《平面向量》单元检测题-高中数学单元检测题附答案(可编辑修改wo

《平面向量》单元检测题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟．

第Ⅰ卷(选择题共60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的)

1．已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x 的值是( )

A．－6 B．6 C．9 D．12

2.下列命题正确的是( )

A.单位向量都相等B．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线

C．若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0 D．若a 与b 都是单位向量，则a·b＝1.

3.设向量a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，若a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围是( )

4 4 4 4

A．(－，2) B．(－∞，－)∪(2，＋∞) C．(－2， ) D．(－∞，2)∪( ，＋∞)

3 3 3 3

→→→→

4.平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则AD·BD等于( )

A．8 B．6 C．－8 D．－6

5.已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( )

ππππ

A. B. C. D.

6 4 3 2

6.关于平面向量a，b，c，有下列四个命题：

①若a∥b，a≠0，则存在λ∈R，使得b＝λa；②若a·b＝0，则a＝0 或b＝0；

③存在不全为零的实数λ，μ使得c＝λa＋μb；④若a·b＝a·c，则a⊥(b－

c)．其中正确的命题是( )

A．①③B．①④C．②③D．②④

7.已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，则向量a 在向量b 上的投影等于( )

12 12

A．－4 B．4 C．－ D.

5 5

→→→

8.设O，A，M，B为平面上四点，O M＝λO B＋(1－λ)·O A，且λ∈(1,2)，则( )

A.点M 在线段AB 上 B．点B 在线段AM 上C．点A 在线段BM 上 D．O，A，B，M 四点共线

→ 1 →→

9．P 是△ABC 内的一点，AP＝(AB＋AC)，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( )

3

3

A. B．2 C．3

D．6 2

→→→→→→→

10．在△ABC中，A R＝2RB，C P＝2P R，若A P＝m A B＋n A C，则m＋n等于( )

2 7 8

A. B. C. D．1

3 9 9

11．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)等于( )

4 3 3

A．－B．－C．0 D.

5 5 5

12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是( )

A．若a 与b 共线，则a⊙b＝0 B．a⊙b＝b⊙a

C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2

第Ⅱ卷(非选择题共90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)

13．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b 与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝.

14．a，b 的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝.

1

15.已知向量a＝(6,2)，b＝(－4，)，直线l 过点A(3，－1)，且与向量a＋2b 垂直，则直线l 的方程为

2

．

→→→→→16.已知向量OP＝(2,1)，OA＝(1,7)，OB＝(5,1)，设M 是直线OP 上任意一点(O 为坐标原点)，则MA·MB的最小值为．

， 2 2 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) → → → 1→ → 1→

17．(本小题满分 10 分)如图所示，以向量OA ＝a ，OB ＝b 为边作?AOBD ，又BM ＝ 3 BC ，CN ＝ 3 CD ，用 a ，b 表示 → → →

OM 、ON 、MN .

18．(本小题满分 12 分)已知 a ，b 的夹角为 120°，且|a |＝4，|b |＝2，

求：(1)(a －2b )·(a ＋b )；(2)|a ＋b |；(3)|3a －4b |.

(1 3)

k ＋t 2

y ＝－ka ＋tb ，且 x⊥y，试求 t 的最小值．

→ → →

20．(本小题满分 12 分)设OA ＝(2,5)，OB ＝(3,1)，OC ＝(6,3)．在线段 OC 上是否存在点 M ，使 MA ⊥MB ？

若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．

21．(本小题满分 12 分)设两个向量 e 1、e 2 满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2 的夹角为 60°，若向量 2te 1＋7e 2

与 e 1＋te 2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围．

→ →

22．(本小题满分 12 分)已知线段 PQ 过△OAB 的重心 G ，且 P 、Q 分别在 OA 、OB 上，设OA ＝a ，OB ＝b ，

→ → 1 1 OP ＝ma ，OQ ＝nb .求证： ＋ ＝3.

m n

19．(本小题满分 12 分)已知 a ＝( 3，－1)，b ＝ ，且存在实数 k 和 t ，使得 x ＝a ＋(t 2－3)b ，

《平面向量》单元检测题参考答案

选择题答案

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A A C B A B C B B B 【第 1 题解析】∵a∥b，∴4×3－2x＝0，∴x＝6.故选 B .

【第2 题解析】∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b |a－b|2＝a2＋b2－2a·b |a＋b|＝|a－b|.∴a·b＝0.故选 C .

【第3 题解析】∵a与b的夹角大于90°，∴a·b<0，∴(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)<0，即3m2－2m－8<0，∴4

－

3

a·b a·b 12

【第7 题解析】向量a 在向量b 上的投影为|a|cos〈a，b〉＝|a|·＝＝－＝－4.故选A .

→→→→→→→|a||b|

→|b| 3

【第 8 题解析】∵O M＝λO B＋(1－λ)O A＝O A＋λ(O B－O A)∴A M＝λA B，λ∈(1,2)，∴点B在线段AM上，故选 B.

S △ ABC2S △ABD2AD→ 1 →→2→→3→【第9 题解析】设△ABC边BC的中点为D，则＝＝.∵A P＝ (A B＋A C)＝A D，∴A D＝A P，∴|

→ 3 →S △ABC S △ ABP S △ABP AP 3 3 2

AD|＝|AP|.∴＝3.故选 C .

2 S △ABP

→→→→2→→ 2 2→→4→1→ 4 1 7

【第 10 题解析】AP＝AC＋CP＝AC＋CR＝AC＋( AB－AC)＝AB＋A C故有m＋n＝＋＝ .故选 B .

3 3 3 9 3 9 3 9

3 【第 11 题解析】由已知得 4b＝－3a－5c，将等式两边平方得(4b)2＝(－3a－5c)2，化简得a·c＝－ .同理

5

3

由 5c＝－3a－4b 两边平方得a·b＝0，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝－ .故选 B.

5

【第 12 题解析】若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故 A 正确．由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故 B 不正确．对于 C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C 正确．对于 D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故 D 正确．故选

B .

填空题答案

第 13 题 2 第 14 题7

第 15 题2x－3y－9＝0 第 16 题－8

【第 13 题解析】∵a＝(1,2)，b＝(2,3)，∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．

∵向量λa＋b 与向量c＝(－4，－7)共线，∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0. ∴λ＝2. 故填 2 .

) ( )

【第 18 题解析】a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝4×2× － 2 2 2

5 ( → → → →

【第16 题解析】设O M ＝t O P ＝(2t ，t )，故有M A ·M B ＝(1－2t,7－t )·(5－2t,1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－ → →

8，故当 t ＝2 时，MA ·MB 取得最小值－8. 故填－8. → 1 5 → 2 2 → 1 1 【第 17 题答案】OM ＝ a ＋ b ，ON ＝ a ＋ b ，MN ＝ a － b. 6 6 → → → 3 3 2 → → → 6 → 1→ → 1→ 1 5 【第 17 题解析】BA ＝OA －OB ＝a －b .∴OM ＝OB ＋BM ＝OB ＋ BC ＝OB ＋ BA ＝ a ＋ b . → → → → 1→ 1→ 2→ 2 2 3 6 6 6 → → → 2 2 1 5 1 1 又OD ＝a ＋b .ON ＝OC ＋CN ＝ OD ＋ OD ＝ OD ＝ a ＋ b ，∴MN ＝ON －OM ＝ a ＋ b － a － b ＝ a － b.

2 6

3 3 3 3 3 6 6 2 6 【第 18 题答案】（1）12；（2）2 3；（3）

4 19.

( 1) (1)(a －2b )·(a ＋b )＝a 2－2a ·b ＋a ·b －2b 2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12.

(2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12.∴|a ＋b |＝2 3.

(3)|3a －4b |2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，∴|3a －4b |＝4 7 【第 19 题答案】－ . 4

19.

(1) ( 3) 1 3 t 3－3t ∵a ·b ＝ 3× －1× ＝0，∴a ⊥b .∵x ·y ＝0，∴[a ＋(t 2－3)b ](－ka ＋tb )＝0.化简得 k ＝ . 2 2 k ＋t 2 1 1 7 4 k ＋t 2 7 ∴ t ＝ (t 2＋4t －3)＝ (t ＋2)2－ .即 t ＝－2 时， 有最小值为－ . 4 4 4 (22 t 4 11)

【第 21 题解析】由向量 2te 1＋7e 2 与 e 1＋te 2 的夹角为钝角，得 2te 1＋7e 2 · e 1＋te 2 |2te 1＋7e 2|·|e 1＋te 2|

<0， 即(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0.整理得：2te 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7te 2<0.(*)

∵|e 1|＝2，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝60°.∴e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1 1

∴(*)式化简得：2t 2＋15t ＋7<0.解得：－7

当向量 2te 1＋7e 2 与 e 1＋te 2 夹角为 180°时，设 2te 1＋7e 2＝λ(e 1＋te 2) (λ<0)． 对比系数得Error!，∴Error!∴所求实数 t 的取值范围是 －7，－ 14 ∪ － 2 1 ，－ . 2 2 1 1 【第 22 题答案】 ＋ ＝3.

m n

【第 22 题解析】 → 1 → → 1

→ 2→ 1 证明 如右图所示，∵OD ＝ (OA ＋OB )＝ (a ＋b )，∴OG ＝ OD ＝ (a ＋b )．

2 2

3 3 5 1

4 ＝－4. 【第 19 题解析】由题意有|a |＝ 3 2＋ －1 2＝2，|b |＝ 2＋ 2＝1. 【第 20 题答案】存在点 M ，M 点的坐标为(2,1)或 ， .

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