高二数学选修4-4《极坐标与参数方程》测试题

高二数学选修4-4《极坐标与参数方程》测试题

（时间：120分钟，总分：150分） 姓名： 学号:

一．选择题（每小题5分，共50分）

1.曲线的极坐标方程??4sin?化为直角坐标为（ ）。

A.x2?(y?2)2?4 B. x2?(y?2)2?4 C. (x?2)2?y2?4 D. (x?2)2?y2?4 2.已知点P的极坐标是（1，?），则过点P且垂直极轴的直线方程是（ ）。 A.??1 B. ??cos? C. ???3.直线y?2x?1的参数方程是（ ）。

2??x?2t?1?x?t?1A.?x?t B. ? C. ? D.

2?y?4t?1?y?2t?1?y?2t?111 D. ?? cos?cos??x?sin?

??y?2sin??11?x?t?表示的曲线是（ ）。 4.方程??t??y?2A.一条直线 B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部分

?x?2?sin2?5.参数方程?（?为参数）化为普通方程是（ ）。

?y??1?cos2?A.2x?y?4?0 B. 2x?y?4?0 C. 2x?y?4?0 x?[2,3] D. 2x?y?4?0

x?[2,3]

6.设点P对应的复数为-3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（ ） A.(32，

3553?) B. (?32，?) C. (3，?) D. (-3，?) 44447.直线l：y?kx?2?0与曲线C：??2cos?相交，则k的取值范围是（ ）。 A.k??33 B. k?? C. k?R D. k?R但k?0 448.在极坐标系中，曲线??4sin(??A.直线???3)关于（ ）。

?3对称 B.直线??5??对称 C.点(2，)中心对称 D.极点中心对称 63

9.若圆的方程为??x??1?2cos??x?2t?1，直线的方程为?，则直线与圆的位置关系是（ ）。

?y?3?2sin??y?6t?1A.过圆心 B.相交而不过圆心 C.相切 D.相离

1?x??t10.参数方程?（t为参数）所表示的曲线是（ ）。 12?y?t?1t?

A B C D 二．填空题（每小题5分，共20分）

11.在同一平面直角坐标系中，直线x?2y?2变成直线2x??y??4的伸缩变换是 。 12.在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线??4cos?于A、B两点，则|AB|= 。

0 x 0 x 0 x 0 x y y y y t?x?2??2（t为参数），则它的斜截式方程为 。 13.设直线参数方程为???y?3?3t?2??x?cos?（?为参数）14.曲线C：的普通方程为 ；如果曲线C与直线x?y?a?0??y??1?sin?有公共点，那么实数a的取值范围为 。 三．解答题（共80分）

15. 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（12分） ⑴?

?x?1?3t?x?5cos?（?为参数）； ⑵?（t为参数）

?y?4sin??y?4t

16. 已知三点A（5，

17. 已知x、y满足(x?1)2?(y?2)2?4，求S?3x?y的最值。（14分）

18. 如图，连结原点O和抛物线y?2x上的动点M，延长OM到点P，使|OM|=|MP|，求P点的轨迹方程，并说明曲线类型。（14分）

M 0 x y P 2?117），B（-8，?），C（3，?），求证ΔABC为正三角形。（12分） 266

19. 如图，过抛物线y2?2px（p＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB。 ⑴设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标； ⑵求弦AB中点M的轨迹方程。（14分）

20. 在气象台A正西方向300千米处有一台风中心，它以每小时40千米的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都要受其影响。问：从现在起，大约多长时间后，气象台A所在地将遭受台风影响？持续多长时间？（14分） （注：7?2.65，2?1.41）

B 0 A M x y

极坐标与参数方程测试题答案

一．选择题（每小题5分，共50分） 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 A 8 B 9 B 10 D 二．填空题（每小题5分，共20分） 11．??x??x；12．23； 13．y?3x?3?23；14．x2?(y?1)2?1；

?y??4y1?2?a?1?2。

三．解答题（共80分）

xy?cos??x?5cos???cos2??sin2? 15．（12分）解：⑴．∵? ∴?5两边平方相加，得

?y2516?y?4sin???sin??4?x22x2y2??1∴曲线是长轴在x轴，中心在原点的椭圆。 即

2516⑵．∵?直线。

16．（12分）证法一：如图，由题意，得 |OA|=5 |OB|=8 |OC|=3

A B yy?x?1?3t∴由t?代入x?1?3t，得 x?1?3?∴4x?3y?4?0 ∴它表示一条

44?y?4t5???BOA??xOB??xOA????

6230 x C

7?2?COA?????

623751?BOC??????

663∴

在

Δ

AOB

中

，

由

余

弦1?7 2定于理得

|AB|?|OB|2?|OA|2?2|OB|?|OA|cos?3?82?52?2?8?5?同理，得|BC|?|OB|2?|OC|2?2|OC|?|OB|cos?3?82?32?2?8?3?1?7 2|AC|?|OA|2?|OC|2?2|OC|?|OA|cos2?1?52?32?2?3?5??7 32即 |AB|=|BC|=|AC| ∴ΔABC为正三角形。

证法二：把A、B、C的极坐标转化成直角坐标，利用两点间的距离公式也可。

17．（14分）解：由(x?1)2?(y?2)2?4可知曲线表示以（1，-2）为圆心，半径等于2的圆。

?，则 令 x?1?2cos? y??2?2sinS?3x?y?3(1?2cos?)?(?2?2sin?)?5?6cos??2sin??5?210sin(???)

其中tan??6??3∴当sin(???)?1时，S有最大值，为Smax?5?210 ?2当sin(???)??1时，S有最小值，为Smin?5?210 ∴S最大值为Smax?5?210；S最小值为Smin?5?210。 18．（14分）解法一：∵抛物线标准方程为x?21y 2y P M 0 x 1?x?t112∴它的参数方程为?2 得 M(t，t)

?221?y?t22?0?x?1?x?tt??设P（x，y），则M是OP的中点∴2 即 （t为参数）消去参数t，得y?22?1y?t0?y??t2?2?2?x2

1）的抛物线。 4xy解法二：设P（x，y），M（x0，y0），则由中点坐标公式，得 x0? y0?

22∴所求P点的轨迹方程为y?x；它是以y轴为对称轴，焦点为（0，

2

∵M点在抛物线上∴M（

xyyx?2?()2 即 y?x2 。 ，）适合方程y?2x2 即

2222y A 0 M x 19．（14分）解：⑴．∵OA的方程为y?kx

∴联立方程??y?kx2p2px?y? 解得 AA22kky?2px?1?1?y??x以?代上式中的k，解方程组?k

k2??y?2px解得 xB?2pk2 yB??2pk∴A（

B 2p2p2，），B（，?2pk）。 2pk2kk11?y?p(?k)k??2⑵．设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，得?x?p(k2?k)

?消去参数k，得y2?px?2p2 ；即为M点轨迹的普通方程。 20．（14分）解：如图，以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向，建立直角坐标系，则现在台风中心B1的坐标为（-300，0）。根据题意，可知，t小时后，B的坐标为（?300?40tcos45?，

B2 B1 0 A x y 40tsin45?），即（?300?202t，202t），因为以台风

中心为圆心，以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响，所以B在圆上或圆内时，气象台将受台风影响。 所以令|AB|?250，即(?300?202t)2?(202t)2?2502 整理得16t?1202t?275?0解得

2152?57152?57?t?，1.99?t?8.61

44故大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时。

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