数学竞赛中多变量最值问题的常用解法

中学数学杂志 2008年第12期 ZHONGXUESHUXUEZAZHI FB的延长线交于点H.

因为NABC=90b,AB=BC,所以vABFTvBCH.

所以BH=AF=6,CH=BF=8.

所以OG=FH=8+6=14,CG=8+4=12.所以所求C点的坐标为(14,12).

(3)过点P作PMLy轴于点M,PNLx轴于点N,则vAPMVvABF.

所以==所以==.所

ABAFBF1068以AM=

t,PM=.t55

点评 不难看出,此题也是由/2006年长春压轴题0经过精心改编而来,而且秉承原试题的立意、

所考查数学知识、思想方法和数学素养.感觉试题有了变化:将原二次函数图像改编为一次函数图像,降低了信息的解读和获取的难度;第(1)问/,,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度0中的表述给考生以善意的提醒;第(1)问如此设置可使得考生入手更显容易;第(4)问将原来/求满足NOPQ=90b的点的个数0改编为/何时两条线段相等0的问题,改善了考生寻求解题思路的环境;将第(4)问变成了附加题,既能让大部分学生减轻了思想上的负担和解题的压力,又能让部分数学尖子的考生有了展示才华的机会.整个试题越发越显得平和和人性化,更有利于考生数学水平的发挥.

总之,立意深远、结构良好、数据合理、层次鲜明、逻辑严密、贴近学生、综合度高、区分度好的压轴题才能连续/三个年头0在不同/三个城市0都能为命题组老师如此青睐.

)10

=476

作者简介:姜晓岗,中学高级教师,连云港市新海实验中学教科室主任,主持和参与多项省市级规划课题的研究,每年有5至10篇的数学论文见诸于省级数学专业刊物.

所以PN=OM=10-tON=PM=,t.55

@设vOPQ的面积为S(平方单位),所以S=2

2

(10-t)(1+t)=5+t-t(0[t[10).

51010

因为a=-

3

<0,所以当t=-10

102@(-

时,vOPQ的面积最大.此时P的坐标为(,).

1510

(4)当t=或t=时,OP与PQ相等.

313

数学竞赛中多变量最值问题的常用解法

安徽省当涂县青山中学 243151 令 标

在近年来的各省(市)及全国初中数学竞赛试题中,一类与多变量相关的求代数式(或字母)最大(小)值的问题屡见不鲜,新颖独特,趣味盎然.这类问题内涵丰富,知识面广,综合性强,形式不拘一格,解法灵活多变,是考查学生驾驭知识、运用数学思想方法等能力的极好素材.下面将举例分析处理数学竞赛中有关多变量最值问题的一些常用方法,供参考.

1 因数分解法

对题设中的因数进行适当分解,作合理的组合、验算,得到所需结果,问题便水落石出.

例1 若a、b、c是三个不同的正整数,并且abc

=16,则a-b+c可能的最大值是( ).

A1249 B1253 C1263 D1264(2007年北京市中学生数学竞赛试题)分析 由abc=16=1@2@8,及a、b、c是三个不同的正整数.经验算,易知当a=8,b=1,c=2时,a-b+c可取得最大值为8-1+2=263.

故应选C.2 配方法

把已知代数式或等式配成几个完全平方式和的形式,结合非负数性质等,可促使问题的顺利解决.

例2 设x、y为实数,代数式5x+4y-8xy+2x+4的最小值为

51

2

2

b

c

a

8

b

c

a

ZHONGXUESHUXUEZAZHI 中学数学杂志 2008年第12期(第21届江苏省初中数学竞赛试题)分析 由已知代数式,配方得:

原式=4(x-2xy+y)+x+2x+4=4(x-y)+(x+1)+3.

因此,当x=y=-1时,原式有最小值3.3 主元法

将多个变量转化为以某一变量为主元,依据已知条件,经过简单的运算,使问题渐趋明朗,便利获解.

例3 已知a、b、c为整数,且a+b=2006,c-a=2005.若a<b,则a+b+c的最大值是

(2006年/信利杯0全国初中数学竞赛试题)分析 视a为主元,由已知c=2005+a.故a+b+c=2006+2005+a=4011+a.

又a<b,且均为整数,知a+1[b.

由a+b=2006,得2006=a+b\2a+1,即.a[1002a的最大值为1002

2

因此a+b+c的最大值为4011+1002=5013.4 倒数法

由已知条件难以直接入手,甚至繁琐不堪时,不妨转换思考的角度,适当地选取倒数,常有出人意料的简解.

例4 若满足不等式

<<的整数k15n+k13

知当z=

2

2

2

2

2

=n.则n的最大值是.

(2006年青少年数学国际城市邀请赛试题)分析 令

-174-m+34=p,与已知等

式相乘,得pn=-208.

由n为正整数,知p为有理数.

又易得n+p=4(m-70),知p必为整数,且是偶数.由pn=-208,知当p=-2时,n取最大值104.6 估算法

对所要考察的代数式的取值情况,运用不等式,进行灵活、有效的控制,确定其范围,从而直逼结论,收到事半功倍之效果.

例6 已知x、y、z都是非负实数,满足x+y-z=1,x+2y+3z=4,记X=3x+2y+z.求X的最大值与最小值.(2007年四川省初中数学竞赛试题)

分析 由已知得,x=5z-2,y=3-4z.注意到x、y为非负实数,则有5z-2\0,且3-4z\0.解得[z[

5

4

2

2

故X=3x+2y+z=8z.

216

时,X有最小值(此时x=0,y=55

737

);当z=时,X有最大值6(此时x=,y=5440).

7 计算检验法

依据已知条件,计算各相关变量的值,再经过有目标的筛选、检验而得出所需的结论.

例7 已知x、y、z为实数,若x+y=1,y+z=2,x+z=2,则xy+yz+xz的最小值为( ).

A1

B1+32212

D1

1-2

3

2

2

2

2

2

2

只有一个,则正整数n的最大值为( ).

A1100 B1112 C1120 D1150(2006年山东省初中数学竞赛试题)

分析 由已知不等式,得<<.整

7n8理得

n<k<n.78

由k的唯一性,知n-n[2.即n[112.

87当n=112时,有96<k<98,k=97,符合题设.故应选B.5 换元法

将问题中某些代数式视为一个整体,灵活地换元,经过恰如其分的推算,常能化繁为简,使问题轻快、简练地解决.

例5 已知正整数m、n满足

52

C1-

(第21届江苏省初中数学竞赛试题)分析 由已知,得x=?

,y=?z=?222

经验算,当x、y同号,x、z异号时,xy+yz+xz有最小值,且最小值为--=-

2222

故应选D.

m-174+

中学数学杂志 2008年第12期 ZHONGXUESHUXUEZAZHI 8 平方法

对所考察的等式直接平方,然后根据已知条件,进行计算,以促使问题的便利解决.

例8 已知y=

x-1+

4-x(x、y均为实

又acX0,得ac=b-1.故b-4ac=b-4(b-1)=(b-2).

此为关于b的二次函数,且开口向上,对称轴为b=2.

由b[0,知当b=0时,b-4ac取得最小值4.11 数形结合

数形结合,相互渗透,借助平面直角坐标系或有关平面几何知识,直观转化、使问题得以简洁地解

2

2

2

2

2

数).则y的最大值与最小值的差为( ).

A1-3 B13 C1- D1-(2008年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛试题)

分析 易知y\0,1[x[4.则y=3+2

-x+5x-4=3+2

决.

例

2(x-)+24

2)+[24

.4

11

代数式

9x+4

+

9x-12xy+4y+1+值是竞赛试题)

分析 原式=

4y-16y+20的最小

由1[x[4,知0[-(x-故3[y[6.即[y[与最小值的差为-应选D.9 构造方程法

2

(2005年我爱数学初中生夏令营数学

因此y的最大值

(3x-0)+[0-(-2)]+

(2y-3x)+(1-0)

+

由已知条件,构造一元二次方程,借助判别式,灵活沟通,巧妙转化,可使问题迎刃而解.

例9 实数x、y、z满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3.则z的最大值为

(2004年/信利杯0全国初中数学竞赛试题)分析 由已知,得x+y=5-z,xy=3-z(x+y)=z-5z+3.

知x、y为关于t的一元二次方程t-(5-z)t+z-5z+3=0的两实数根.

则$=(5-z)-4(z-5z+3)\0.解得-1[t[

13

3

2

2

2

2

2

(4-2y)+(3-1).

在平面直角坐标系中,作点A(-2,0)、B(0,3x)、C(1,2y)、D(3,4)(图略).

易知原式=AB+BC+CD\AD.故当点B、C在线段AD上时,原式取得最小值,最小值为(-2-3)+(0-4)=12 利用基本不等式

若a\0,b\0,则ab\2

ab.这一基本不等

式颇有用途,由它常能方便地求解一类最值问题.

例12 已知为x、y、z正数,且有xyz(x+y+z)=1,那么(x+y)(y+z)的最小值是年山东省初中数学竞赛试题)

分析 由已知,得y+(x+z)y=

22

41.

(2007xz

+xz

故z的最大值为,此时x=y=3310 利用函数的性质

借助二次(一次)函数的增减性,并由自变量的取值范围,巧妙突破,化难为易,可促使问题简明、快捷地获解.

例10 已知a<0,b[0,c>0,且

2

故(x+y)(y+z)=y+(x+z)y+xz=xz\2

@xz=2.

xz

b-4ac

即(x+y)(y+z)的最小值是2.

作者简介:令标,男,1962年11月生,安徽省当涂县人,

=b-2ac.求b-4ac的最小值.(2004年/信利杯0全国初中数学竞赛试题)

分析 将已知等式两边平方,整理得ac=acb-ac.

2

2

中学高级教师.主要从事数学教学及数学竞赛解题研究,已多家中学数学期刊(省、国家级)发表文章数十篇.

53

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7nv1.html