概率论与数理统计一二章习题详解(1)

习题一

（A） 1. 用三个事件

A,B,C的运算表示下列事件：

（1）（3）

A,B,C中至少有一个发生；A,B,C中只有A发生；

（2）

A,B,C中恰好有两个发生；4）A,B,C中至少有两个发生； A,B,C中至少有一个不发生；A,B,C中不多于一个发生.

（6）

（5）

解：（1）A?B?C （2）ABC (3) ABC?ABC?CAB (4) AB?BC?CA (5) A?B?C (6) AB?BC?CA

[0,2]上任取一数x， 记 2. 在区间B?{x|14?x?3}A?{x|12?x?1},

2，求下列事件的表达式：

（1）AB； （2）AB； (3) A?B. 解：（1）

{x|14?x?12或1?x?32}

（2）?

（3）

{x|0?x?14或12?x?1

3. 已知解：

P(A)?0.4,P(BA)?0.2,P(CAB)?0.1，求

P(A?B?C).

0.2?P(A)?P(AB),

0.1?P(CAB)?P(C?(A?B))?P(C)?P(CA?CB)?P(C)?P(CA)?P(CB)?P(ABC)

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(CA)?P(ABC)

?0.4?0.2?0.1?0.7 4. 已知

P(A)?0.4,P(B)?0.25,P(A?B)?0.25，求

P(B?A)与

P(AB)解：

.

,

P(A?B)?P(A)?P(AB)?0.25P(AB)?0.15,

1

P(B?A)?P(B)?P(AB)?0.25?0.15?0.1, P(AB)?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)

?1?0.4?0.25?0.15?0.5 5.将13个分别写有

A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T的卡片随意地排成一行，求恰好排单词

“MATHEMATICIAN”的概率.

p?解：

2?3?2?2?213!?4813!

6. 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰好有1件次品的概率.

p?解：

C5C45C50312?99392

7. 某学生研究小组共有12名同学，求这12名同学的生日都集中在第二季度（即4月、5月和6月）的概率.

p?解：

3121212:

8. 在100件产品中有5件是次品，每次从中随机地抽取1件，取后不放回，求第三次才取到次品的概率. 解：设

Ai表示第i次取到次品，

i?1,2,3， ?0.046P(A1A2A3)?959451009998

9. 两人相约7点到8点在校门口见面，试求一人要等另一人半小时以上的概率.

2?p?解：

12?112?12?14

10. 两艘轮船在码头的同一泊位停船卸货，且每艘船卸货都需要6小时.假设它们在一昼夜的时间段中随机地到达，求两轮船中至少有一轮船在停靠时必须等待的概率.

p?1?(解：

24?6243272)?1?()?416

211. 任取两个不大于1的正数，求它们的积不大于9，且它们和不大于1的概率.

xy?解：

29 ， x?y?1 ，所以

x?13，

x?23

p?

132??31329xdx?13?29ln2

2

12. 设

P(A)?a,P(B)?b, 证明：

P(A|B)?a?b?1b.

P(AB)?证明：

P(AB)P(B)?P(A)?P(B)?P(A?B)P(B)a?b?1b

?

P(A)?P(B)?1P(B)?13. 有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车和坐汽车的概率分别为

0.3, 0.2,0.1,0.4 .若坐火车来，

迟到的概率是0.25；若坐船来，迟到的概率是0.3；若坐汽车来，迟到的概率是0.1；若坐飞机来，则不会迟到.求他迟到的概率.

解：0.3?0.25?0.2?0.3?0.1?0.1?0.145

14. 设10个考题签中有4个难答，3人参加抽签，甲先抽，乙次之，丙最后.求下列事件的概率： （1）甲抽到难签；

（2）甲未抽到难签而乙抽到难签； （3）甲、乙、丙均抽到难签.

p?解；（1）

410?25

415

130

p? （2）

64109?p? （3）

4321098?15. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“＊”和“?” .由于通信系统受到干扰，当发出信号“＊”时，收报台未必收到信号“＊”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“＊”和“?”；同样，当发出信号“?”时，收报台分别以0.9和0.1收到信号“?”和“＊”.求： （1）收报台收到信号“＊”的概率；

（2）当收到信号“＊”时，发报台确实是发出信号“＊”的概率. 解：（1）0.6?0.8?0.4?0.1?0.52

0.48 （2）0.5216. 设

?1213

A,B相互独立，

P(A?B)?0.6,P(B)?0.4，求

P(A).

解：

P(A?B)?0.6?P(A)?P(B)?P(AB)?0.4?P(A)?P(AB)

3

0.2?P(A)?0.4P(A),

P(A)?13

17. 两两独立的三事件

A,B,C满足ABC??,并且

12.

P(A)?P(B)?P(C)?P(A?B?C)?若

916，求P(A).

29解：16?3P(A)?3P(A) ,

16P(A)?16P(A)?3?014

2

P(A)?

18、证明： （1）若

23(舍）,P(A)?P(A|B)?P(A)，则P(B|A)?P(B).

P(A|B)?P(A|B)，则事件A与B相互独立.

（2）若

P(AB)证明：（1）P(B)?P(A) ,

P(AB)?P(A)P(B)

P(BA)

P(AB)P(A)?P(A)P(B)P(A)P(AB)?P(B)

(2)

P(AB)?P(AB),

P(B)?P(A?B)1?P(B)

P(AB)?P(A)P(B)

19. 甲、乙、丙三人独立地向一架飞机射击.设甲、乙、丙的命中率分别为0.4，0.5，0.7. 又飞机中1弹，2弹，3弹而坠毁的概率分别为0.2，0.6，1. 若三人各向飞机射击一次，求： （1）飞机坠毁的概率；

（2）已知飞机坠毁，求飞机被击中2弹的概率.

0.2(0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7)?0.6(0.4?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.7)?0.4?0.5?0.7?0.2?0.36?0.6?0.41?0.14解：（1）?0.458

0.6?0.41 （2）

0.458?0.54

4

20. 三人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4.求此密码能被译出的概率.

0.25?0.35?0.4?0.25?0.65?0.6?0.75?0.35?0.6?0.75?0.65?0.4?0.25?0.35?0.6?0.25?0.65?0.4解： ?0.75?0.35?0.4

?0.035?0.0975?0.1575?0.195?0.0525?0.065?0.105 ?0.7075

P(A)?p，将试验E独立重复进行三次，若在三次试验中“A21. 在试验E中，事件A发生的概率为

19p至少出现一次的概率为27”，求.

19解：27?1?C3p(1?p)?1?(1?p)0033p?，

13

22. 已知某种灯泡的耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个该型号的灯泡在使用1000小时以后至多有一个坏掉的概率. 解：

0.2?C30.8?0.2?0.08?3?0.8?0.04?0.104312

23. 设有两箱同种零件，在第一箱内装50件，其中有10件是一等品；在第二箱内装有30件，其中有18件是一等品.现从两箱中任取一箱，然后从该箱中不放回地取两次零件，每次1个，求： （1）第一次取出的零件是一等品的概率；

（2）已知第一次取出的零件是一等品，，第二次取出的零件也是一等品的概率.

101解： （1） 502?181302?0.4

5110911817519117[?]?[?]230294549529 (2) 225049?

（B）

1.箱中有?个白球和的是白球的概率.

1449(9?5129)?261?24995684?0.4856

?个黑球，从中不放回地接连取k?1(k?1????)次球，每次1个.求最后取出

(????1)(????2)?(????k)?解：

(???)(????1)?(????k)?????

2. 一栋大楼共有11层，电梯等可能地停在2层至11层楼的每一层，电梯在一楼开始运行时有6位乘客，并且乘客在2层至11层楼的每一层离开电梯的可能性相等，求下列事件的概率： （1）某一层有两位乘客离开；

5

（2）没有两位及以上的乘客在同一层离开； （3）至少有两位乘客在同一层离开.

C(解：（1）

261106)(2910)?C42694610

P10 （2） 10!

1? (3) 3.将线段

P1010!

6(0,a)任意折成3折，求此3折线段能构成三角形的概率.

，

解：

???(x,y)0?x?a,0?y?a,0?x?y?a??aaa?A??(x,y)0?x?,0?y?,?x?y?a?222??，

1aa1p?222?124a2

4. 设平面区域D由四点

(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)围成的正方形，现向D内随机投10个点，求这10个y?x16，

2点中至少有2个落在由曲线

12和直线

y?x所围成的区域

D1的概率.

p?解：

?(x?x)dx?010510159011?C10()()?C10()()6666

?1?()6?1?

51010595?15?()?1?10666?0.52

929296875604661765. 设有来自三个地区的10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份、5份. 随机地取一个地区的报名表，从中先后抽取两份. （1）求先抽到的一份是女生表的概率；

（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生表的概率.

13解：（ 1） 310?17315?15325?2990

6

1373109 （2）

?17831514291?90?15202032524?30?20616130

6. (Banach问题)某数学家有两盒火柴，每盒装有N根，每次使用时，他在任一盒中取一根，问他发现一空盒，而另一盒还有k根火柴的概率是多少.

1N12N?k?N112N?kNNp?2C2N?k()(1?)?C2N?k()2222解：

习题二

（ A ）

1．同时抛掷3枚硬币，以X表示出现正面的枚数，求X的分布律。

P{X?0}?解：

18,

P{X?1}?38,

P{X?2}?38,

P{X?3}?18

2. 一口袋中有6个球，依次标有数字

?1,2,2,2,3,3，从口袋中任取一球，设随机变量X为取到的球

上标有的数字，求X的分布律以及分布函数.

P{X??1}?解：

16

P{X?2}?

36 26

P{X?3}?

?0,x??1?1?,?1?x?2?6F(x)???4,2?x?3?6?1,3?x?

3.已知随机变量X的分布函数为

7

?1,x?0?2F(x)???x,0?x??42 ??1,2?x，

求概率

P{1?X?2}

P{1?X?2}?F(2)?F(1)?1?1?3解：

44

?0,x?0;F(x)???Asinx,0?x??2;4.设随机变量X?的分布函数为

?1,x??2. 求：（1）A的值；

（2）求

P{|X|??6}.

F(x)x??2F(?解：由于

在点

处右连续，所以

2)?F(?2?0),即

Asin??1

2，

A?1。

P{X??6}?P{??6?X?????6}?F(?6)?F(6)?P{X?6}?12?0?0?1 2

5. 设离散型随机变量X的分布律为

i (1)

P{X?i}?a(23),1?1,2,3;

P{X?i}?a(23)i(2)

,i?1,2,?

分别求出上述各式中的a.

1?a2a48解：（1）

3?9?a27a?27，

38

8

21?a(2?(2)2?(2)3??)?3333a?2a1?2a?1 (2)

3，

2

6.已知连续型随机变量X的分布函数为

?0,x?0;F(x)???kx?b,0?x???

?1,x??.，

求常数k和b。

解：0?b，1?k??bk?1，

?。

7.已知连续型随机变量X的概率密度为

f(x)?k??) 1?x2(???x?，

求常数k和概率

P{?1?X?1}. 1???k?解：

???1?x2dx?k2k?2 ，?

P{?1?X?1}?111

?1?1?1?x2dx?2

8.已知连续型随机变量X的概率密度为

?x,0?x?1f(x)???2?x,1?x?2? ?0,其他 ，

求X的分布函数。

?0,x?0?2?x,0?x?F(x)??x??f(t)dt???21?x2???2x?1,1?x?2?2 解：

?1,2?x

9.连续不断地掷一枚均匀的硬币，问至少掷多少次才能使正面至少出现一次的概率不少于0.99.

9

1n1n1n1?()?0.99()?0.01lg()?lg0.0122解：，2，

n?

lg0.01lg12?7

10 .设每分钟通过某交叉路口的汽车流量X服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率. 解：

P{X?0}?P{X?1}, e????e??，??1。 P{X?2}?1?P{X?0}?P{X?1}?1?2e?1

?0.2642

11.设每次射击命中目标的概率为0.001，共射击5000次，若X表示命中目标的次数。 （1）求随机变量X的分布律； （2）计算至少有两次命中目标的概率. 解：（1）

P{X?k}?Ckk5000?k5000(0.001)(0.999)

（2）

P{X?2}?1?P{X?0}?P{X?1},??np?5

P{X?2}?1?P{X?0}?P{X?1}?1?0.0067?0.033?0.9596?12.设随机变量X的密度函数为

f(x)?Ae|x|,???x???.

（1）求常数A； （2）求X的分布函数。

（3）求

P{0?X?1}.

????f(x)dx?A(?0exdx?????x解：（1）

1????0edx)?2AA?1，

2

?xetex?F(x)??xt)dt?????2dt?2,x?0??f(??0et?t?x （2）

?????2dt??xe02dt?1?e2,x?0

?xP{0?X?1}?1e （3）

?02dx?12?12e

10

?x?x?e2c,f(x)??c?0,?13.证明：函数

证明：由于在

2x?0;x?0.（c为正常数）是某个随机变量X的密度函数.

(??,??)内，f(x)?0，且

??0

?????f(x)dx??xce?x22cdx??e?x22c??0?1?e???1，

所以，

f(x)是某随机变量的概率密度。

?20000,?3(x?100)f(x)???0,?14.设随机变量X的概率密度为

（1）X的分布函数；

x?0其他，求：

（2）求

P{X?200}.

F(x)?解：（1）

?x??0,x?0??f(t)dt??100001?,x?02?(x?100)? ,

19.

P{X?200}?1?F(200)? （2）

?ke?3x,f(x)???0,15.某种显像管的寿命X（单位：千小时）的概率密度为

（1）求常数k的值；

（2）求寿命小于1千小时的概率.

x?0,x?0. ，

1?解：（1）

?????f(x)dx?1???0ke?3xdx?k3,k?3

（2）16.设

p{x?1}??03e?3xdx?1?e?3。

X?N(0,1)，

，

（1）求

P{X?1.96},P{X??1.96}P{X?a}?0.7019P{|X|?1.96}，

P{?1?X?2}.

（2）已知，

P{|X|?b}?0.9242P{X?c}?0.2981,

，求常数

a,b,c.

解： （1）

P{X?1.96}??(1.96)?0.975

11

P{X??1.96}?1??(1.96)?0.025

P{|X|?1.96}??(1.96)??(?1.96)?0.975?0.025?0.95

P{?1?X?2}??(2)??(?1)?0.9772?1?0.8413?0.8185

（2）查表知a?0.53，c??0.53，

P{|X|?b}??(b)??(?b)?2?(b)?1?0.9242

?(b)?

b?1.78 17.设（1）

1.92422?0.9621,

X?N(8,0.5)2，求：

P{7.5?X?10}； P{|X?8|?1}； P{|X?9|?0.5}.

10?80.57.5?80.5（2）（3）

P{7.5?X?10}??(解： （1）

)??()?0.8413

P{|X?8|?1}??( （2）

10.5)??(?10.5)?0.9544

（3）

P{|X?9|?0.5}??(3)??(1)?0.1574

X?1,X?1.，求随机变量Y的分布

?0,Y???1,18. 设随机变量X服从参数为??1的泊松分布，记随机变量

律. 解：

P{Y?0}?P{X?0}?P{X?0}?P{X?1}?2?0.3679?0.7358P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?0.7358?0.2642

.

19. 设随机变量X的概率密度为

?2x,0?x?1f(x)???0,其他，

对X独立重复观察三次，求至少有两次观察值不大于0.5的概率.

12

解：用Y表示观察值不大于0.5的次数，

p?0.25，则Y~B(3,0.25)，

P{Y?2}?P{Y?2}?P{Y?3}

23?3?(0.25)?0.75?(0.25)?0.1563

N(220,25) ,在电源电压处于X?200V,

20. 已知电源电压服X服从正态分布

200V?X?240V,X?240V 三种情况下，某电子元件损坏的概率分别为0.1,0.01,0.2。

求该电子元件损坏的概率?；

2?已知该电子元件损坏，求电压在200V~240V的概率

解：

P{X?200}??(?0.8)?0.2119

P{200?X?240}??(0.8)??(?0.8)?0.5762

P{X?240}?1??(0.8)?0.2119

(1) ??0.1?0.2119?0.01?0.5762?0.2?0.2119?0.0693

?? (2)

0.01?0.57620.0693?0.083

21. 假设自动生产线加工的某种零件的内径服从正态分布

N(11,1)，内径小于10或大于12 为不合格品，

其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品则亏损，若销售利润Y与销售零件的内径X有下列关系

??1,?Y??20,??5,?X?10,10?X?12,X?12.

求Y的分布律.

解：

P{Y??1}?P{X?10}??(?1)?0.1587

P{Y?20}?P{10?X?12}??(1)??(?1)?0.6826P{Y??5}?P{X?12}?1??(1)?0.1587

22. 已知随机变量X的分布律为

13

??3?2?101234???0.050.100.250.150.050.200.150.05??，

求Y?X2的分布律。

解：

P{Y?0}?0.15 P{Y?1}?0.3

P{Y?4}?0.3 P{Y?9}?0.2

P{Y?16}?0.05

[???设随机变量X服从

2,23. 2]上的均匀分布，求Y?sinX的概率密度.

???fx)??1??,?2?x?X(2解： ??0,其他

FY(y)=P{Y?y}?P{sinX?y}?P{X?siny}

??0,y??1???1,?1?x?1??1?y2? ?1,x?1 ，

?1,?1?f???1?y2x?1Y(y)?? ?0,其他

24. 设随机变量X服从参数为??2的指数分布，令Y?1?e?2X，求随机变量Y的密度函数.

f)???2e?x,x?0X(x解：?0,x?0，

FY(y)=P{Y?y}?P{1?e?2X?y}。

由于0?1?e?2X?1，所以当y?0时，FY(y)=0；当y?1时，FY(y)=1；

当0?y?1时，

14

1F)=P{Y?y}?P{1?e?2X?y}?P{X??

Y(y2ln(1?y)}

???12ln(1?y) 02e?2xdx，

于是

fy)?F?1,0?yY(Y?(y)??1?

?0,其他 X?N(?,?225. 设随机变量

)，求随机变量Y?eX的密度函数.

2f1?(x??)X(x)?e2?2解： 2??，

F(y)=P{Y?y}?P{eXY?y}

当

y?0时，FY(y)=0；当y?0时，

FY(y)=P{eX?y}?P{X?lny}??lny??fX(x)dx，

于是，

?21?(lny??)f?Y(y)?FY?(y)??2??ye2?2,y?0?

?0,其他

（ B ）

1. 某种电子元件的寿命X（单位：小时）的概率密度为

?1?xf(x)???2000e2000,x?0? ?0,x?0 ，

（1）求该电子元件能正常使用1000小时以上的概率；

（2）已知该电子元件已经使用了1000小时，求它还能只用1000小时的概率。?1000}?????12解：（1）

P{X1000f(x)dx?e；

P{X?2000X?1000}?P{X?2000}?12 （2）P{X?1000}?e 。

15

2. 设连续型随机变量X的密度函数

f(x)是偶函数，证明：

（1）?X和X有相同的分布；

F(?a)?P{X??a}?1（2）

2??a0f(x)dx.

证明：（1）令Y??X，则Y的分布函数

FY(y)?P{Y?y}?P{X??y}?1?P{X??y}?y ?1????fX(x)dx，

从而Y的概率密度为

fY(y)??(??y??fX(x)dx)??fX(?y)?fX(y)，

所以Y与X具有相同的概率密度。

（2）

F(?a)?P{X??a}???a??fX(x)dx ，令x??t，则

}???aa

F(?a)?P{X??a??fX(x)dx????fX(?t)dt

???a

?afX(t)dt?1????fX(t)dt??a?afX(t)dt

?aa ?1????fX(t)dt?2?0fX(t)dt

?1?F(?a)?2?a0fX(x)dx，

所以

F(?a)?1?)dx

2?a0f(x。

3.设随机变量X的概率密度为

f(x)?12 ?(1?x) ，???x??? ，

求

随机变量Y?X2的概率密度。 随机变量Z?arctanX的概率密度。

解： （1） FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}

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F(y)?0当y?0时， Y ，

y?0时，当

FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}?P{?y?X??y}??y?yfX(x)dx，进而

fY(y)?(FY(y))??fX(

y)12y?fX(?y)?12y

? 综上所述，

fX(y)y?1?y(1?y)。

1?,y?0?fY(y)???y(1?y)?0,y?0? ；

z?（2）当

?2时，

FZ(z)?P{Z?z}?P{arctanX?z}?P{X?tanz}?FX(z)，

于是Z的概率密度为

fZ(z)?fX(tanz)secz?

2secz2?(1?tanz)2?1?；

z??当

?2时，FZ(z)?P{Z?z}?P{arctanX?z}?0；

z?当于是

?2时，FZ(z)?P{Z?z}?P{arctanX?z}?1，

??1?,y?fZ(z)???2?0,其他? 。

4. 设一大型设备在任何长度为t的时间间隔内发生故障的次数泊松分布。

(1) 求相继两次故障之间的时间间隔T的概率密度；

N(t)服从参数为?t（??0为常数）的

（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下再无故障工作8小时的概率。

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kP{N(t)?k}?(?t)e??t解：

k! ，

k?0,1,2,?。

（1）T的分布函数为

FT(t)?P{T?t}，当t?0时，FT(t)?0；当t?0时，

F{N(t)?0}?1?e??t

T(t)?P{T?t}?1?P{T?t}?1?P，

于是T的概率密度为

ft)????e??t,t?0T( ?0,t?0 。

P{T?16T?8}?P{T?16}1?P{T?16}e?16? （2）

P{T?8}?1?P{T?8}?e?8??e?8?。

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