预科学院一年制数学总复习

高 等 数 学

第一章 极限与连续

一、选择题

1、列极限存在的有( )?

1 1x(x?1)x2?1xlimA. 2 B. lim e C. lim D. lim x?0xx??x???x?02?1xx

2、下列极限正确的有( ).

1 11x 不存在? 这是因为 x 、 xA. lim e ?? 。 lime?0lime ?x?0x?0?1x?0?1B. 当x?0时? ???，lim?ex?0。

x?0x?

1C. 当x?0时? ???，lim?ex???。

x?0x?

11D. 当x???时? ?0，limex?1

x??x13、f(x)在点x?x0处有定义? 是当x?x0时? f(x)有极限的( )?

A. 必要条件； B. 充分条件； C. 充分必要条件； D. 无关的条件。

sin(x2?1)??4、limx?1x?1?

1 2A. 1； B. 0； C. 2； D.

5、 当|x|?1时? y?1?x2. 下列结论错误的是( )?

A.是连续函数? B.有界函数?

C.有最大值与最小值? D.有最大值无最小值? 6、f(x)在点x0处有定义? 是f(x)在x0处连续的( )? A. 必要条件? B.充分条件? C.充分必要条件? D.关的条件?

7、当x?0时，下列函数那一个是其它三个的高阶无穷小( ) A. x2 B. 1-cos x C. x-tan x D. ln(1+x)

a0xm?a1xm?1?........?ama0?8、设a0,b0?0,则当（ ）时有limx??bxn?bxn?1?.........?bnb001A.m?n； B.m?n； C.m?n ； D.m.

,n任意取.

?x?1,?1?x?09、设?，则limf(x)?( )

x?0?x,0?x?1A.-1 ； B.1 ； C.0 ； D.不存在.

x?（）10、lim

x?0xA.1； B.-1； C.0； D.不存在.

11、下列变量在给定变化过程中是无穷小量的有（ ）

sinx(x?0) A 2?x?1(x?0) B xC

x21(3?sin)(x?0) (x???) D

x?1xx3?2x?1x212、极限lime（ ）

x?01xA 等于?? B等于?? C 0 D 不存在

二、 求极限

2n2?n?11?x?2limlim1、 ； 2、 ； 2n??(1?n)x?3x?3

21

x； 4、 x3、 ；

x?0x??

lim(1?x)x?0limx(e?1)5、当

12xsinn

x?1； x6、 ； 7、 limlimx?1x?1 x???2x2?1

4 1?u3x2lim8、lim ； 9、 ；

2x?02?4?x u??1?u2 (x?1)(3?cosx)2x?1?3； 11、lim10、 ； lim3x??x?xx?4 x?2?2 x?sinxx?1x?112、 lim ； 13、lim ( ) ；

x?0x?sinxx??x?1

xxxlimcoscos........cosn； 时， n??242x2?2x?k?4，求k的值。 三、若limx?3x?3 ?|x| |x|?1?四、函数 在其定义域内是否连续？ f(x)??x?|x| 1?|x|?3 ? 1 lg(100?x)?2?五、求 lim 。

x?0?ax?arcsinx? ?? ?sinax,x?1六、设有函数 试确定a的值使f(x) f(x)?? ?a(x?1)?1,x?1在x=1连续. 1xarctan

x?1的连续性，并判断其间断点的类型。七、讨论函数 f(x)??

sinx 2

第二章 导数与微分

一、选择题

1、函数f(x)在点x0的f’(x)导数定义为（ ）

f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)limA ； B ； x?x0?x?x

f(x)?f(x0)f(x)?f(x0)limC ； D limx?x0x?x0?x x?x0

2、若函数y = f(x)在点x0处的导数 f ’(x0) =0，则曲线y = f(x) 在点(x0, f(x0)) 处的法线（ ）

A与x轴相平行 B 与x轴垂直；

C与y轴相垂直 D与x轴即不平行也不垂直 3、若函数f(x)在点x0不连续，则f(x)在点x0 ( ) A 必不可导 B 必定可导 C 不一定可导 D 必无定义 4、如果f(x) =( )，那么f ’(x) =0. A. sec2x?tan2x； arcsin2x?arccosx； B. C. arctanx?cotxsin2x?cos2(1?x)； D.

arcax?e?,x?0f(x)??2?b(1?x),x?0?

5、如果 处处可导，那末（ ）

A a=b=1； B a=-2,b=-1； C a=1,b=0； D a=0,b=1.

6、已知函数f(x) 具有任意阶导数，且f'(x)?[f(x)]2则当n为大于2的正整数时， f(x) 的n阶导数f(n)(x)是（ ）

n[f(x)]； A n![f(x)]； B

[f(x)]2nn![f(x)]2nC ; D . 7、若函数x=x(t),y=y(t)对t可导且,又 , x?(t)?0x?x(t)的反函数存在且

dy可导，则 =（ ）

dx

y?(t)y?(t)y?(t)y(t)?A ； B ； C ； D x?(t)x?(t)x?(t)x(t)

8、若函数f(x)为可微函数，则dy（ ）

?x无关； A 与

?x的线性函数； B为

x的高阶无穷小； C当 ?x?0时为??x为等价无穷小. D与

9、设f(x)可导且下列各极限均存在? 则( )不成立? f(a?2h)?f(a)f(x)?f(0)lim?f?(a)?f?(0)； B. A. limh?0x?0hx

f(x0??x)?f(x0??x)f(x0)?f(x0??x)lim? f ? ( x 0 ) C. lim ? f ? ( x 0 ) D. ? x ?0?x?02?x?x

f(x)?f(a)10、若 lim ? A ，A为常数，则有（ ）

x?ax?a

A f(x)在点x? a处连续； B f(x)在点x? a处可导；

n?1n?1C limf(x)存在； D f(x)?f (a)?A(x?a)?o(x?a)?

x?a11、设函数f(x)在点x0及其邻近有定义? 且有 f(x0??x)?f(x0)?a?x?b(?x) 2? a? b为常数? 则有( )?

A f(x)在点x?x0 处连续? B f(x)在点x?x0 处可导且f ?(x0)?a? C f(x)在点x?x0 处可微且df(x0)?adx? D f(x0??x)?f(x0)?a?x (?x充分小时)?

112、下列函数中( )的导数等于sin2x

21111A sin2x Bcos2x C ?cos2x D 1?cos2x 2244二、求下列函数的导数

1、y ?sinxlnx；

y?(1?x2)secx； 3、 2、 y?ln[cos(10?3x2)]；

y224、设y为x的函数是由方程 确定的； lnx?y?arctanx3 dyx?y2?y，u5、设 ?(x2?x)2，求 . du xn1?xy?lntan6、 y?xln x； 7、 ln ； 8、 ； y ?21?x

2x ?x 2 ?9、 y ? ln( a )； 10、y?x?exln y；

x23?x11、 y ? ? 3 2 ；

1?x(3?x)

3??x?acos?12、参数方程 ? 3 所确定的函数y = f(x)。

??y?asin?

三、求下列函数的高阶导数

(n)1、设 y ? x ln x , 求 f ( 1 ).

x(n)

2、设y的n?2阶导数y(n?2)?，求y的n阶导数y?

lnx3、设y?f (x2?b)? 求y??? 四、求下列各函数的微分

1、设y?ln(x?e),求dy. 2、设y?e1?3xcosx,求dy.

?ln(1?x) ?1?x?0五、设f(x)??，讨论f(x)在x?0处的连续性与可导性。

?1?x?1?x 0?x?1x22六、求在抛物线y?x2上点x?3处的切线方程和法线方程?

第三章 导数与微分的应用

一、选择题

1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（ ） A 它们都给出了ξ点的求法 .

B它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法.

C它们都先肯定了ξ点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的值 .

D它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法 . 2、若f(x)在(a,b)可导且f(a)= f(b),则（ ） A 至少存在一点??(a,b)，使f?(?)?0； B 一定不存在点??(a,b)，使f?(?)?0； C 恰存在一点??(a,b)，使f?(?)?0； D 对任意的??(a,b)，不一定能使

f?(?)?0 .

3、已知f(x)在[a,b]可导，且方程f(x)=0在(a,b)有两个不同的根?与?，那么在

?(x)?0。 (a,b)内（ ）f

A 必有 B可能有 C没有 D 无法确定

4、如果f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，c为介于a,b之间的任一点，那么在(a,b)

（ ）找到两点x2,x1，使f(x2)?f(x1)?(x2?x1)f?(c) 成立. A 必能 B 可能 C 不能 D 无法确定能

5、若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且x?(a,b) 时，f?(x)?0，又f(a)?0, 则 （ ）.

A f(x)在[a,b]上单调增加，且f(b)?0； B f(x)在[a,b]上单调增加，且

f(b)?0；

C f(x)在[a,b]上单调减少，且f(b)?0；

D f(x)在[a,b]上单调增加，但f(b)的正负号无法确定

.

6、f?(x0)?0 是可导函数f(x)在x0点处有极值的（ ）.

A 充分条件 B必要条件 C 充要条件 D 既非必要又非充分条件. 7、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则（ ）. A 极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值； B极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；

C极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值； D极大值必大于极小值.

8、若在(a,b)内，函数f(x)的一阶导数f?(x)?0,二阶导数f??(x)?0,则函数 f(x)在此区间内( ).

A 单调减少，曲线是凹的； B 单调减少，曲线是凸的； C单调增加，曲线是凹的； D 单调增加，曲线是凸的.

limf(x)?limF(x)?0，且在点a的某 邻域中（点a可除外）9、设 ，f(x) x?ax?a f(x)f'(x)limlim'F(x)?0则 及F(x)都存在，且 ,存在是 存在的（ ）. x?aF(x)x?aF(x)

A 充分条件； B必要条件； C 充分必要条件； D 既非充分也非必要条件

ex?e?x?1210、lim?（ x?01?cosx ）.

11； C 1； D .

2211、下列函数在给定区间上满足罗尔定理的有( )?

A 0； B ?A y?x2?5x?6? [2, 3]； B y?13(x?1)2 [0, 2]；

?x?1 x?5C y?xe?x? [0, 1]； D y?? ，[0, 5]?

?1 x?512、下列求极限问题不能用罗彼塔法则的有( )?

1x2sinx B limx(??arctanx) C limx?sinx D lim(1?k)x A limx???x??x?sinxx??x?0sinx2x13、函数y?x3?12x?1在定义域内( )?

A 单调增加? B单调减少? C图形上凹? D 图形下凹? 14、函数y?f(x)在点x?x0处取得极大值? 则必有( )?

A f ?(x0)?0? B f ??(x0)?0? C f ?(x0)?0且f ??(x0)?0? D f ?(x0)?0或不存在? 15、条件f ??(x0)?0是f(x)的图形在点x?x0处有拐点的( )条件?

A 必要? B 充分? C 充分必要? D A、B、C都不是? 16、曲线y?2x?1( )?

(x?1)2A 有水平渐近线? B 有铅垂渐近线? C 有斜渐近线? D没有渐近线?

二、计算题

1、lim?x?ax?a?x?ax2?a21?tanxx3)； （a?0）； 2、lim(x?01?sinx11sinx3、lim[x?x2ln(1?)] ； 4、lim；

x??x?01?cosxx1ln(x?)2； 6、lim(1?sinx)x； 5、lim?x?0?tgxx??21x(ln)。 7、limx?0?x三、f(x)?ex?1在区间[?1, 1]上上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足就求出定理中的数值?? 。

x?ln(1?x)?x. 四、若x?0,试证1?x五、求下列函数 y?x 4?2x2?2 的增减区间。 六、求下列函数y?(x?1)(x?5)2的极值。

七、利用二阶导数? 判断函数y?(x?3)2(x?2)的极值。 八、求函数y?x 4?2x2?5在[?2, 2]上的最大值与最小值。

九、欲做一个容积为300立方米的无盖圆柱形蓄水池? 已知池底单位造价为周围单位造价的两倍? 问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低？ 十、一个半径为R的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？

2x十一、确定函数y?的凹向及拐点 21?x十二、设f(x)?ax3?bx2?cx?d有拐点（1，2），并在该点有水平切线，f(x)交，求f(x). x轴于点（3，0）十三、作函数y?2x?1的图形.

(x?1)2232十四、绘出函数f(x)?ln(x2?1)的图形.

第四章 不定积分

一、选择题

1、设1(x),F2(x)是区间I内连续函数f(x)的两个不同的原函数，且f(x)?0,则在区间I内必有（ ）

A F1(x)?F2(x)?C； B F1(x)?F2(x)?C； C F1(x)?CF2(x)； D F1(x)?F2(x)?C. 2、若F'(x)?f(x),则?dF(x)=（ ）

A f(x)； B F(x)； C f(x)?C； D F(x)?C.

3、f(x)在某区间内具备了条件（ ）就可保证它的原函数一定存在

A 有极限存在； B 连续； C 有界； D 有有限个间断点 4、下列结论正确的是（ ） A 初等函数必存在原函数； B 每个不定积分都可以表示为初等函数； C 初等函数的原函数必定是初等函数；D A,B,C都不对 . 5、函数f(x)?(x?|x|)2的一个原函数F(x)?(

)

42242A x3; B xx2; C x(x2?x); D x2(x?x) .

33336、已知一个函数的导数为y??2x，且x?1时y?2,这个函数是（ ）

x2?C; D y?x?1 A y?x?C; B y?x?1; C y?2227、下列积分能用初等函数表出的是（ ） A ?e?xdx； B ?2dx1?x3； C ?1lnxdx； D?dx. lnxx8、?f(x)dx?F(x)?C,且x?at?b,则?f(t)dt?（ ）

1A F(x)?C； B F(x)?C; C F(at?b)?C; D F(at?b)?C.

alnx9、?2dx?（ ）

x11111111A lnx??C; B lnx??C; Clnx??C； D ?lnx??C.

xxxxxxxx10、?A

dx?（ ）

(4x?1)101111?C?C； ； B

9(4x?1)936(4x?1)91111?C??C. ； D 91136(4x?1)36(4x?1)C ?11、函数2(e2x?e?2x)的原函数有( )?

A (ex?e?x)2； B ex?e?x； C ex?e?x； D 4(e2x?e?2x)?

12、

?sin2xdx?（ ）

11A cos2x?c B sin2x?c? C ?cos2x?c? D ?cos2x?c 2213、若

?f(x)dx?F(x)?c? 则?e?xf(e?x)dx?（ ）

F(e?x)?c A F(e)?c ? B ?F(e)?c ? C F(e)?c ? D

xx

?x

?x

二、计算题

1、?3、?5、?7、?11dxcosdx; 2、?x2?2x?5; x2xln(x?1?x2)?51?x2x2dx; 4、?dx; 22(1?x)x?1x2dx1?1?x2; 6、?x?12dx;

dx2xarccosxdx; ; 8、x2x?e(1?e)x11dxarccosx9、?8; 10、dx. 4?23x?3x?2(1?x)11、

???xxxdx； 12、?dx； 22x(1?x)13、15、17、

??dxdx； 14、； 22?4x?4x?54?9xdt； 16、?x?42x?3dx； t?te?edxdx(a2?x)322； 18、

?9x?42；

19、

ln(x2?1)dx； 20、?x3(lnx)2dx；

21、

3x?2xdx； 22、?x(x?1)3?(x2?1)(x2?4)dx；

sin3x1?sinxdx.； 24、?dx.； 23、?sinx?1?cosx?2?cosxsinxdx?sin3x?cos3x.

三、已知函数y? f(x)的导数等于x?2? 且x?2时y?5? 求这个函数。

25、

第五章 定积分

一、选择题

nn??n1、lim?2?2???? ( ) 222?n??n?1n?2n?n?? A 0； B 2、

??1； C ； D . 242dx2ln(t?1)dt=（ ） ?0dxA ln(x2?1)； B ln(t2?1)； C 2xln(x2?1)； D 2tln(t2?1). 3、limx?0?x0sint2dtx3 =( )

1A 0； B 1； C ； D ? .

34.、定积分?exdx的值是（

01 ）

11A e； B ； C e2； D 2.

25、下列积分中，使用变换正确的是（ ）

?dx,令 x?arctgt； A ?01?sin3xB ?x31?x2dx，令 x?sint；

03xln(1?x2)dx，令 1?x2?u； C ?2?11?x2D ?1?xdx，令x?t .

?112136、下列积分中，值为零的是（ ）

A ?xdx； B?xdx； C?dx； D?x2sinxdx .

212311?1?1?1?17、已知f(0)?1,f(2)?3,f'(2)?5, 则?xf''(x)dx?（ ）

02A 12； B 8； C 7； D 6.

?1,x?0?2?1?x8、设f(x)??，则定积分?f(x?1)dx?（ ）

0?1,x?0??1?ex1A 1?ln(1?)； B 2?ln(1?e2)?ln3；

e11C 1?ln(1?; D 1?ln(1?).

ee9、下列积分可直接使用牛顿??莱布尼兹公式的有( )?

A ?50x3dx B 2x?1?1x1?x2?1dx C

?432x(x?5)2?0dx D

?e1e1dx xlnx10、下列积分正确的有( )?

111A ?2dx?(?)?1??2 B ?1xx1?20??sinxdx?2?2?2sinxdx?2

1?C

??sinxdx?0 D

2?2?1?11?xdx?2?1?x2dx?02?2

11、下列等式中正确的有( )? dbdf(x)dx?f(x) A ?f(x)dx?f(x) B ?adxdxdxf(x)dx?f(x) D ?f?(x)dx?f(x) C

dx?a12、初等函数y?f(x)在其定义域[a? b]上一定( )?

A连续? B可导? C可微? D可积

13、设f(x)在区间[a? b]上连续? 则函数F(x)??f(t)dt在区间[a? b]上一定( )?

axA 连续? B可导? C可积? D有界?

x1114、设?f(t)dt?f(x)?? 且f(0)?1? 则 f(x)?( )?

022A e B

x21x1e C e2x D e2x 22115、曲线y?lnx与直线x?，x?e及y?0所围成的区域的面积S?（ ）；

e1111A 2(1?)； B e?； C e?； D ?1 .

eeee16、曲线x?acos3?,y?asin3?所围图形的面积S?（ ）； A

13321?a； B ?a2； C a2； D ?a2. 321682二、计算题

1、利用定积分定义计算积分? ?(2x?3)dx

042、

?2?0|sinx|dx； 3、?50ln2x3dx； 4、?ex?1dx； 20x?15、

?10(1?x)dx； 6、?2exsinxdx； 7、?1|lnx|dx；

02?32?ee8、?41adxdx； 9、?；

220x(1?x)x?a?x10、?arcsin035xdx； 11、?x2?2x?3dx。

?21?x11dx?三、证明不等式: ??2?.

201?xn6四、求下列函数的导数： 1、F(x)??2xx3dt1?t4t2; 2、F(x)??3etdt

xx2sinttx23、由方程?edt??0y0dt?1，确定y为x的函数，求

xdy. dx五、求下列极限

?1、limx?0x0cos2tdtx?； 2、limx?00arctantdtx2。

?0六、不计算积分? 比较下列积分值的大小：?xdx，?2sinxdx。 七、利用定积分的性质估计下列积分值?(2x3?x4)dx。

12?20八、求函数F(x)??t(t?4)dt在[?1? 5]上的最大值与最小值。

0x九、证明?f(x)dx??[f(x)?f(?x)]dx。

?a0aa十、求由曲线y?x2、4y?x2及直线y?1所围成的图形的面积。 十一、求由曲线y?x2与y?2?x2所围成的图形的面积?

十二、求下列平面图形分别绕x轴、y轴旋转产生的立体的体积 (1)曲线y?x与直线x?1、x?4、y?0所围成的图形?

??(2)在区间[0, ]上曲线y?sin x与直线x?、y?0

22

初 等 数 学

行列式与线性方程组

一、选择题

a1b11、4阶行列式a2b2b=（ ）。

3a3b4a4A a1a2a3a4?b1b2b3b4； B a1a2a3a4?b1b2b3b4； C (a1a2?b1b2)(a3a4?b3b4)； D (a2a3?b2b3)(a1a4?b1b4)。

?2、设线性方程组?bx?ay??2ab??2cy?3bz?bc则（ ）。

??cx?az?0A 当a,b,c取任意实数时，方程组均有解； B 当a=0时，方程组无解； C 当b=0时，方程组无解； D 当c=0时，方程组无解。

3、行列式k?122k?1?0的充分必要条件是（ ）

A k??1 B k?3 C k??1且k?3 Dk??1或k?3

k214、行列式2k0?0的充分条件是（ ）。 1?11A k=2 B k= - 2 C k=0 D k=3

a11a12a132a112a122a135、如果行列式D?a21a22a23?M?0,而D1?2a312a322a33,则D1=（ a31a32a332a212a222a23A 2M B -2M C 8M D -8M

a11a12a134a112a11?3a12a136、若行列式D?a21a22a23?1，而D1?4a212a12?3a22a23，则D1=（a31a32a334a312a31?3a32a33 ） ） A 8 B -12 C 24 D -24 7、下列n ( n >2)阶行列式的值必为零的有（ ） A 行列式主对角线上的元素全为零； B 上三角行列式主对角线上有一个元素为零； C 行列式零元素的个数多余n个； D 行列式非零元素的个数小于n个。 8、若

a11a12?a11x1?a12x2?b1?0的解。 ?1，则下列（ ）是方程组?a21a22?a21x1?a22x2?b2?0A xb1a121a12a11b11?b,xb12?a11； B x1??b2a22a21b2b2a,x2?22a

21b2C x?a11?b1?b11??b1?a12?b D x12a111???a2?a,x2?22?a21?b 2?b2?a,x2???22?a21?3x?ky9、若??z?0?4y?z?0有非零解，则（ ）

??kx?5y?z?0A k=0 B k=1 C k= -1 D k= -3

?kx?z?010、当（ ）时，齐次线性方程组??2x?ky?z?0仅有零解。

??kx?2y?z?0A k=0 B k= -1 C k=2 D k= -2

二、利用克莱姆法则解下列方程组。

?b1?b2

三、 k为何值时,下列方程组有唯一的解,并且求出此时的解。

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