分段函数教案

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分段函数 适用学科 适用区域 知识点 数学 沈阳 1、分段函数的含义的认识 2、会作分段函数的图像. 3、利用分段函数图像解决日常生活中的实际问题. 适用年级 高一 课时时长（分钟） 90 教学目标 知识与技能： 1.能根据不同情境，了解分段函数的含义。 2.了解简单的分段函数（函数分段不超过三段），并能运用分段函数求函数值的问题。 3.能作出分段函数的图像，利用它解决生活中的简单应用问题. 过程与方法： 1.经历在分析、思考的基础上，让学生通过观察、感悟分段函数的意义过程，分清函数与分段函数的区别与联系； 2.通过例题的探究，培养学生勤于动脑，乐于探究，主动参与学习的意识，体会数形结合思想在数学学习中的重要性. 3.经过训练题和课堂练习，加深对分段函数的概念、图像的认识，应用，提高分析、解决问题的能力. 情感态度与价值观： 学习过程中进一步体会发现规律，应用规律的学习乐趣，从而提高学习数学的兴趣，提高学生的求知欲、感悟数学的美。 教学重点 1.分段函数的含义的认识 2.会作分段函数的图像. 3.利用分段函数图像解决日常生活中的实际问题. 教学难点 1.分段函数与一般函数的区别与联系。 2.如何作分段函数的图像（步骤、方法及技能）。 3.分段函数的实际应用 教学过程 一、复习预习

回顾一次函数、二次函数、指数函数、对数函数及幂函数的定义域、值域、奇偶行及单调性。

二、知识讲解

本节课主要知识点解析，中高考考点、易错点分析

考点1分段函数定义

在定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数。

2.对应关系：对分段函数来说，在不同自变量的取值范围内其对应关系不同，但分段函数是一个函数.

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3.定义域：分段函数定义域为各段定义域的并集. 4.值域：分段函数值域为各段函数值的并集.

考点2分段函数的图像及求值 1.分段函数图像

（1）画出函数在各段上的图象,再合起来就是分段函数的图象. （2）由分段函数的图象确定函数解析式的方法

1)定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定函数的类型. 2)设函数式：设出函数的解析式.

3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程(组)，求出该段内的解析式. 4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.

2.分段函数求值

分段函数函数值的方法：

1.先确定要求值的自变量属于哪一段区间. 2.然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止. 注：当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.

考点3分段函数求解实际应用问题

(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言. (2)解题关键：建立恰当的分段函数模型.

(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法.

三、例题精析

【例题1】

?2x?2x?[?1,0];?f(x)???1x?(0,2);2x?3x?[2,??);?y【题干】求函数

的定义域、值域.

321【答案】f(x)的定义域为[?1,??), 值域为(?1,3]. 【解析】作图，利用“数形结合”可知。

-1o-112x【例题2】

?|x?1|?2,(|x|?1)?f(x)??1,(|x|?1)1?2f[f(1?x?2)]. 【题干】已知函数求

4【答案】

13【解析】因为

31f(12)?|2?1|?2??2, 所以

3f[f(12)]?f(?2)?14?21?(?3)13. 2【例题3】

y?x对称,

【题干】在同一平面直角坐标系中, 函数y?f(x)和y?g(x)的图象关于直线

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现将y?g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位, 再沿y轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数f(x)的表达式为（ ）

?2x?2(?1?x?0)A.f(x)??x

?2(0?x?2)?2?2x?2(?1?x?0)B.f(x)??x

?2?2(0?x?2)?2x?2(1?x?2)C.f(x)??x

?1(2?x?4)?2?2x?6(1?x?2)D.f(x)??x

?2?3(2?x?4)【答案】A

32y1-2-1o1x1y?x?[?2,0]2x?1, 将其图象沿x轴向右平移2个单位, 再沿y轴【解析】当时,

11y?(x?2)?1?1?22x?1, 所以向下平移1个单位, 得解析式为

2x?2(x??[, 1当x?[0,1]时, y?2x?1, 将其图象沿x轴向右平移2

个单位, 再沿y轴向下平移1个单位, 得解析式y?2(x?2)?1?1?2x?4, 所以f(x)??2x?2(?1?x?0)f(x)?12x?2(x?[0,2]), 综上可得f(x)? ?x?2(0?x?2)?2【例题4】

3??x?x(x?0)【题干】判断函数f(x)??2的单调性.

(x?0)???x【答案】f(x)在R上是单调递增函数.

'2【解析】显然f(x)连续. 当x?0时, f(x)?3x?1?1恒成立, 所以f(x)是单调递'增函数, 当x?0时, f(x)??2x?0恒成立, f(x)也是单调递增函数, 所以f(x)在R上是单调递增函数; 或画图易知f(x)在R上是单调递增函数.

【例题5】

2??x(x?1)(x?0)【题干】判断函数f(x)??2的奇偶性.

???x(x?1)(x?0)【答案】对于任意x?R都有f(?x)?f(x), 所以f(x)为偶函数.

【解析】当x?0时, ?x?0, f(?x)??(?x)(?x?1)?x(x?1)?f(x), 当x?022时, f(?0)?f(0)?0, 当x?0, ?x?0,

f(?x)?(?x)2(?x?1)??x2(x?1)?f(x)因此, 对于任意x?R都有f(?x)?f(x), 所以f(x)为偶函数.

四、课堂运用

【基础】

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1.画出函数y=|x|的图象.

x?0,?x?4,?2.已知函数y=?x2?2x,0?x?4,

??x?2,x?4.?(1)求f{f［f(5)］}的值; (2)画出函数的图象.

3.已知奇函数f(x)(x?R)，当x>0时，f(x)=x(5－x)+1.求f(x)在R上的表达式。 4.已知f(x)??围是．

2

?2a，x＜2，

5.已知f(x)＝?且f(2)＝1，求f(1)的值 2

log?x－1?，x≥2，?a

?(2?a)x?1,x?1?ax,x?1满足对任意x1?x2都有

f(x1)?f(x2)x1?x2?0成立，则a的取值范

6.函数y＝|x－3|－|x＋1|有( )

A．最大值4，最小值0B．最大值0，最小值－4 C．最大值4，最小值－4D．最大值、最小值都不存在 答案和解析：

1.

解析：由绝对值的概念,我们有y=??x,x?0,所以函数图像如图所示。

-x,x?0.?2.∵5>4,∴f(5)=-5+2=-3.∵-3<0,∴［ff(5)］=f(-3)=-3+4=1.∵0<1<4,∴f{f［f(5)］}=f(1)=12-2×1=-1,

即f{f［f(5)］}=-1.

（2）

∴f(0)=0.

又当x＜0时，－x>0,

3.∵f(x)是定义域在R上的奇函数，

故有f(?x)=－x[5－(－x)]+1=－x(5+x)+1。

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再由f(x)是奇函数,

f(x)=－f(x)=x(5+x)－1.∴34.[,2) 2?x(5?x)?1(x?0)?f(x)??0(x?0)?x(5?x)?1(x?0)?

由于对任意x1?x2都有

f(x1)?f(x2)＞0成立，?f(x)在R上

x1?x25.∵f(2)＝loga(22－1)＝loga3＝1，

∴a＝3，∴f(1)＝2×32＝18.

－4 (x≥3)??

6.y＝|x－3|－|x＋1|＝?2－2x (－1＜x＜3)

??4 (x≤－1)

，因此y∈[－4,4]，故选C.

【巩固】

?x2?2x(x?0)1.已知函数f(x)??为奇函数，则f(g(?1))?( )

?g(x)　(x?0) A、－20 B、－18 C、－15 D、17

??x,x?02.设函数f(x)??2若f(a)=4,则实数a=( )

?x,x＞0A.-4或-2 B.-4或2 C.-2或4 D.-2或2

2??1?x,x?13.函数f(x)??2，则f( )的值为( )

??x?x?3,x＞1A. B. C. D.18 4.设函数g(x)?x?2，f(x)??答案及解析 1.答案C

解析：由已知得，g(?1)??f(1)??3，所以，f(g(?1))?f(?3)??f(3)??15 2.答案B

解析：当a≤0时，由-a=4,得a=-4;

2?g(x)?x?4,x?g(x), 求f(x)的值域．

?g(x)?x,x?g(x).

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当a＞0时，由a2=4,得a=2(a=-2舍去).综上a=-4或2. 3.答案C

解析：∵x＞1，?f(3)?3?3?3?3,又＜1，所以f(4.【解析】令x?g?x?,解得x??1或

．

2131118)?f()?1?()2? f(3)339x?22?x?x?2,x?(??,?1)?(2,??)?g(x)?x?4,x?g(x),???2f(x)???∴ ?x?x?2,x?[?1,2]?g(x)?x,x?g(x).127?(x?)?,x?(??,?1)?(2,??)??24???(x?1)2?9,x?[?1,2]??24

∴当x?(??,?1)?(2,??)时，f(x)?(2,??)；当x?[?1,2]时，f(x)?[?∴f(x)的值域为[?9,0]； 49,0]?(2,??)． 4【拔高】

1.已知实数a?0，函数f?x????2x?a??x?2a0?x?cc?x?1x?1 ，若f?1?a??f?1?a?，求a的值 x?19

，满足f(c2)＝ ，

8

?cx?1?2.已知函数f?x????xc2?2?1?答案及解析：

1.解： 分类讨论：

(1)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1. 这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a； f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.

(1)求常数c的值；(2)解不等式f(x)＞2＋1. 8

3

由f(1－a)＝f(1＋a)，得2－a＝－1－3a，解得a＝－，不符合题意，舍去．

2(2)当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1， 这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a； f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，

3

由f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，解得a＝－. 43

综合(1)，(2)知a的值为－. 4

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2.解 (1)依题意知0＜c＜1，∴c2＜c，

991

∵f(c2)＝，∴c3＋1＝，所以：c＝

882

?(2)由(1)得f(x)＝?

?2

由f(x)＞11x＋1，0＜x＜，22

－4x

1

＋1，≤x＜1，

2

2

＋1，得 8

11221

当0＜x＜时，x＋1＞＋1，∴＜x＜.

228421215－

当≤x＜1时，24x＋1＞＋1，∴≤x＜. 2828综上可知，

25

＜x＜. 48

??225

∴f(x)＞＋1的解集为?x?＜x＜

88??4?

??

?. ??

课程小结

1、分段函数：即在函数的定义域内，对于自变量x的值的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫分段函数.

2、作分段函数的图像的步骤和方法： （1）化简函数解析式。 （2）写出分段函数解析式。

（3）作分段函数的图像:在不同的定义域内作出相应的函数图像。 3、分段函数与一般函数的区别与联系：

①函数h(x)是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.说明:分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;②分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集;

一般函数的图像是不间断的（连续的），而分段函数的图像可能连续，也可能间断。

课后作业

【基础】

?2?x?1(x?0)?1.．设函数f(x)??1, 若f(x0)?1, 则x0得取值范围是（ ）

2?(x?0)?xA.(?1,1)B.(?1,??) C.(??,?2)?(0,??) D.(??,?1)?(1,??)

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2?(x?1)?(x?1)2.．设函数f(x)??, 则使得f(x)?1的自变量x的取值范围为（ ）

??4?x?1(x?1)A．(??,?2]?[0,10] B. (??,?2]?[0,1] C. (??,?2]?[1,10] D. [?2,0]?[1,10]

3.国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )．

A．2 800元 C．3 800元

B．3 000元 D．3 818元

4.某市出租车的计价标准是：3 km以内(含3 km)10元；超过3 km但不超过18 km的部分1元/km；超出18 km的部分2元/km.

(1)如果某人乘车行驶了20 km，他要付多少车费？某人乘车行驶了x km，他要付多少车费？

(2)如果某人付了22元的车费，他乘车行驶了多远？

1?x?,x?A,?f(x)?2?11A?[0,)B?[,1]?5.设集合，函数?2(1?x),x?B.若x0?A，且2，2， 则x0的取值范围是（ ） f[f(x]A0)? A．(0,] B．(,] C．(,) D．[0,]

答案及解析 1.答案D

解析：【解析1】

首先画出y?f(x)和y?1的大致图像, 易知f(x0)?1时, 所对应的x0的取值范围是(??,?1)?(1,??).

【解析2】

因为f(x0)?1, 当x0?0时, 2?x0141142114238?1?1, 解得x0??1, 当x0?0时, x0?1,

12解得x0?1, 综上x0的取值范围是(??,?1)?(1,??). 故选D.

2.答案A

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解析：当x?1时, f(x)?1?(x?1)2?1?x??2或x?0, 所以x??2或0?x?1, 当x?1时, f(x)?1?4?x?1?1?所述, x??2或0?x?10, 故选A项.

3.答案C

解析：设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，

0 ?0≤x≤800?，??

－800?×14% ?8004 000?.448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3 800.

4.(1)乘车行驶了20 km，付费分三部分，前3 km付费10(元)，3 km到18 km付费 (18－3)×1＝15(元)，18 km到20 km付费(20－18)×2＝4(元)，总付费10＋15＋4＝29(元)． 设付车费y元，当018时，车费y＝25＋2(x－18)＝2x－11.

x?1?3?x?10, 所以1?x?10, 综上

(2)付出22元的车费，说明此人乘车行驶的路程大于3 km，且小于18 km，前3 km付费10元，余下的12元乘车行驶了12 km，故此人乘车行驶了15 km.

5.答案C

解析若x0?A，则f(x0)?x0?11?[,1)?B， 2211??0?x?0?x?00??11??22∵f[f(x0)]?A，∴?，∴?，∴?x0?．

42?0?2[1?(x?1)]?1?1?x?100???22?42【巩固】

?x?2(x?0)?1.已知函数f(x)??3(0?x?1),求f{f[f(a)]}(a<0)的值。

?logx(x?1)1??3?2x?3(x?0)?2.求函数y??x?3(0?x?1)的最小值

??x?5(x?1)? 品优生个性化教案

答案及解析

1.∵a<0,

∴f(a)?2a, ∵0<2<1,

∴f[f(a)]=f(2a)=3, ∵3>1,

∴f{f[f(a)]}=f(3)=log13a13=－,

22.方法1 先求每个分段区间上的最值，后比较求值。 当x≤0时,y=f(x)=2x+3,此时显然有y当0

f(0)=3;

max=f(1)=4

max=4.

当x>1时，y=f(x)=－x+5，此时y无最大值.比较可得当x=1时,y方法2 利用函数的单调性

由函数解析式可知，f(x)在x∈(∞,0)上是单调递增的，在x∈(0,1)上也是递增的，而在x∈(1,+∞)上是递减的，

由f(x)的连续性可知f(x)当x=1时有最大值4 方法3 利用图像，数形结合求得 作函数y=f(x)的图像（图1）， 显然当x=1时ymax=4.

说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得.

Y 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 x 【拔高】

1.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20?x?200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（1）当0?x?200时，求函数v?x?的表达式；

（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f?x??x?v?x?可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

答案及解析

1.（1）由题意可得：

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当0?x?20时，v(x)?60； 当20?x?200时，设v(x)?ax?b， 显然v(x)?ax?b在?20,200?是减函数，

1?a????200a?b?0?3由已知得?，解得?，

?20a?b?60?b?200?3?0?x?20,?60,?∴v(x)??1

(200?x),20?x?200.??30?x?20,?60x,?（2）由（1）可得f(x)??1

x(200?x),20?x?200.??3当0?x?20时，f(x)max?f(20)?1200； 当20?x?200时，

1110000f(x)?x?200?x???(x?100)2?，

33310000∴当20?x?200时，f(x)max?f(100)?．

310000?3333， 综上f(x)在区间?0,200?上取得最大值3答：当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

课后评价

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7nsv.html