中山市2007—2008高二第一学期期末考试数学（理）

中山二级2007—2008学年度第一学期期末统一考试

数学理科试卷

本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。共100分，考试时间100分钟。

第I卷（选择题共40分）

注意事项：

1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题（每小题4分，共40分）

1. 若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是( )

A. sinA B. cosA C. tanA 2. 当a?0时，“a?1”是“

D.

1 tanA1?1”( ) aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 3.

2?1与2?1，两数的等比中项是( )

A. 1

2 B. ?1 C. ?1

D.

1 24. 不等式ax?bx?2?0的解集是{x?A. 10

B. -10

C. 14

11?x?}，则a?b的值是( ) 23 D. -14

5. 在△ABC中，A:B:C?1:2:3，则a:b:c等于（ ）

A．1:2:3 B．3:2:1 C．1:3:2 D．2:3:1

x2?y2?1有相同的两焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是（ ） 6. 与椭圆4

x2x2x2y2y2222 A. ?y?1 B. ?y?1 C. ?1 ??1 D. x?422337. 若曲线y?x的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为 ( )

A. x?4y?3?0 B. x?4y?5?0 C. 4x?y?3?0 D. 4x?y?3?0 8. 不等式组?4?x?3y?6?0表示的区域是( )

?x?y?2?0

9. 在等差数列{an}中，a3,a8是方程x?3x?5?0的两个根，则S10是( )

A.15 B.30 C.50 D.15?1229

2x2y210.若抛物线y?2cx的焦点与椭圆??1的右焦点重合，则c的值为 ( )

622A. 2 B.-2

C. 4 D. -4

第II卷（非选择题共60分）

题 号

二、填空题（每小题4分，共16分）

11命题p：?x?R,x?2x?2?0的否定是 2二 15 16 17 18 19 总分 总分人 复分人 ????12.已知a?(1?x,1?x,x),b?(2,x,x)(x?R)，则a?b的是小值为 .

13. 两个等差数列?an?,?bn?,a1?a2?...?an7n?2a?,则5= . b1?b2?...?bnn?3b5y2?1，则x1?y2的最大值为 14设x?0,y?0,x?22

三、解答题（共5小题. 15、16、17、18题各9分，19题8分，合计44分） 得 分

评卷人 15. 在ΔABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c， 且a2?c2?b2?1ac. 2（1）求sinB的值（4分）

（2）若b=2，求ΔABC面积的最大值（5分） 得 分

评卷人 16. 已知函数f(x)?x(x?c).

⑴当c?1时，求函数的单调区间（5分）

⑵函数f(x)在x?2处有极大值，求c的值（4分）

得 分

得 分 评卷人 18.如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=900，BC=2， CC1=4，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与

B1D相交于点H.

（Ⅰ）求证：B1D⊥平面ABD；（3分）

（Ⅱ）求证：平面EGF∥平面ABD；（3分） （Ⅲ）求平面EGF与平面ABD的距离.（3分）

得 分

（2）求和：T2n?

2评卷人 17.设抛物线的顶点为O，经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于 两点B，C，经过抛物线上一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q， 求证：|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项.

评卷人 19. 设?an?为等比数列，a1?1，a2?3． （1）求最小的自然数n，使an≥2007；

1232n?????． a1a2a3a2n

参考答案

一、选择题：AACDC BDBAC

二、填空题：11：?x?R,x?2x?2?0；12：15； 13：三、解答题：

15．解：（1）∵a2?c2?b2?∴cosB?23265；14：

41211ac，∴b2?a2?c2?ac 221 4∵B是ΔABC的内角，则B?(0,?2)

∴sinB?1?cosB?215； 4115acsinB?ac 28（2）若b=2，ΔABC面积S?ABC?又a?c?4?∴

221ac 218ac?4?a2?c2?2ac，∴0?ac? 231515ac? 83∴S?ABC?当a?c?

82615?时，ΔABC面积S?ABC?为最大值. 33316．解：⑴当c?1时， f(x)?x(x?1)?x?2x?x；

f'(x)?3x?4x?1，令3x?4x?1?0；得 x?1或x? 列表：

223221 3x f'(x) f(x) 1(??,) 3+ ↗ 1 30 极大值 1(,1) 31 0 极小值 (1,??) + ↗ - ↘

∴函数f(x)的单调增区间分别为(??,)，(1,??)；

函数f(x)的单调减区间为(,1). ⑵∵f(x)?x(x?c)?x?2cx?cx； ∴f'(x)?3x?4cx?c

∵函数f(x)在x?2处有极大值， ∴f'(2)?0,即12?8c?c?0； ∴c?2或c?6

17．证明：如图，设抛物线方程：y?2px (p?0)，焦点为F(222232213132p,0)， 2?y2?2pxp?直线BC的方程为x?；解方程组?，得y??p， p2?x??2∴B(pp,p)，C(,?p)，|BC|=2p； 222令P(x0,y0)，由y0?2px0，其中 |OQ|=x0，|PQ|=|y0|

∵|PQ|2=y02；|BC|?|OQ|=2px0 ∴|PQ|2=|BC|?|OQ|；

∴|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项.

18．（Ⅰ）证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设A1（a，0，0），则C1（0，2，0），F（0，1，0），E（0，0，1），A（a，0，4），B（0，0，4），D（0，2，2），

a，1，0）， 2?????????????∴B1D?(0,2,2)，AB?(?a,0,0)，BD?(0,2,?2)，

G（

??????????????????∴B1D?AB?0?0?0?0，B1D?BD?0?4?4?0，

∴B1D⊥AB，B1D⊥BD，又AB∩BD=B， ∴B1D⊥平面ABD.

????????（Ⅱ）证明：∵AB?(?a,0,0)，BD?(0,2,?2)，

????????aGF?(?,0,0)，EF?(0,1,?1)，

2

????????????????∴GF∥AB，EF∥BD，

∴GF∥AB，EF∥BD，又GF∩EF=F，AB∩BD=B， ∴平面EGF∥平面ABD

（Ⅲ）解：由 （Ⅰ）、（Ⅱ）可知，DH为平面EFG与平面ABD的公垂线段，

??????????????????设B1H??B1D?(0,2?,2?)，则EH?(0,2?,2??1)，EF?(0,1,?1)

????????2?2??11∵EH与EF共线，∴，即??， ?1?14????32?????????1133∴B1H?(0,,)，HD?(0,,)，∴HD?，

22222因此，平面EGF与平面ABD的距离为32 2?3n?1，

?a2?a?1?19．解：（1）由已知条件得n???a1?67n?1因为3?2007?3，所以，使an≥2007成立的最小自然数n?8． （2）因为T2n??12342n?2?3???2n?1，????① 13333112342n?12nT2n??2?3?4???2n?1?2n，????② 3333333411112n①?②得：T2n?1??2?3???2n?1?2n

33333311?2n3?2n ?132n1?33?32n?3?8n? 2n4?332n?2?9?24n所以T2n?． 2n16?3

????????????????∴GF∥AB，EF∥BD，

∴GF∥AB，EF∥BD，又GF∩EF=F，AB∩BD=B， ∴平面EGF∥平面ABD

（Ⅲ）解：由 （Ⅰ）、（Ⅱ）可知，DH为平面EFG与平面ABD的公垂线段，

??????????????????设B1H??B1D?(0,2?,2?)，则EH?(0,2?,2??1)，EF?(0,1,?1)

????????2?2??11∵EH与EF共线，∴，即??， ?1?14????32?????????1133∴B1H?(0,,)，HD?(0,,)，∴HD?，

22222因此，平面EGF与平面ABD的距离为32 2?3n?1，

?a2?a?1?19．解：（1）由已知条件得n???a1?67n?1因为3?2007?3，所以，使an≥2007成立的最小自然数n?8． （2）因为T2n??12342n?2?3???2n?1，????① 13333112342n?12nT2n??2?3?4???2n?1?2n，????② 3333333411112n①?②得：T2n?1??2?3???2n?1?2n

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7oh8.html