高三数学 函数的和、差、积、商的导数(1)

高三数学 函数的和、差、积、商的导数（1）

一、教学目标：

1．了解函数的和、差、积的导数公式的推导；

2．掌握两个函数的和、差、积的求导法则；

3．能正确运用两个函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数．

二、教学重点：掌握函数的和、差、积的求导法则；

教学难点：对积的求导法则的理解及运用．

三、教学用具：投影仪

四、教学过程

（一）导入新课

1．复习：.2)(,3)(,)(2231x x x x nx x n n ='='='-

2．提出问题：求函数23x x y +=的导数．

3．回顾导数的定义：

x

x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00 4．学生尝试，利用导数定义求23)(x x x f +=的导数．

x

x x x x x x x x f x x f x f x x ?+-?++?+=?-?+='→?→?)()()(lim )()(lim )(232300.23)2)(33(lim )(2)()(33lim 22202

3220x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x +=?++?+??+=??+??+?+?+??=→?→? 5．探究：.23)(,2)(,3)(223223x x x x x x x x +='+='='

结论：.)()()(2323'+'='+x x x x

6．猜想：[][]).()()()(),()()()(x v x u x v x u x v x u x v x u '-'='

-'+'='+

（二）新授

1．学生尝试猜想的证明： []).()()()(x v x u x v x u '±'='±．

证明：令).()()(x v x u x f y ±==[][])()()()(x v x u x x v x x u y ±-?+±?+=?[][].)()()()(v u x v x x v x u x x u ?±?=-?+±-?+= ∴.x

v x u x y ??±??=?? .lim lim lim lim 0000x v x u x v x u x y x x x x ??±??=??? ????±??=??→?→?→?→?即[]).()()()(x v x u x v x u '±'='±

2．法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：

.)(v u v u '±'='±

3．范例：

①求x x y sin 3+=的导数．

解：由两个函数的和的求导法则，可得：

.cos 3)(sin )(23x x x x y +='+'='

②求324+--=x x x y 的导数．

解：由两个函数的和（或差）的求导法则，可得：

.1243--='x x y

4．法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：

.)(v u v u uv '+'='

指导学生尝试法则2的证明：

令).()()(x v x u x f y ?==)()()()(x v x u x x v x x u y -?+??+=?

),()()()()()()()(x v x u x x v x u x x v x u x x v x x u -?+?+?+-?+??+=

.)()()()()()(x

x v x x v x u x x v x x u x x u x y ?-?+?+?+??-?+=?? 因为)(x v 在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当0→?x 时，)()(x v x x v →?+．从而

x

x v x x v x u x x v x x u x x u x y x x x ?-?+?+?+??-?+=??→?→?→?)()(lim )()()()(lim lim 000 ).()()()(x v x u x v x u '+'=即：v u v u uv y '+'='=')(

说明：

1．学生尝试证明法则2时可能存在一定障碍．教师应及时指导学生注意导数定义的形式． 2．.)(v u uv ''≠'

3．若C 为常数，则.0)(u C u C u C u C Cu '='+='+'='即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数．

.)(u C Cu '='

5．应用

①求45322

3-+-=x x x y 的导数．

解：由函数的和（差）与积的求导法则，可得 .5662+-='x x y

②求)23)(32(2-+=x x y 的导数．

解：3)32()23(4)23)(32()23()32(222?++-='-++-'+='x x x x x x x y

98182+-=x x

解的变化：6946)23)(32(232-+-=-+=x x x x x y

∴.98182+-='x x y

注：在可能的情况下，求导时应尽量少用甚至不用乘积的求导法则． ③求)11(32

x

x x x y ++=的导数． 解：.23,113223x x y x x y -='∴++= ④求)11)(1(-+=x

x y 的导数． 解：先化简，2121111-+-=-+-?=x x x

x x x y ∴.112121212321??

? ??+-=--='--x x x x y ⑤求2

cos 2sin x x x y -=的导数． 解：先使用三角公式进行化简．

x x x x x y sin 2

12cos 2sin -=-= ().cos 211sin 21sin 21x x x x x y -='-'='??

? ??-='∴ 注：在求导之前，应利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．

（三）小结（纳入知识体系）

在导数的概念一节中，我们求函数的导数时，利用导数的定义和极限式．当我们在推导未知的求导法则（如本课时的法则1与法则2）时，我们仍然只能使用导数的定义．导数的极限式．但对于一些简单函数的求导，上节课我们已经得到了常函数、幂函数、正弦函数、余弦函数的求导公式，本课时我们又得出了函数的和、差、积的求导法则．因此，对于由常函数、幂函数、正弦函数、余弦函数，利用加、减、乘运算得到的一些简单函数的求导，我们均能利用这两节课学习的求导法则与求导公式很快地求出，而不必每一问题均回到导数定义．

（四）练习：

教科书第121页第1、2、3题．

五、布置作业

教科书习题3．3第1①②⑤、2①题．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7ofe.html