圆锥曲线参数方程的应用

圆锥曲线参数方程的应用

课题 ：圆锥曲线参数方程的应用 圆锥曲线参数方程的应用授课人：马鞍山二中 陈昌富

提 出 宝 贵 意 见

欢 迎 光 临 指 导

圆锥曲线参数方程的应用

复习提问： 回答下列曲线的参数方程(1)圆：(x-x0)2+(y-y0)2= r2 x = x 0 + r cos θ y = y 0 + r sin θ

(θ为参数)

x = a cos θ y = b sin θ

x2 y2 (2)椭圆： 2 + 2 = 1, (a > b > 0) a b x2 y2 (3)双曲线：2 b2 = 1, (a > 0, b > 0) a

x = a sec θ y = btgθ x = 2 pt 2 y = 2 pt

(4)抛物线：y2= 2px (p>0)

圆锥曲线参数方程的应用

例1、已知P(x,y)在椭圆 2 2 x y + = 1 上。求u=2x-y的最大值 4 9 解 设P(2cos θ ,3sinθ)(0≤θ<2 π ) 是椭圆上的点。 则 u=4cos θ -3sin θ= 5sin( - θ )。 4 π 其中 = arctg 显然 - θ=2kπ+ k∈Z3π 4 + arctg 时，u最大，umax=5 θ= 2 3

3

2

说明 此题应用了椭圆参数方程的设法，以及 化一个角的一个三角函数的方法求出最值。

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例2、已知P(x,y) x = cos θ 是圆x2+y2=2y上的 y = 1 + sin θ 动点。 (1)2x+y= 2cosθ+sinθ+1 ∴1 5 ≤ 2 x + y ≤ 1 + 5 (1)求2x+y的 取值范围； (2)若 x+y+c ≥ 0恒成立 即c ≥-( cosθ+sinθ+1) (2)若x+y+c≥0 对一切θ∈R成立，又 恒成立，求实数c -( cosθ+sinθ+1)最大值 是 2 1 ∴当且仅当c ≥ 2 1 取值范围。 时 ， x+y+c ≥ 0恒成立。

解 圆的参数方程是

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有公共点，试求圆的半径的最大值和最小值。

x2 2 例3、已知椭圆 + y = 1和圆(x-1)2+y2=R2 4

解 ∵椭圆和圆有公共点； ∴设这个公共点是( 2cos θ ,sin θ )θ∈[0,2π) R2=( 2cosθ -1)2+sin2 θ = 4 cos2θ - 4 cosθ +2 - cos2θ2 2 2 =3(cosθ- ) + 3 3 2 2 6 2 ∴当cosθ= 时， R min= ,Rmin= 3 3 3

当cosθ= -1时， R2max=9,Rmax=3。

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说明 本例的一般解法是消y2,转化为R2

的二次函数f(x),因为|x|≤2,所以可转化 为闭区间上二次函数的最值问题，但没有用 椭圆的参数方程设点更简捷。

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例4、直线l: 3 x + 2 y 6 = 0 与抛物线 y 2 = 2 3 x 交于A、B 两点，求∠AOB 的值。

设抛物线 y 2 = 2 3x 解 的参数方程是 x = 2 3t 2 (t是参数) y = 2 3t

将它代入直线l的方程

3 x + 2 y 6 = 0 整理得 3t 2 + 2 3t 3 = 0 (1)

∵ A、B对应的参t1、t2分别是方程(1)的两根， y B ∴t1t2=-1,∵t表示抛物线上的点与原点连线斜率 的倒数。 x 1 1O = 1 即kOAkOB=-1。 ∴∠AOB=900 ∴ kOA kOB A

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y 例5、如图 设椭圆 B2 2 2 P C: 2 x + ky = 1(k > 0) 的焦点在x轴上，P是椭 R Qx o 圆上一点(非顶点), B1 B1,B2为短轴两端点， PB1、PB2分别交x轴于 解 椭圆的C的方程是 R、Q。求证：|OQ|·|OR| x 2 y 2 + = 1 ∵焦点在x轴上 1 为定值。 2

2

k

2 1 ∴ > > 0, 2 k

设 P(

1 1 B1 (0, ), B2 (0, ). k k 2 1 cosθ , sin θ

), Q(x1,0) k 2

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∵ B2、P、Q三点共线 ∴

y B2

P Qx

1 1 2 sin θ 0 0 cos o θ R k 2 = k , ∴x1 = B1 , 0 x1 1 sin θ 2 cosθ x1 22 cosθ 2 1 sin θ 2 cosθ 1 2 1 B2 (0, 1 ( 0, 同理B|OR|= k ),+ sin θ k ). 1

即 |OQ|=

2 1 P( cos , sinθ), θ 2 2 k cos2 θ 2 为定值。 2 = ∴ |OQ|·|OR|= Q(x1,0) 21 sin θ 2

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l2

Y Q

l1 P X

例6、如图 设P是双 x2 y2 曲线 2 2 = 1 上的任意一 点，过P作双曲线两条渐近 线的平行线，分别与另一条 渐近线交于Q、R。求证： |PQ|·|PR|= 1 (a2+b2)。4a b

OR

分析 若设P(x0,y0),则运算相当复杂， 若用双曲线的参数方程设点，则可以转化为 三角运算。

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Y 证明 设P点坐标是(a secθ,btgθ),双曲线 l2 l1 提问 经过P0(xo,y0) 两条渐近线方程分别是 YQ 倾斜角为α的直线参数方程是 l l1 l1x0 + t cos α :bx-ay=0, l2: bx+ay=02 P x = O RQ X (t是参数) b b α ∴ y kl 2y=+ t sin 且 PQ‖l2, k PQ = ∵= 0 , P a a OR b X a 30 提问经过Psec θ ,y20),斜率为k= (xo t, x = a 0 2 a a +b ∴PQ的方程是 0P的参数方程是 (t为参数) 且参数t表示P 10 b 2 2 a +b 斜率为k= 1的参数方程是 (t是参数) 将它代入l 的方程，则有 a b at= y0 + t x = x0 + y at 2 bt 2 (t是参数) θ + a )+ b (btg a θ ) =0 b(a sec y = y0 + bt a 2 + b 2 a 2 + b2 b y = btg θ + t, 0 提问 经过P (xa,y ) 2 2 2 o 0t a + b x = x0 0 +

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1 2 l2 ∴t = a + b 2 (sec θ tgθ ) 2 1 2 ∴ PQ = t = a + b2 sec θ tgθ , 2 1 2 2 a + b sec θ + tgθ 同理得 PR = 2

Y Q

l1 P X

OR

a 2 + b2 1 2 2 2 ∴ PQ PR = sec θ tg θ = ( a + b 2b ) 4 ∵ PR‖l1∴k4 =kL1= PR

a 直线PR的参数方程是 说明 这里既运用了双曲线的参数设点P a t x = a sec θ + 2 2 a +b 的坐标，又用了直线参数方程，因而化简了 (t是参数) b y = btgθ + t 2 运算。 2 a +b

圆锥曲线参数方程的应用

说明 这里既运用了双曲线的参数方程设点 P的坐标，又用了直线参数方程，因而化简了 运算。 小结 通过本节课的学习，我们应该 知道不仅要掌握圆锥曲线的参数方程，还 要运用圆锥曲线 的 参数方程解决其它问 题。特别注意要掌握参数的几何意义或物 理意义。

圆锥曲线参数方程的应用

x = x0 + t cosθ 当t为常数， 练习 1、曲线的方程是 y = y0 + t sin θ

θ为参数时曲线是

圆(x-x0)2 +(y-y0)2 = t2 ;

当θ为常数，t为参数时，它表示 0=tgθ(x-x0) ; 直线y-y 2、已知双曲线的参数方程是 x = 2tgθ y = 3 sec θ

± (θ为参数),则它的焦点坐标是 (0, 13 )。

作业 P146 8、9、10

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谢 再 见2000年4月4 日

谢

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