同步融合

3.3 几种常用的多传感器数据融合方法

3.3.1 引 言

数据融合的关键问题是模型的建立和融合算法的设计。常见多传感器数据融合的主要结构包括集中式和分布式两种。集中式结构表示的是原始观测数据的融合，它将各个传感器的数据传递到融合中心，在融合中心执行数据校准、数据关联、航迹/点迹融合、预测和跟踪。它在假设数据关联和融合被正确执行的条件下是最准确的融合方案，其缺点在于该方法要求系统必须具备很大的存贮和运算空间，对中心处理器和通信线路的要求也非常高，并且判断哪些观测来源于同一个目标即数据关联是非常困难的。分布式结构首先在局部传感器上对观测信息进行局部处理，而后再将局部处理结果传送到数据融合中心，在融合中心形成最终的全局估计。分布式结构不仅具有局部跟踪的能力，而且系统开销适当且稳定性好，因此该结构在工程中被广泛采用[1-3]。众所周知，相对于集中式融合估计来说，分布式估计是具有更加有效的数据处理方法[5-9]。分布式估计可以将大系统分割成小系统，从而改变全局最佳估计的计算处理结构，有利于计算机实时并行处理。由多个局部处理器节点分担原中心处理器的很多计算负荷以及数据传输量的大大降低，使大系统的实现成为可能，同时也增强了系统的可靠性。分布式估计问题与分布式系统的结构密切相关，主要是研究如何把全局(融合)估计分解为若干个局部估计，以及由局部估计怎样组合成最佳全局估计的问题。分布式系统结构由局部传感器节点通讯方式和中心节点组成，对于给定通讯方式，中心节点希望能在所有传感器测量数据的基础上获得状态的最佳估计。

分布式融合的结构包括以下三种形式[1-2]：

1) 无反馈层次结构：各传感器节点把各自的局部估计结果全部传送到中心节点以形成全局估计，这是最常见的分布估计系统结构。

2) 有反馈层次结构：它与1)的主要区别在于通讯机制不同，即中心节点的全局估计可以反馈到各局部节点，这种结构具有容错的优点。当检测出某个局部节点的估计结果很差时，不必把它排斥于系统之外，而是可以利用较好的全局结果来修改局部节点的状态。这样既改善了局部节点的信息，又可继续利用该节点的信息。虽然反馈能够改善局部传感器的跟踪性能和容错能力，但不会提高整体融合估计的精确度。

3) 完全分布式结构：在这种一般化系统结构中，各节点间由网状或链状等形式的通讯方式相连接。一个节点可以享有与它相连的节点信息。这也意味着各局部节点可以不同程度地享有全局的一部分信息，从而可能在许多节点上获得较好的估计。在极端的情况下，每个节点都可以作为中心节点获得全局最佳估计。

一般来说，融合系统的采样可分为共度和非共度两种情况。共度指的是各传感器有周期性的共

1

同采样时刻，该情况下各传感器共同的采样周期是可构造的；非共度指的是系统中全部传感器没有共同的采样时刻，因而在实际系统中构造不出各传感器采样的共同周期，所以在实际运行中，非共度情况将比较难处理。本节中的算法讨论均仅限于共度的情况。

根据各传感器的采样不同，多传感器数据融合问题通常可分为同步和异步两大类。同步问题是指各传感器既具有相同的采样率又同时采样，并且能及时准确地将所有传感器的数据同时传输到融合中心，融合中心则严格按每步获得的信息进行融合估计，其系统采样如图3.3.1所示。异步问题是指由于各传感器采样时间不同或传输存在延迟而导致各传感器的数据不能同时刻到达中心处理器，融合中心按照数据到达的时序异步进行处理，异步问题的系统采样如图3.3.2所示。大量针对同步和异步问题的数据融合算法已经被给出[1-45]。

采样时刻采样时刻传感器1???????传感器1???????????传感器2传感器2?传感器i?传感器i??????传感器N???传感器N???k?1k????kk?1

图3.3.1 同步问题的系统采样 图3.3.2 异步问题的系统采样

在同步问题中，典型的集中式融合包括三种：集中式扩维融合、测量值融合和顺序滤波(或分步式滤波)。集中式扩维融合是将所有的测量值写成矩阵向量(Batch)的形式，然后执行Kalman滤波来实现融合。该方法虽然融合精确度高，但代价高昂（如高计算量和通信量），系统稳定性和生存能力较差。一旦中心处理器发生故障，融合算法将无法正常运行[11]。当各传感器具有相同的测量矩阵时，可先将各传感器信息加权融合成一个单独的融合测量值，然后再使用Kalman滤波实现融合，这就是测量值融合。该方法的融合精度与集中式扩维融合相同，且计算量大大减少。但是，当各传感器测量矩阵不同时，该融合算法将无法执行[12]。为了避免集中式扩维滤波和测量值融合中所存在的问题，顺序滤波或分步式滤波是一个可行的替代方案，该算法与前述两个方法具有相同的融合估计精度，不但减少了上述方法中的各种约束，而且拥有更少的计算量。这是因为对于集中式扩维融合滤波器来说，顺序滤波是将一个高维矩阵滤波器分解成几个低维滤波器按顺序来执行[13]。

常用的分布式融合算法包括有/无反馈融合、完全分布式融合、估计值加权融合、最优信息融合稳态Kalman滤波器和联邦滤波器等[2,14-17 ]。

2

由于各传感器采样时间不同或传输存在延迟，从而导致各传感器的数据在不同时刻到达中心处理器，如所用的各种不同的传感器具有不同的采样速率、传感器固有的延迟与通信延迟等原因都会产生异步多传感器数据融合问题，使得在实际系统中经常遇到的是异步问题。异步融合估计问题是多传感器数据融合研究领域的一个重点，也是一大难点。近年来，众多学者在异步问题的多传感器融合技术上开展了大量研究工作，提出了一系列融合算法，如基于最小二乘的内插和外推算法、局部估计值预测融合、伪测量值、凸加权融合和二次建模等方法[26-33]。

接下来，本小节将主要介绍各种常用和典型的同步融合算法。

3.3.2同采样率同时采样的多传感器集中式融合算法

考虑一类包含N个传感器节点的多传感器融合系统

x(k)?Φ(k?1)x(k?1)?w(k?1) (3.3.2.1)

zi(k)?Hi(k)x(k)?vi(k),i?1,2,?,N (3.3.2.2)

其中，k为离散时间变量；x(k)?Rn?1为目标状态；zi(k)?R过程噪声和测量噪声向量。

假设1

目标的初始状态x(0)、w(k)和vi(k)之间具有如下的统计特性

p1?1为第i个传感器节点的测量值；

Φ(k)?Rn?n为状态转移矩阵；Hi(k)?Rpi?n为测量矩阵；w(k)?Rn?1和vi(k)?Rpi?1是分别为

?E?x(0)??x0,E?x(0)?x0??x(0)?x0?T?P0??E?w(k)??0,E?vi(k)??0 (3.3.2.3) ?TT?Ex(0)w(k)?0,Ex(0)vi(k)?0?Ew(k)wT(j)?Q(k)?kj??????????Evi(k)vTi(j)?Ri(k)?kj??T (3.3.2.4) ?Ew(k)vi(j)?Ci(k)?kj?TEv(k)v?ij(k)?Sij(k)?kj,i?j?当传感器之间的噪声以及过程噪声和传感器噪声不相关时，就有

??????Ci(k)?Sij(k)?0 (3.3.2.5)

3.3.2.1 集中式扩维融合估计器(CDFA)[5]

若将N个观测方程(3.3.2.1)综合为总的观测方程

z(k)?H(k)x(k)?v(k),i?1,2,?,N (3.3.2.6)

则有如下的统计特性

E?v(k)??0 (3.3.2.7)

Ev(k)vT(j)?R(k)?kj (3.3.2.8)

3

??其中

TTTz(k)?[z1(k),zT2(k),?,zN(k)] (3.3.2.9)

TTTH(k)?[H1(k),HT2(k),?,HN(k)] (3.3.2.10) TTTv(k)?[v1(k),vT2(k),?,vN(k)] (3.3.2.11)

0?R1(k)?0R2(k)?R(k)?????0?0定理3.3.2.1

???0?? (3.3.2.12) ?????RN(k)?0基于状态方程(3.3.2.1)和总的观测方程(3.3.2.6)，利用标准Kalman滤波器，多传感器同步集中式扩维融合估计器为

?(k|k)?x?(k|k?1)?K(k)?z(k)?H(k)x?(k|k?1)??x (3.3.2.13) ??P(k|k)??I?K(k)H(k)?P(k|k?1)其中

?(k|k?1)?Φ(k?1)x?(k?1|k?1)x? (3.3.2.14) ?TP(k|k?1)?Φ(k?1)P(k?1|k?1)Φ(k?1)?Q(k?1)?K(k)?P(k|k?1)HT(k)[H(k)P(k|k?1)HT(k)?R(k)]?1 (3.3.2.15)

上式中i?1,2,?,N，I为适当维数的单位矩阵。

证明：参见3.2.5标准Kalman滤波方程的推导。

■

注释3.3.1：

1) 在目标关联和融合被正确执行的情况下，基于定理3.3.2.1能得到最优的融合估计结果； 2) 它的缺点在于计算量过高，且容易产生矩阵奇异问题。

3.3.2.2 测量值融合估计器[12]

假设2

所有传感器具有相同的测量矩阵，即各个传感器都是对同一目标相同的状态分量进行观测。 根据上述假设和式(3.3.2.2)，通过加权观测可获得融合后的统一的测量方程

z(I)(k)?H(I)(k)x(k)?v(I)(k) (3.3.2.16)

其中

?N?1?(I)z(k)???Rj(k)??j?1?

?1?Rj?1N?1j(k)zj(k) (3.3.2.17)

4

?N?1?(I)H(k)???Rj(k)??j?1??1?Rj?1N?1j(k)Hj(k) (3.3.2.18)

?N?1?(I)R(k)???Rj(k)? (3.3.2.19)

?j?1?然后，对方程(3.3.2.1)和(3.3.2.16)组成的观测系统使用Kalman滤波，可得如式(3.3.2.13)- (3.3.2.15)所示的融合估计器。值得注意的是，执行测量值融合的先决条件是各传感器具有相同的测量矩阵。

定理3.3.2.2

当H1(k)?H2(k)???HN(k)时，集中式扩维融合与测量值融合估计器是功能等价的。 证明：

集中式扩维融合滤波器协方差矩阵的信息形式为

?1P(k|k)?P(k|k?1)?HT(k)R?1(k)H(k)1?P(k|k?1)??HTj(k)R?j(k)Hj(k)j?1N (3.3.2.20)

同理，由式(3.3.2.16)- (3.3.2.19)可得测量值融合估计器协方差矩阵的信息形式为

P(I)(k|k)?P(I)(k|k?1)?H(I)(k)???RT(I)(k)??1H(I)(k)T?1??N?N?(I)?1?1??P(k|k?1)???Rj(k)??Rj(k)Hj(k)??j?1?j?1?????Rj?1N?1j(k)Hj(k) (3.3.2.21)

当H1(k)?H2(k)???HN(k)时，有

?1??N?N?T?1?1?1?Hj(k)Rj(k)Hj(k)???Rj(k)??Rj(k)Hj(k)???j?1?j?1?j?1???NT?Rj?1N?1j(k)Hj(k) (3.3.2.22)

此外，由于两个估计器具有相同的初始状态，即

?(0|0)?x?(I)(0|0),P(0|0)?P(I)(0|0) (3.3.2.23) x因此，根据Kalman滤波的递推特性，易得

P(k|k)?P(I)(k|k) (3.3.2.24)

■

3.3.3同采样率同步采的多传感器分步式数据融合算法(FAFSS)[13] 3.3.3.1算法描述

由于集中式扩维滤波器(CDFA)的高计算量和测量值融合同维的限制，使得在实际系统中具有较好的可计算性和扩展性的分步式(顺序)滤波是非常需要的。记

z1(i)?[zi(1),zi(2),???,zi(k)] (3.3.3.1)

kTTTT 5

kkkkz1?[z1(1),z1(2),???,z1(N)] (3.3.3.2)

kk表示所有N个传感z1(i)表示第i(i?1,2,?,N)个传感器在时刻1,2,?,k上的测量序列集合，z1器在时刻1,2,?,k时刻上的测量序列集合。

分步式滤波的基本思想为：若已获得(k?1)时刻状态x(k?1)基于全局的估计值

k?(II)(k?1|k?1)?Ex(k?1)|z1及相应的估计误差协方差P(II)(k?1|k?1)，当k时刻到来时，x??利用Kalman滤波器和k时刻到达的各局部观测值依次对状态x(k)进行估计，最后得到基于全局信

?(II)(k|k)和相应误差协方差P(k|k)，具体步骤： 息的估计值x?(II)(k?1|k?1)和P(II)(k?1|k?1)计算出一步预测值x?(II)(k|k?1)和预测误差协方① 用x差阵P(II)(k|k?1)；

(II)k?1得到状态x(k)基于z1和观测信息z1(k)的估计值和相(k|k?1)进行更新，

?② 用z1(k)对x应的估计误差协方差阵

k?1??1(k|k)?Ex(k)|x0,z1?(II)(k|k?1),z1(k),z1(k)?Ex(k)|x?x (3.3.3.3) ?T~~??P1(k|k)?Ex1(k|k)x1(k|k)???????1(k|k)进行更新，③ 用z2(k)对x得到状态x(k)基于z1和观测信息z1(k),z2(k)的估计值和

相应的估计误差协方差阵

k?1??2(k|k)?Ex(k)|z1?1(k|k),z2(k),z1(k),z2(k)?Ex(k)|x?x (3.3.3.4) ?T~~??P2(k|k)?Ex2(k|k)x2(k|k)k?1??????k?1?j?1(k|k)进行更新，得到状态x(k)基于z1④ 用zj(k)(3?j?N)对x和观测信息

z1(k),z2(k),?,zj(k)的估计值和相应的估计误差协方差阵

k?1???x(k|k)?Ex(k)|z1,z1(k),z2(k),???,zj(k)??Ex(k)|xj?1(k|k),zj(k)?j (3.3.3.5) ?T~~??Pj(k|k)?Exj(k|k)xj(k|k)??????在式(3.3.3.3)- (3.3.3.5)中

?i(k|k)，1?i?N (3.3.3.6) ~xi(k|k)?x(k)?x最终将得到状态x(k)基于z1的估计值和相应的估计误差协方差阵

k?(II)(k|k)?x?N(k|k) (3.3.3.7) xP(II)(k|k)?PN(k|k) (3.3.3.8)

上述分步式滤波过程由图3.3.3 (a)表示，其中虚线框内的分步更新过程由图3.3.3 (b)给出。

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?(k?1)?(k?1|k?1)xP(k?1|k?1)?(k|k?1)xP(k|k?1)分步更新?(k|k)xP(k|k)(a)Q(k?1)z1(k)?1xP1z2(k)?1(k|k)xP1(k|k)zN(k)?????N(k|k)x(b)PN(k|k)

图3.3.3分步滤波过程示意图

3.3.3.2算法推导

本节逐步采用正交原理进行算法的推导，这里只给出算法推导的简要步骤，具体步骤与Kalman滤波推导类似。

?(II)(k?1|k?1)的一步预测估计值x?(II)(k|k?1)和相应的预测误差协方差阵(1) 基于xP(II)(k|k?1)分别为

?(II)(k|k?1)?Φ(k?1)x?(II)(k?1|k?1) (3.3.3.9) x P(II)(k|k?1)?Φ(k?1)P(II)(k?1|k?1)ΦT(k?1)?Q(k?1) (3.3.3.10)

?1(k|k?1)更新 (2) 用z1(k)对x?1?x?(II)(k|k?1)，P1?P(II)(k|k?1) 若记 x则

?1(k|k)?x?(II)(k|k?1)?K1(k)[z1(k)?H1(k)x?(II)(k|k?1)] (3.3.3.11) xT?P1(k|k)??1??P(II)(k|k?1)??H1?1?1(k)R1(k)H1(k) (3.3.3.12)

其中

TTK1(k)?P(II)(k|k?1)H1(k)[H1(k)P(II)(k|k?1)H1(k)?R1(k)]?1 (3.3.3.13)

?1(k|k)更新 (3) 用z2(k)对x?2?x?1(k|k)，P2?P1(k|k) 若记 x则

?2(k|k)?x?x(II)?i] (3.3.3.14) (k|k?1)??Ki(k)[zi(k)?Hi(k)xi?12?P2(k|k)?这里

?1?P?(II)(k|k?1)???H?1i?12Ti(k)Ri?1(k)Hi(k) (3.3.3.15)

7

T?1K2(k)?P2HT2(k)[H2(k)P2H2(k)?R2(k)] (3.3.3.16)

k?j?1(k|k)，则可(4) 若已得到状态x(k)基于z1和观测信息z1(k),z2(k),?,zj?1(k)的估计值x?j?1(k|k)进一步更新 以用zj(k)(3?j?N)对x若记

?j?x?j?1(k|k)，Pj?Pj?1(k|k) x则

?i] (3.3.3.17) ?j(k|k)?Φ(k?1)x?(k?1|k?1)??Ki(k)[zi(k)?Hi(k)xxi?1j?P(k|k)?j?1?P?(II)(k|k?1)???H?1i?1jTi(k)Ri?1(k)Hi(k) (3.3.3.18)

其中

T?1Kj(k)?PjHTj(k)[Hj(k)PjHj(k)?Rj(k)] (3.3.3.19)

? 综上所述，基于上述算法，将得到状态x(k)基于全局信息的融合估计值x计误差协方差P(II)(k|k)

N(II)(k|k)和相应的估

? x(II)?(k|k?1)??Ki(k)[zi(k)?Hi(k)x?i] (3.3.3.20) ?N(k|k)?x(k|k)?xi?1?P(II)(k|k)??1??PN(k|k)??P?1?(II)(k|k?1)???H?1i?1NTi(k)Ri?1(k)Hi(k) (3.3.3.21)

3.3.3.3计算量分析

在统计计算量时，遵循以下几个准则：

ⅰ) 计算量种类归纳为加法运算，赋值运算，乘法运算，除法运算四种； ⅱ) 一次赋值运算相当于一次加法运算；

ⅲ) 矩阵运算按元素来进行操作。

下面所有的计算量统计都按照上述三个准则来进行，为了方便记号，令pi?p。pi?p情况的计算量推导类似。计算量统计如表3.3.1所示。

?f?N??(2p?2?i)(p?i)，?c??(2Np?2?i)(Np?i)

i?1i?1pN?p表3.3.1 FAFSS和CDFA计算量统计

8

二者计算量差值 (CDFA－FAFSS) FAFSS计算量 CDFA计算量 加 法 (N?2)n3?(3p?1)Nn2 3n3?(3Np?1)n2 ?(2Np?1)n??c 22?c??f?(1?N)(n?n?2Npn)322?(2Np?1)n??f (N?2)n3?(3Np?1)n2 ?2Np(p?1)n??f Np(p?1)/2 2 乘 法 除 法 3n3?(3Np?1)n2 ?2Np(Np?1)n??c Np(Np?1)/2 ?c??f?(1?N)(n?2Npn)Np2(N?1)/2 32 2(N?2)n3?2?f 总 和 ?(6Np?N?1)n2 ?(4Np?2Np?1)n ?Np(1?N)/2 226n3?2(3Np?1)n2 ?(4N2p2?2Np?1)n ?Np(Np?1)/2?2?c 2(?c??f)?Np2(N?1)/2?(1?N)(2n?n?4Npn)322 从表3.3.1可得，当N?1时，两种算法各种运算的计算量相等；当N?2时，FAFSS算法的计 算量要比CDFA算法少。为了定量说明分步式滤波算法计算量的优势，这里按两种不同的n,p,N取值情况来讨论，结果如表3.3.2、表3.3.3所示。

表3.3.2 n?p?3，N?5

加 法 乘 法 除 法 总 计 FAFSS计算量 1012 1063 30 2105 CDFA计算量 4648 4735 120 9503 表3.3.3 n?p?5，N?10

从表3.3.2和表3.3.3中易知FAFSS算法总的计算量比CDFA算法分别减少了78%和93%。且由表3.3.1可知，随着系统传感器数、状态以及观测维数的增加，FAFSS算法在计算复杂度上的优势会变得越来越明显。

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计算量差值 (CDFA－FAFSS) 3636 3672 90 7398 加 法 乘 法 除 法 总 计 FAFSS 计算量 9005 9275 150 18430 CDFA计算量 133280 133775 1275 268330 计算量差值 (CDFA－FAFSS) 124275 124500 1125 249900 3.3.3.4估计精确度分析

定理3.3.3.1

分步式滤波和集中式扩维滤波器的估计精确度是相同的，即P(II)(k|k)?P(k|k)。

证明：

分步式滤波和集中式扩维滤波器具有相同的初始状态，即

?(0|0)?x?(II)(0|0),P(0|0)?P(II)(0|0) (3.3.2.46) x且，根据Kalman滤波的递推特性并结合式(3.3.2.20)和(3.3.2.45)，易得

P(II)(k|k)?P(k|k) (3.3.2.47)

故定理得证。 推论 3.3.3.1

当H1(k)?H2(k)???HN(k)时，分步式滤波和测量值融合估计的精确度是相等的。 证明：

根据定理3.3.2.2和定理3.3.3.1易知本推论成立。

■

■

3.3.3.5仿真例子

下面我们将用计算机仿真来说明分步式滤波融合算法(FAFSS)与传统的集中式融合算法(CDFA)之间状态估计的精确度关系。本节的各仿真结果都是100次Monte Carlo仿真的均值。 例子3.3.1

Φ(k?1)?0.98，Q(k?1)?0.9，在(3.3.2.1)和(3.3.2.2)描述的系统中，取N?5，Hi(k)?0.98，

Ri(k)?3。初始值x0?0，P0?0。仿真结果如图3.3.4，3.3.5所示。

-26420状态值CDFAFAFSS1CDFAFAFSS0.5Y--幅值Y--误差0-0.5

-4010X--步骤K20304050X--步骤K-101020304050图3.3.4例3.3.1中两种算法的估计结果 图3.3.5例3.3.1中两种算法的估计误差 两种算法的绝对误差均值由表3.3.3.4给出。

表3.3.3.4 例3.3.1中两种算法的绝对误差均值

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例子3.3.2

算 法 绝对误差均值 FAFSS 0.2365 CDFA 0.2365 在式(3.3.2.1)和(3.3.2.2)描述的系统中，取N?5，其它参数分别为：

?1(k),x?2(k)?T x(k)??x1(k),x2(k),x?0.950?00.95 Φ(k?1)???00?0?010100??1?01??，Q(k?1)???00???1??0010000100?0?? 0??1??1000??100?(i?1,2,???，5)。 ， Hi(k)??R(k)?i????0100??01?初始值x0??0011?，P0?0?I4?4。仿真结果如图3.3.6, 3.3.7所示。

T两种算法的绝对误差均值表由表3.3.5给出。

表3.3.5 例3.3.2中两种算法的绝对误差均值

51510算 法 FAFSS 0.3295 0.3319 CDFA 0.3295 0.3319 x1绝对误差均值 x2绝对误差均值 25状态值CDFAFAFSS20Y--X1幅值 0-5Y--X2幅值 1510状态值CDFAFAFSS-10X--步骤K-15010203040505X--步骤K010203040500 图3.3.6 例3.3.2中两种算法对x1的估计结果 图3.3.7 例3.3.2中两种算法对x2的估计结果

从图3.3.4－图3.3.7以及表3.3.4－表3.3.5中可知分步式滤波融合算法(FAFSS)和传统的集中式扩维滤波器(CDFA)对目标状态估计的精确度相同。

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3.3.4同采样率同时采样的多传感器分布式融合算法

本小节主要介绍几种典型的多传感器分布式融合算法，如有/无反馈融合[14]、完全分布式融合[15]、局部估计值加权融合[16]和最优信息稳态Kalman滤波器等[17]。其中，无反馈和有反馈融合结构如图3.3.8和图3.3.9所示。

融合中心融合中心??传感器1传感器2传感器i??传感器N-1传感器N传感器1传感器2??传感器i??传感器N-1传感器N

图3.3.8 无反馈分布式融合框架 图3.3.9 有反馈分布式融合框架

3.3.4.1 有反馈分布式融合[14]

有反馈分布式融合的基本思想是局部传感器处理各自的量测，然后将局部估计结果送到中心处理器进行融合，而融合中心将当前的全局估计值反馈给局部传感器作为下一步滤波的初始值。

对动态系统(3.3.2.1)-(3.3.2.2)及初始条件(3.3.2.3)和(3.3.2.5)，若已得到k时刻状态x(k)基于全局

?(k|k)及估计误差方差P(k|k)；当k时刻各传感器的局部Kalman滤波估计到达中的融合估计值x?(k|k)及估计误差方差P(k|k)。 心处理器时，将得到状态x(k)基于全局信息的最优融合估计值x定理 3.3.4.1(有反馈式) 有反馈分布式融合估计器为

?N?1??(k|k)?P(k|k)??Pi(k|k)x?i(k|k)?(N?1)P?1(k|k)x?(k|k?1)? (3.3.4.1) x?i?1?P(k|k)?P(k|k?1)??Pi?1(k|k)?P?1(k|k?1) (3.3.4.2)

?1?1i?1N???(k|k?1)为全局状态一步预测估计值 其中i?1,2,?,N；x?(k|k?1)?Φ(k?1)x?(k?1|k?1) (3.3.4.3) xP(k|k?1)为一步预测误差协方差阵

P(k|k?1)?Φ(k?1)P(k?1|k?1)Φ(k?1)?Q(k?1) (3.3.4.4)

T?i(k|k)和Pi(k|k)分别是状态x(k)基于传感器i的局部估计值和估计误差协方差阵。 x

12

证明：

由于式(3.3.2.1)和(3.3.2.6)，利用标准Kalman滤波器，有

?(k|k)?x?(k|k?1)?K(k)γ(k) (3.3.4.5) x其中，增益矩阵是

K(k)?P(k|k?1)HT(k)H(k)P(k|k?1)HT(k)?R(k) (3.3.4.6)

或

K(k)?P(k|k)HT(k)R?1(k) (3.3.4.7)

残差序列

???1?(k|k?1)?z(k)?H(k)x?(k|k?1) (3.3.4.8) γ(k)?z(k)?z状态估计误差协方差阵

P(k|k)?[I?K(k)H(k)]P(k|k?1) (3.3.4.9)

或

P?1(k|k)?P?1(k|k?1)?HT(k)R?1(k)H(k)?P(k|k?1)??H(k)R(k)Hi(k)?1Ti?1ii?1N (3.3.4.10)

由式(3.3.2.13)两边左乘P?1(k|k)并分别利用(3.3.4.8)、(3.3.4.9)、(3.3.4.7)、(3.3.2.19)、(3.3.2.10)、(3.3.2.11)得

?(k|k)P?1(k|k)x?(k|k?1)?P?1(k|k)K(k)[z(k)?H(k)x?(k|k?1)]?P?1(k|k)x?(k|k?1)?P?1(k|k)K(k)z(k)?P?1(k|k)[I?K(k)H(k)]x?(k|k?1)]?P?1(k|k?1)[I?K(k)H(k)]?1[I?K(k)H(k)]x?P?1(k|k)P(k|k)HT(k)R?1(k)z(k)?(k|k?1)?HT(k)R?1(k)z(k)?P?1(k|k?1)x?1?(k|k?1)??HT?P(k|k?1)xi(k)Ri(k)z(k)?1i?1N (3.3.4.11)

对传感器i，也有类似于式(3.3.4.10)和(3.3.4.11)的结果

?1Pi?1(k|k)?Pi?1(k|k?1)?HTi(k)Ri(k)Hi(k) (3.3.4.12)

?1?i(k|k)?Pi(k|k?1)x?i(k|k?1)?HTPi?1(k|k)x(k)Rii(k)zi(k) (3.3.4.13)

亦即

?1?1??HTi(k)Ri(k)zi(k)?Pi(k|k)xi(k|k`)?Pi(k|k?1)xi(k|k?1) (3.3.4.14)

将式(3.3.4.13)代入式(3.3.4.10)，将得到式(3.3.4.2)。再将式(3.3.4.14)代入式(3.3.4.11)，可得

13

?(k|k)?P(k|k?1)x?(k|k?1)??Pi?1(k|k)x?i(k|k)?Pi?1(k|k?1)x?i(k|k?1) (3.3.4.15) P(k|k)x?1?1i?1N??其中

?i(k|k)?x?i(k|k?1)?Ki(k)γi(k) (3.3.4.16) x?i(k|k?1)?Φ(k?1)x?(k?1|k?1) (3.3.4.17) xPi(k|k?1)?Φ(k?1)P(k?1|k?1)ΦT(k?1)?Q(k?1) (3.3.4.18)

T?1Ki(k)?Pi(k|k?1)HTi(k)[Hi(k)Pi(k|k?1)Hi(k)?Ri(k)] (3.3.4.19)

?i(k|k?1)?zi(k)?Hi(k)x?i(k|k?1) (3.3.4.20) γi(k)?zi(k)?zPi(k|k)?[I?Ki(k)Hi(k)]Pi(k|k?1) (3.3.4.21)

由式(3.3.4.4)和式(3.3.4.18)可知P(k|k?1)?Pi(k|k?1)，将其代入式(3.3.4.15)式整理后便可得式(3.3.4.2)。

故定理得证。 注释3.3.2：

在有反馈融合中，式(3.3.4.17)和(3.3.4.18)表明融合中心将全局融合估计反馈给局部传感器作为其下一步滤波的初始值，这样不会提高融合系统的整体融合估计精度，但会改善局部传感器的跟踪性能和容错能力。

■

3.3.4.2 无反馈分布式融合[14]

无反馈分布式融合与有反馈融合的区别在于前者不需要将全局估计反馈给各个局部传感器。 定理 3.3.4.2(无反馈式) 无反馈分布式融合估计器为

?(k|k)?x?(k|k?1)?P(k|k)?Pi?1(k|k)x?i(k|k)?x?(k|k?1)x?i(k|k?1)?x?(k|k?1)?Pi?1(k|k?1)x?1?1NN????i?1??? (3.3.4.22)

P(k|k)?P(k|k?1)??Pi?1(k|k)?Pi?1(k|k?1) (3.3.4.23)

i?1??(k|k?1)和P(k|k?1)分别是x(k)的基于全局信息一步预测估计值(3.3.4.3)和相应预测误其中，x?i(k|k?1)和Pi(k|k?1)是基于传感器i的局部一步预测估计值和相应预测误差差协方差(3.3.4.4)，x?i(k|k)和Pi(k|k)是状态x(k)基于传感器i的估计值和估计误差协方差阵。 协方差阵，x证明：

由于式(3.3.2.1)--(3.3.2.12)，利用Kalman滤波器，仍然有(3.3.4.5)--(3.3.4.10)。由(3.3.4.5)式两边左乘P(k|k)并分别利用(3.3.4.8)、(3.3.4.7)、(3.3.2.19)、(3.3.2.10)、(3.3.2.11)得

?1 14

?(k|k)P?1(k|k)x?(k|k?1)?P?1(k|k)K(k)?z(k)?H(k)x?(k|k?1)??P?1(k|k)x?(k|k?1)?P?1(k|k)P(k|k)HT(k)R?1(k)?z(k)?H(k)x?(k|k?1)??P?1(k|k)x (3.3.4.24)

?P?1(k|k)x?(k|k?1)?HT(k)R?1(k)z(k)?HT(k)R?1(k)H(k)x?(k|k?1)?P?1N(k|k)x?(k|k?1)??HT(k)R?1Nii(k)z?1i(k)??HTi(k)Ri(k)Hi(k)x?(k|k?1)i?1i?1将式(3.3.4.13)和(3.3.4.14)代入式(3.3.4.24)可得

P?1(k|k)x?(k|k)N?P?1(k|k)x?(k|k?1)???P?1i(k|k)x??1i(k|k)?Pi(k|k?1)x?i(k|k?1)? i?1N???P?1?1i(k|k)?Pi(k|k?1)?x?(k|k?1)i?1将式(3.3.4.25)整理合并后便得式(3.3.4.22)。 在上述各式(3.3.4.22)-(3.3.4.25)中

x?i(k|k)?x?i(k|k?1)?Ki(k)γi(k) x?i(k|k?1)?Φ(k?1)x?i(k?1|k?1) Pi(k|k?1)?Φ(k?1)Pi(k?1|k?1)ΦT(k?1)?Q(k?1) KPT?1i(k)?Pi(k|k?1)HTi(k)[Hi(k)i(k|k?1)Hi(k)?Ri(k)] γi(k)?zi(k)?z?i(k|k?1)?zi(k)?Hi(k)x?i(k|k?1) Pi(k|k)?[I?Ki(k)Hi(k)]Pi(k|k?1) 推论3.3.4.1[30]

对多传感器动态系统(3.3.2.1)和(3.3.2.2)及条件(3.3.2.3)和(3.3.2.4)，我们有

P(k|k)?Pi(k|k)，i?N,N?1,?,2,1,k?0 证明

由于初始条件为

x?(0|?1)?x(0) P(0|?1)?P0

则在k?0时刻，对传感器i，由(3.3.2.20)式可得

P?1(0|0)?P?1(0|?1)?HT?1ii(0)Ri(0)Hi(0) 对融合估计，由(3.3.2.20)）

(3.3.4.25) (3.3.4.26) (3.3.4.27) (3.3.4.28)

(3.3.4.29)

(3.3.4.30) (3.3.4.31)

■

(3.3.4.32)

(3.3.4.33)

15

?1P(0|0)?P(0|?1)??HTi(0)Ri(0)Hi(0) (3.3.4.34) ?1?1i?1N?1易知，在通常情况下CT(0)Rii(0)Ci(0)是正定矩阵，又P(0|0)和Pi(0|0)正定，因此得

P?1(0|0)?Pi?1(0|0)，i?1,2,?,N

即

P(0|0)?Pi(0|0)，i?1,2,?,N (3.3.4.35)

若假设对任意k?0时，都有

P(k|k)?Pi(k|k)，i?1,2,?,N (3.3.4.36)

则由式(3.3.3.12)和(3.3.3.10)，可得

?1Pi?1(k|k)?Pi?1(k|k?1)?HTi(k)Ri(k)Hi(k) (3.3.4.37) ?1P(k|k)?P(k|k?1)??HTi(k)Ri(k)Hi(k) (3.3.4.38) ?1?1i?1N而

Pi(k|k?1)?P(k|k?1)?Φ(k)[P(k?1|k?1)?Pi(k?1|k?1)]ΦT(k) (3.3.4.39)

?1由于通常情况下P(k?1|k?1)?Pi(k?1|k?1)，又HT(k)Rii(k)Hi(k)是正定矩阵，故

P(k|k)?Pi(k|k)，i?1,2,?,N (3.3.4.40)

推论 3.3.4.2[30]

当一个或几个传感器不工作时，融合估计精度将会下降。 证明：

为了便于描述，不妨设缺少几个传感器的系统为H(i,k)（i?1,2,?,N）；其中H(i,k)?H(i,k)（i?1,2,?,M），Hi(k)?0(i?M?1,?,N;1?M?N)。其初始条件仍为式(3.3.2.3)和(3.3.2.3)，用P(k|k)表示系统基于M个传感器融合估计误差协方差阵，则在k?0时，对由M个传感器组成的融合中心，我们有

■

P(0|0)?P(0|?1)??HiT(0)Ri?1(0)iH(0) (3.3.4.41)

?1?1i?1M?1由于HTi(0)Ri(0)Hi(0)是正定矩阵，因此，由式(3.3.3.34)和(3.3.3.41)，可得

P(0|0)?P(0|0)，i?1,2,?,N (3.3.4.42)

若假设对任意k?0时，都有

P(k|k)?P(k|k)，i?1,2,?,N (3.3.4.43)

则

16

P(k?1|k?1)?P(k?1|k)??HiT(k?1)Ri?1(k?1)Hi(k?1) (3.3.4.44)

?1?1i?1N?1P(k?1|k?1)?P(k?1|k)??HTi(k?1)Ri(k?1)Hi(k?1) (3.3.4.45) ?1?1i?1M?1由于通常情况下HTi(k)Ri(k)Hi(k)，i?1,2,?,M,?,N是正定矩阵，因此有

P(k?1|k?1)?P(k?1|k?1) (3.3.4.46)

故在任何时刻，有N个传感器组成的融合估计都要比有M个传感器组成的估计的精度高。这就是数据融合所带来的好处。从上面分析中我们可以得出这样的结论：当某个传感器的误差较大时，若去掉该传感器，即不参加融合，则融合估计的精度也会降低。

故推论得证。 推论3.3.4.3

有反馈和无反馈分布式融合具有相同的全局融合估计精度。 证明：

由式(3.3.4.11)和(3.3.4.24)可知，有反馈和无反馈分布式融合算法都是从同一个集中式扩维滤波器推导演变而来的。因此，两者在全局融合估计精度上是等价的。

故推论得证。 推论3.3.4.4

对于局部传感器滤波估计，有反馈分布式融合要优于无反馈分布式融合。 证明：

■

■

?i(i)(k|k?1)和Pi(i)(k|k?1)，无记有反馈分布式融合算法中的局部传感器估计和方差分别为x?i(ii)(k|k?1)和Pi(ii)(k|k?1)。 反馈融合算法中的局部传感器估计和方差分别为x则根据式(3.3.4.18)和(3.3.4.28)有

Pi(i)(k|k?1)?Pi(ii)(k|k?1)?Φ(k?1)?P(k?1|k?1)?Pi(k?1|k?1)?ΦT(k?1) (3.3.4.47)

根据数据融合的最基本思想，即多个传感器信息的融合估计精度总是不低于单个传感器信息的估计精度，因此有

P(k?1|k?1)?Pi(k?1|k?1) (3.3.4.48)

并且Φ(k?1)是一个正定矩阵，从而结合式(3.3.3.47)和(3.3.3.48)可得

Pi(i)(k|k?1)?Pi(ii)(k|k?1) (3.3.4.49)

■

17

3.3.4.3 完全分布式融合算法[15]

与有反馈和无反馈分布式融合算法不同，完全分布式融合中每个传感器都可以作为一个融合中心，每个局部传感器将各自的局部估计传输给其它所有传感器，其结果如图3.3.10所示。该算法虽然具有很高的生存能力，但是所付出的通信代价是高昂的。

??传感器1传感器2传感器i??传感器N-1传感器N 图3.3.10 完全分布式融合框架

定理 3.3.4.3

在各传感器获得的局部Kalman滤波估计的基础上，每个传感器基于所有传感器局部估计信息的分布式融合估计及其估计误差协方差阵分别为

???i(k|k?1)?xi(k|k)?Pi(k|k)?Pi(k|k?1)x?(k|k)?P(k|k?1)x?(k|k?1)??P(k|k)x?1j?1j?1j?1jj?1m?? (3.3.4.50)

m??1?11?1??Pi(k|k)?Pi(k|k?1)??Pj?1(k|k)xj(k|k)?Pj(k|k?1) (3.3.4.51)

??j?1?i(k?1|k?1)和Pi(k?1|k?1)为各局部传感器的局部估计和估计误差协方差阵，且 其中x?i(k|k?1)?Φ(k?1)x?i(k?1|k?1) (3.3.4.52) xPi(k|k?1)?Φ(k?1)Pi(k?1|k?1)ΦT(k?1)?Q(k?1) (3.3.4.53)

证明：

与定理3.3.4.2类似，也可参见文献[15]。

■

注释3.3.3：完全分布式融合算法也可分为有反馈和无反馈两种，其思想与前述算法类似。

3.3.4.4 局部估计值加权融合算法[16]

记各局部传感器估计误差为

~?i(k|k) (3.3.4.54) xi(k|k)?x(k)?x定理 3.3.4.4

18

作局部估计值的线性组合

?(k|k)??Dix?i(k|k) (3.3.4.55) xi?1N则估计误差协方差阵

?(k|k)??x(k)?x?(k|k)? (3.3.4.56) P(k|k)?E?x(k)?x那么假设各局部传感器的局部误差~x(k|k)和~x(k|k)(i?j)互不相关，且在约束条件

Ti??j??Min?trace(P(k|k))??N ???D i?Ii?1下，可得局部估计值加权融合估计器为

Nx?(k|k)??P?1i(k|k)?1x?i(k|k) i?1P(k|k)P?1N(k|k)??P?1i(k|k) i?1式(3.3.3.57)中trace表示矩阵的迹。

证明：

根据式(3.3.3.55)有

E?x?(k|k)??E?N???D?Nix?i(k|k)???DiE?x?i(k|k)?i?1?i?1N ??DiE?x?(k)??E?x?(k)?i?1因此，x?(k|k)是x(k)的无偏估计。 有

P(k|k)?E??x(k)?x?(k|k)??x(k)?x?(k|k)?T??E????N??(k|k)?NT???x(k)??Dix?????x(k)????ii?1?Dix?i(k|k)i?1??????E????N???Di?x(k)?x?)???N?T?? i(k|k??i?1?????Di?x(k)?x?i(k|k)?i?1?????E????N?~??N~?T???????Dixi(k|k)i?1?????Dixi(k|k)i?1?????加之~xi(k|k)和~xj(k|k)(i?j)互不相关，所以得到

(3.3.4.57) (3.3.4.58) (3.3.3.59)

(3.3.4.60)

(3.3.4.61)

19

P(k|k)??DiE~xi(k|k)~xiT(k|k)DTi (3.3.4.62)

i?1N??根据文献[18]，在假定的性能和约束条件下有

Pi?1(k|k)Di??1 (3.3.4.63)

P(k|k)其中

P(k|k)??Pi?1(k|k) (3.3.4.64)

?1i?1N

■

由于在很多实际应用中，在满足一定的估计精度要求时要求更算法具有更简单和快速的计算能力。因此，上述矩阵加权的融合算法可用如下矩阵迹加权融合算法来代替。

推论3.3.4.5

在(3.3.3.54)- (3.3.3.57)所示的条件下，基于矩阵迹加权融合算法为

?(k|k)??x1/tracePi(k|k)?i(k|k) (3.3.4.65) x1/traceP(k|k)i?1NNi????1/trace?P(k|k)???1/tracePi(k|k) (3.3.4.66)

证明：

类似定理3.3.3.4，故略。 ■

??3.3.4.5 最优信息融合稳态Kalman滤波器[17]

定理 3.3.4.5

?i(k|k)(i?1,2,?,N)，已知基于N个传感器得到了目标状态x(k)的N个无偏估计x且各局部

估计误差协方差阵为

?i(k|k)?x(k)?x?j(k|k)Pij(k|k)?E?x(k)?x则可作局部估计的线性组合

????,i,j?1,2,?,N (3.3.4.67)

T?(k|k)??Ai(k)x?i(k|k) (3.3.4.68) xi?1N那么，极小化性能指标

?(k|k)??x(k)?x?(k|k)?T (3.3.4.69) J?E?x(k)?x

20

??

和性能约束

?A(k)?I (3.3.4.70)

ii?1N下，可得按矩阵加权最优无偏融合估计的加权矩阵和融合估计误差方差阵分别为

?A1(k),A2(k),?,AN(k)??(eTP?1e)?1eTP(k|k)?1 (3.3.4.71)

P(k|k)?(eTP?1e)?1 (3.3.4.72)

其中

?P11(k|k)P12(k|k)?P(k|k)P(k|k)22P(k|k)??21??????PN1(k|k)?P1N(k|k)????? (3.3.4.73) ?????PNN(k|k)?e??In,In,?,In?T (3.3.4.74)

证明:

参见文献[17]。

■

类似于推论3.3.3.5，定理3.3.4.5的简化形式，即按标量加权的融合形式可由如下推论给出。 推论 3.3.4.5

基于(3.3.4.67)- (3.3.4.70)，按标量加权的最优稳态Kalman滤波器为

?(k|k)??Ai(k)x?i(k|k) (3.3.4.75) xi?1NP(k|k)?最优加权系数Ai可由下式计算

i,j?1?A(k)AiNj(k)Pij(k|k) (3.3.4.76)

B?1(k)I (3.3.3.77) A(k)?T?1IB(k)I其中A(k)??A1(k),A2(k),?,AN(k)?T,B(k)?trace(Pij(k|k)), I??1,1,?,1?。

T证明:

参见文献[20 ]，略。 ■ 注释3.3.4：与前述融合算法不同，最优稳态Kalman滤波器能处理由于各传感器使用同一状态方程而引起的局部估计相关的问题。

21

本章小结

本章是状态估计理论的基础，介绍了最优估计的基本概念，Kalman滤波基本理论，主要包括预测、估计和平滑的Kalman滤波方法、扩展Klman滤波、离散强跟踪滤波，同时还对同采样率同时采样的多传感器同步数据融合算法进行了总结和介绍，其中在部分内容是课题组的最新研究成果，部分内容还在整理发表中。本章的融合算法思想是今后各章的基础。

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