近世代数期末考试试卷及答案1

抽代试题 2

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（A、?a? B、?a,e? C、?e,a? D、?e,a,a?

33 c

）是子群。

2、下面的代数系统（G，*）中，（ D ）不是群

A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|

??4、设?1、?2、3是三个置换，其中?1=（12）（23）（13），?2=（24）（14），3=（1324），则A、?21?3=（ B ）

22 B、?1?2 C、? D、?2?1

5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、 是交换群

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。

3、已知群G中的元素a的阶等于50，则a的阶等于----25--。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与---模n剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=---｛2｝--。

6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。

4 1

a,a,?,an7、?叫做域F的一个代数元，如果存在F的-----01使得a0?a1????an?n?0。

8、a是代数系统(A,0)的元素，对任何x?A均成立x?a?x，则称a为---右单位元------。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、-----消去律成立----。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是--交换环--------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。

2、设E是所有偶数做成的集合，“?”是数的乘法，则“?”是E中的运算，（E，?）是一个代数系统，问（E，?）是不是群，为什么？

3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。 2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a?b当且仅当m︱a–b。

2

近世代数模拟试题三

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。 A、2阶 B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶

2、设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。 A、4个 B、5个 C、6个 D、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。 A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）

A、（N,?） B、（Z,?） C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D、 (P(A),?)

5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）

A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。 2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则

3

f?1?f?a???----------。

3、区间[1，2]上的运算a?b?{mina,b}的单位元是-------。 4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。 5、环Z8的零因子有 -----------------------。 6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。 8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。

n9、设群G中元素a的阶为m，如果a?e，那么m与n存在整除关系为

--------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？

2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？ 3、设有置换??(1345)(1245)，??(234)(456)?S6。

?1???1．求和?；

?12．确定置换??和??的奇偶性。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

4

近世代数模拟试题一 参考答案

一、单项选择题。

1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。

1、??1,?1?,?1,0?,?1,1??2,?1?,?2,0?,?2,1??；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I或S=R ；9、域； 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、解：把?和?写成不相杂轮换的乘积：

??(1653)(247)(8) ??(123)(48)(57)(6)

可知?为奇置换，?为偶置换。 ?和?可以写成如下对换的乘积：

??(13)(15)(16)(24)(27) ??(13)(12)(48)(57)

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7opr.html