去分析。 【解析】物体所受合外力为

?F2?4N?4N?8N

F?F?F??m1?m2?g

以m2为研究对象，由“合外力随质量均分”可知

?F2?又由于

m2m2??F?F?m2g

m1?m2m1?m2?F2?FT?m2g

所以 FT??F2?m2g?m2F

m1?m2【答案】

m2F

m1?m2【品味】从本题计算结果中，我们发现求解结果与重力无关！这是因为质量是与重力对应的，重力如果使两物体产生了加速度，那么其大小和方向一定是一样的，不会对它们之间的“连接体”产生作用。因此，我们可理解为重力本身就是按质量均分的，运算中无需考虑。类似地斜面上物体所受的mg、mgsin??,?,?mgmgcos??也可认为已经按质量均分过

了，无需再考虑。

例|4如图右，m1、m2用细线吊在定滑轮，当m1、m2开始运动时，求细线受到的张力？ 【引导】本题中对合外力的分析是一个难点，仔细研究会发现，使得m1、m2状态变化的原因是两者重力的差值，与滑轮与重力的大小无关。弄清合外力后，就可按照上题解法求解了。

【解析】m1、m2用细线吊在定滑轮上，当m1、m2开始运动时二者具有相同的加速度，产生加速度的力是m1、m2重力的差值。若取g=10m/s2，则

∑F= m1g–m2g = 30N–20N =10N

因此m1、m2受到的合外力分别是6N、4N 则细线受到的张力

FT= m1g–∑F1=30N-6N=24N

或FT= m2g+∑F2=20N+4N=24N 【答案】24N

【品味】从本题中我们会感受到对系统合外力的分析不像我们想象的那么容易，其实这也正反映了结论法的一个重要特性，那就是揭示了牛顿第二定律的本质。

2 加速度不相同的连接体

例|5质量为M的箱体放在水平面上，其内部柱子上有一物块正以加速度a下滑，

物块的质量为m。求箱体对地面的压力？

【引导】我们先用常规方法来求解。分析发现物块与箱体之间通过摩擦力来建立关系，物块处于匀加速状态，先对物块应用牛顿第二定律求出摩擦力，然后在隔离出箱体来分析求解。那么除了这种方法我们能不能找出更为简洁的方法呢？下面我们不妨来探索一下。 【解析】解法一：用隔离法

以物块m为研究对象，其摩擦力和重力作用，且摩擦力小于重，物块加速下滑，则 Mg-Ff=ma

解得Ff=mg-ma

以箱体M为研究对象，其受摩擦力、重力、地面对箱体的支持力三个力作用，箱体保持静止，则

FN=Mg+Ff= Mg+ mg-ma

mMFfamg解法二：应用对系统的牛顿第二定律

将质量为M的箱体和质量为m的物块看成一个物体系，则静止时其总重为 G=Mg+mg

由于物块m向下加速，处于失重状态，其中重力为ma的部分用来产生向下的加速度，将不再对地面产生压力，因此对于物体系应用牛顿第二定律，可得 FN= Mg+ mg-ma 【答案】Mg+ mg-ma

【品味】本题中分别应用了常规解法（隔离法）和对系统的牛顿第二定律来求解。对比发现第二种解法更更抓住本质，也更为方便，当然对思维能力要求也较高。要想熟练运用，反复训练和思考感悟是必不可少的！

例|6在以下所述情形下，分别求出地面对斜面体的摩擦力和支持力： （1）质量为m的物块在质量为M的斜面上静止和沿斜面匀速下滑；

（2）质量为m的物块在沿着斜面向上的拉力F作用下沿斜面匀速上滑，斜面体质量为M，始终静止；

（3）质量为m的物块以加速度a沿斜面加速下滑，斜面体质量为M，保持静止。 【引导】本题我们可以通过分析推理来确定斜面体所受的摩擦力和支持力，也可以应用对系统的牛顿第二定律来求解。在应用后一种方法时，由于所求摩擦力与支持力分别在水平方向和竖直方向上，因此可将系统中物体加速度沿水平方向和竖直方向分解，然后按照对系统的牛顿第二定律进行求解。 【解析】解法一：分析推理法

（1）物体静止在斜面上，可以把物块m和斜面体M看成一个物体，其放在水平地面上仅受支持力作用。

mvmM 质量为m的物块沿着质量为M的斜面匀速下滑，匀速相当于静止，依然可以把物块m和斜面体M看成一个物体，其放在水平地面上也仅受支持力作用。

因此，斜面体所受的摩擦力为零，支持力为

FN=(M+m)g

?M?

（2）物块在沿着斜面向上的拉力F作用下，沿斜面匀速上滑；同样的道理，匀速相当于静止，可以把物块m和斜面体M看成一个物体，这一个物体受到斜向上F的作用；其中Fcosθ向右拉物体没有拉动，地面对质量为M的斜面体的摩擦力等于拉力，即

Ff=Fcosθ

其中Fsinθ是对物体系向上的拉力，地面对斜面体的支持力力应为

FN=(M+m)g-Fsinθ

（3）物块沿着斜面向下以加速度a沿斜面加速下滑，斜面体不动，这时我们仍然把物体系看作一个整体。其中物块受到合外力为∑F=ma，将其正交分解，ma沿竖直方向的分量为masinθ，沿水平方向的分量为macosθ。

对物体系，总重量为（Mg+mg），用其中masinθ的部分产生加速度，因此地面对斜面体的支持力为

FN=（Mg+ mg）- masinθ

系统在若在水平方向受力，只能是地面提供的摩擦力，因此

Ff=macosθ

解法二：应用对系统的牛顿第二定律

（1）无论物块处于静止状态还是匀速直线运动状态，都是平衡态，而斜面体始终静止，因此物体系统水平方向不受力，即地面对斜面体的摩擦力为零。而竖直方向上，由平衡条件有 FN=（Mg+ mg）

（2）由于物体系统处于平衡态，故沿水平方向和竖直方向有

Ff=Fcosθ方向水平向左 Fsinθ+FN=（Mg+ mg）

解得FN=（Mg+ mg）-Fsinθ

（3）沿水平方向与竖直方向分解物块加速度，如图所示。

acos?a?asin?应用对系统的牛顿第二定律，得 地面对斜面体的摩擦力

Ff?M?0?macos??macos?方向水平向左

地面对斜面体的支持力

FN??M?m?g?masin?方向水平向上

对此，我们可以从超、失重角度来理解：

系统失重部分对应的力为masinθ，因此地面对斜面体的支持力为

FN=(Mg+ mg)-masinθ

在水平方向，物块的加速度分量为macosθ，可以认为是斜面体对物块推动的结果，因此物块也沿水平方向向右推斜面体，推力为

F推=macosθ

斜面体不动，地面对斜面体的摩擦力方向向左，大小为

Ff=macosθ

【答案】（1）Ff=0 FN=(M+m)g （2）Ff=Fcosθ FN=（Mg+ mg）-Fsinθ （3）Ff=macosθFN=(Mg+ mg)-masinθ

【品味】本题解法一容易理解，但过程较为复杂。解法二简便快捷，但对思维能力要求较高。两种方法都不乏迷人智慧之处。还希望读者能够多多品味琢磨。只有基础扎实，吃透了思想方法的精髓，方能运用的得心应手，因此希望学员在欣赏的同时不要忘了练好基本功和对思想方法实质的探索。

例|7质量均为m的物体A、B叠放在一起，置于光滑水平地面上，A、B用弹簧栓接。B木板足够长、A物体运动中不会从B木板上掉下来，A、B间光滑。t=0时刻给B施加一水平向右的恒力F。在此后的运动中将有（） A．A、B物体加速度相同时速度差最大

B．A、B物体速度相同时加速度差最大 C．A、B物体加速度之和恒定

D．在弹簧振动的一个周期内，A、B的位移相等 E．系统机械能守恒

【启导】本题可以从牛顿运动定律着手，分析物体运动情况及运动过程中个物理量的变化情况和物理量间的关系。但是你会发现过程非常麻烦，而且极易出错。那么，还有别的办法吗？在这里给大家支上一招，如下所述。

【解析】把A、B两物体的运动情况定位为初速度为零的匀加速运动和简谐振动的合运动，若要用数学公式进行计算还是有一定的难度。

既然把A、B两物体的运动情况定位为初速度为零的匀加速运动和简谐振动的合运动，简谐振动的图像是三角函数的正弦或余弦函数图象，初速度为零的匀加速运动是过原点的倾斜直线，二者叠加合成的结合就是右边的图象曲线。从图像上可以看到：

（1）t=0时B的加速度最大，A的加速度为零。随后B作加速度减小的加

速运动，A作加速度增大的加速运动，加速度相等时速度差最大。再随后A作加速度减小的加速运动，B作加速度增大的加速运动，加速度相等时速度差最大，周而复始。

（2）基于上述理由和事实，速度相等时，弹力为零或最大（弹力最大值等于恒力F）。B加速度最大时，A加速度为零，A加速度最大时，B加速度为零。因此，A、B物体速度相同时加速度差最大。

（3）这时我们把A、B物体系看作一个整体，其合外力恒定加速度之和为a合?F2m。 （4）一个周期内A、B的相对位置回到原位置，因此，它们的位移相等。 （5）把A、B物体系看作一个整体，其合外力恒定且做功、系统机械能不守恒。

综上所述，A、B、C、D四个答案全对，E答案不成立。 【答案】ABCD

【品味】具有趋势性的运动的物理事件，图像法表示具有一定的优势，直观、客观、科学地反映物体在运动变化中各物理量的关系，有时可以起到未算先知的效果。

v

1．连接体

指运动中几个物体或叠放在一起，或并排挤放在一起，或用轻绳、轻杆、强弹簧联系在一起的物体系。 2．本质特征与解法

（1）加速度相同的连接体：与运动方向、有无摩擦力、两物体放置的方式都无关，平面、

斜面、竖直都一样，只要两物体保持相对静止，恒满足“合外力按质量均分”。常见形式如下：

Fm2m1m2m1F1m1m2F2F1m1m2F2F

??

（2）加速度不同的连接体：常应用对系统的牛顿第二定律、图像法和分析推理法求解。 下面对系统的牛顿第二定律及其应用进行说明：

对系统的牛顿第二定律：系统所受到的合外力等于系统中各物体的质量与自身对应加速度乘积之和。

表达式分量式

?F?ma11?m2a2?m3a3????????mnan

?Fx?m1a1x?m2a2x?m3a3x????????mnanx

?Fy?m1a1y?m2a2y?m3a3y????????mnany

应用对系统的牛顿第二定律求解组合体动力学问题的一般思路

①弄清系统的构成和系统内各物体的状态 ②跟据题目所求建立坐标系，分解各物体的加速度 ③应用对系统的牛顿第二定律列方程，代值求解 使用要诀：分解物体加速度，选取系统来解求 常见形式举例：

??

如图所示，两个质量相同的物体A和B仅靠在一起，放在光滑的水平面上，如果它

们分别受到水平推力F1和F2，而且F1?F2，则A施与B的作用力大小为（）

A．F1 B．F2 C．

F1?F2F?F2 D．1 22【解析】以B为研究对象，由“合外力按质量均分”可知

?FB?由于

mB?F1?F2?F1?F2?

mA?mB2B?F?FAB?F2

所以FAB?【答案】C

?FB?F2?F1?F2 2【回味】本题为加速度相同的连接体问题，可以应用“合外力按质量均分”结论来求解，也可以应用先整体后隔离的常规方法来求解，学员可以分别求解，对比体验。

如右图所示，长为L的均匀粗绳，置于水平面上，其右端B

施加以一水平恒力，粗绳在水平恒力作用下向右运动。求：距B端距离为x的P点绳的张力？

【解析】均匀粗绳质量按长度来均分，“合外力按质量来均分”，因此

TP?【答案】

L?xF LL?xF L【回味】如果你觉得上题中“结论法”还没有体现出对常规方法的优越性的话，那么本题中你将获得这种感受，不妨试试！

如图所示，一质量M=6kg的斜面体置于粗糙水平地面上，倾角为30?。质量m=4kg的物体以a=3m/s2的加速度沿斜面下滑，而斜面体始终保持静止。30?amM

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