八年级数学上册 期末试卷培优测试卷

八年级数学上册期末试卷培优测试卷

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．

（1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程；

（2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）．

【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM．

【解析】

【分析】

（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN

=60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到

MN=BM+NC．

（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．

【详解】

解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．

∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，

∴∠DBC=∠DCB=30°

∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，

在△MBD与△ECD中，

∵BD CD

MBD ECD BM CE

，

∴△MBD≌△ECD（SAS），

∴MD=DE，∠BDM=∠CDE

∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，

∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，

在△DMN与△DEN中，

∵MD DE

MDN EDN DN DN

，

∴△DMN≌△DEN（SAS），

∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．

（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．

理由：在CA上截取CE=BM．∵△ABC是正三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，

又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，

∴∠MBD=∠DCE=90°，

在△BMD和△CED中

∵BM CE

MBD ECD BD CD

，

∴△BMD≌△CED（SAS），

∴DM= DE，∠BDM=∠CDE

∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，

∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，

即：∠MDN =∠NDE=60°，

在△MDN和△EDN中

∵ND ND

EDN MDN ND ND

，

∴△MDN≌△EDN（SAS），

∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

2．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P 在线段BC 上以6cm /s 的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 向A 点运动．

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？

（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？

【答案】（1）①△BPD ≌△CQP ，理由见解析；②V 7.5Q =（厘米/秒）；（2）点P 、Q 在AB 边上相遇，即经过了

803秒，点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇． 【解析】

【分析】

（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD ，再根据∠B ＝∠C 证得

△BPD ≌△CQP ；

②根据V P ≠V Q ，使△BPD 与△CQP 全等，所以CQ ＝BD ＝10，再利用点P 的时间即可得到点Q 的运动速度；

（2）根据V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程，设运动x 秒，即可列出方程

1562202x x ，解方程即可得到结果. 【详解】

（1）①因为t ＝1（秒），

所以BP ＝CQ ＝6（厘米）

∵AB ＝20，D 为AB 中点，

∴BD ＝10（厘米）

又∵PC ＝BC ﹣BP ＝16﹣6＝10（厘米）

∴PC ＝BD

∵AB ＝AC ，

∴∠B ＝∠C ，

在△BPD 与△CQP 中， BP CQ B C PC BD =??∠=∠??=?

,

∴△BPD≌△CQP（SAS），

②因为

V P≠V Q，

所以BP≠CQ，

又因为∠B＝∠C，

要使△BPD与△CQP全等，只能BP＝CP＝8，即△BPD≌△CPQ，故CQ＝BD＝10．

所以点P、Q的运动时间

84

663

BP

t（秒），

此时

10

7.5

4

3

Q

CQ

V

t（厘米/秒）．

（2）因为V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程

设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得15

6220 2

x x，

解得x=80

3

(秒)

此时P运动了80

6160

3

（厘米）

又因为△ABC的周长为56厘米，160＝56×2+48，

所以点P、Q在AB边上相遇，即经过了80

3

秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．

【点睛】

此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.

3．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a﹣8b+20＝0．

（1）求a，b的值；

（2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°，

①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为；

②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标．

【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．

【解析】

【分析】

（1）利用非负数的性质解决问题即可．

（2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．

②分两种情形：如图2中，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP=90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】

（1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0

∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0

∴a＝﹣2，b＝4．

（2）①如图1中，

∵∠APB＝45°，∠POB＝90°，

∴OP＝OB＝4，

∴P（4，0）．

故答案为（4，0）．

②∵a＝﹣2，b＝4

∴OA＝2OB＝4

又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45°

∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90°

①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．

∴∠PCB＝∠BOA＝90°，

又∵∠APB＝45°，

∴∠BAP＝∠APB＝45°，

∴BA＝BP，

又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，

∴∠ABO＝∠BPC，

∴△ABO≌△BPC（AAS），

∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，

∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，

∴P（4，2）．

②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．

∴∠PDA＝∠AOB＝90°，

又∵∠APB＝45°，

∴∠ABP＝∠APB＝45°，

∴AP＝AB，

又∵∠BAD+∠DAP＝90°，

∠DPA+∠DAP＝90°，

∴∠BAD＝∠DPA，

∴△BAO≌△APP（AAS），

∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，

∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，

∴P（2，﹣2）．

综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

4．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．

（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；

（2）如图2，若∠AOB=120o，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理

由．

【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析

【解析】

【分析】

(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．

(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．

【详解】

解：（1）结论：CF=CG；

证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，

∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；

（2）CF=CG.理由如下：如图，

过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，

∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120o，

∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），

∴∠AOC=∠BOC=60o（角平分线的性质），

∵∠DCE=∠AOC，

∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60o，

∴∠MCO=90o-60o =30o，∠NCO=90o-60o =30o，

∴∠MCN=30o+30o=60o，

∴∠MCN=∠DCE，

∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，

∴∠MCF=∠NCG，

在△MCF和△NCG中，

CMF CNG

CM CN

MCF NCG

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

∴△MCF≌△NCG（ASA），

∴CF=CG（全等三角形对应边相等）；

【点睛】

本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．

5．如图，ABC

?是等边三角形，点D在边AC上（“点D不与,A C重合），点E是射线BC上的一个动点（点E不与点,B C重合），连接DE，以DE为边作作等边三角形DEF

?，连接CF.

（1）如图1，当DE的延长线与AB的延长线相交，且,C F在直线DE的同侧时，过点D作//

DG AB，DG交BC于点G，求证：CF EG

=；

（2）如图2，当DE反向延长线与AB的反向延长线相交，且,C F在直线DE的同侧时，求证：CD CE CF

=+；

（3）如图3，当DE反向延长线与线段AB相交，且,C F在直线DE的异侧时，猜想CD、CE、CF之间的等量关系，并说明理由.

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）CF=CD+CE，理由见详解.

【解析】

【分析】

(1)由ABC

?是等边三角形，//

DG AB，得∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，CDG

?是等边三角形，易证? GDE?? CDF(SAS)，即可得到结论；

(2)过点D作DG∥AB交BC于点G，易证? GDE?? CDF(SAS)，即可得到结论；

(3)过点D作DG∥AB交BC于点G，易证? GDE?? CDF(SAS)，即可得到结论.

【详解】

（1）∵ABC

?是等边三角形，//

DG AB，

∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，

∴CDG

?是等边三角形，

∴DG=DC.

∵DEF

?是等边三角形，

∴DE=DF，∠EDF=60°，

∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF，即：∠GDE=∠CDF，

在? GDE和? CDF中，

∵

DE DF

GDE CDF

DG DC

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴? GDE?? CDF(SAS)，

∴CF EG

=；

（2）过点D作DG∥AB交BC于点G，如图2，

∵ABC ?是等边三角形，//DG AB ，

∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，

∴CDG ?是等边三角形，

∴DG=DC.

∵DEF ?是等边三角形，

∴DE=DF ，∠EDF=60°，

∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ，

在? GDE 和? CDF 中，

∵DE DF GDE CDF DG DC =??∠=∠??=?

，

∴? GDE ? ? CDF(SAS)，

∴CF GE =，

∴CD CG CE GE CE CF ==+=+

（3）CF =CD +CE ，理由如下：

过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图3，

∵ABC ?是等边三角形，//DG AB ，

∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，

∴CDG ?是等边三角形，

∴DG=DC=GC.

∵DEF ?是等边三角形，

∴DE=DF ，∠EDF=60°，

∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ，

在? GDE 和? CDF 中，

∵DE DF GDE CDF DG DC =??∠=∠??=?

，

∴? GDE ? ? CDF(SAS)，

∴CF GE ==GC+CE=CD+CE.

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等

三角形，是解题的关键.

二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1）．

（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB的长；

（2）若Rt△ABC中，点C在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C后不用计算写出你能写出的点C的坐标；

（3）在x轴上是否存在点P，使PA=PB且PA+PB最小？若存在，就求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．

【答案】（1）AB=52）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P．

【解析】

【分析】

（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；

（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；

（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．

【详解】

解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，

由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=5

（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．

②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．

③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．

（3）不存在这样的点P．

作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，

作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，

由图可以看出两线交于第一象限．

∴不存在这样的点P．

【点睛】

本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．

7．（问题情境）学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①，△ABC 中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.根据SAS可证得到△ADC≌△EDB，从而根据“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

（直接运用）如图②，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，AF是ACD的边CD上中线.求证：BE=2AF.

（灵活运用）如图③，在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥DF，DE交AC于点E，DF交AB于点F，连接EF，试判断以线段AE、BF、EF为边的三角形形状，并证明你的结论.【答案】（1）2＜AD＜10；（2）见解析（3）为直角三角形，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据△ADC≌△EDB，得到BE=AC=8，再根据三角形的构成三角形得到AE的取值，再根据D为AE中点得到AD的取值；

（2）延长AF到H，使AF=HF，故△ADF≌△HCF，AH=2AF，由AB⊥AC，AD⊥AE，得到

∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，根据∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，得到∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，再根据AB=AC，AD=AE即可利用SAS证明

△BAE≌△ACH，故BE=AH,故可证明BE=2AF.

（3）延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，证明△DBF≌△DAG，故得到FD=GD，BF=AG,由DE⊥DF，得到EF=EG,再求出∠EAG=90°，利用勾股定理即可求解.

【详解】

（1）∵△ADC≌△EDB，

∴BE=AC=8，

∵AB=12，

∴12-8＜AE＜12+8，

即4＜AE＜20，

∵D为AE中点

∴2＜AD＜10；

（2）延长AF到H，使AF=HF，

由题意得△ADF≌△HCF，故AH=2AF，

∵AB⊥AC，AD⊥AE，

∴∠BAE+∠CAD=180°，

又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，

∵∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，

∴∠ACH+∠CAD=180°，

故∠BAE= ACH，

又AB=AC，AD=AE

∴△BAE≌△ACH（SAS），

故BE=AH,又AH=2AF

∴BE= 2AF.

（3）以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形，理由如下：

延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，

由题意得△DBF≌△ADG，

∴FD=GD，BF=AG,

∵DE⊥DF，

∴DE垂直平分GF,

∴EF=EG,

∵∠C=90°，

∴∠B+∠CAB=90°，

又∠B=∠DAG，

∴∠DAG +∠CAB=90°

∴∠EAG=90°，

故EG2=AE2+AG2，

∵EF=EG, BF=AG

∴EF2=AE2+BF2，

则以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形.

【点睛】

此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，根据垂直平分线与勾股定理进行求解.

8．（1）如图①，D是等边△ABC的边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边，在BC上方作等边△DCF，连接AF，你能发现AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；

（2）如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；

（3）Ⅰ.如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方和下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′，探究AF，BF′与AB有何数量关系？并证明你的探究的结论；

Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．

【答案】（1）AF=BD，理由见解析；（2）AF与BD在（1）中的结论成立，理由见解析；（3）Ⅰ. AF+BF′=AB，理由见解析，Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）由等边三角形的性质得BC=AC，∠BCA=60°，DC=CF，∠DCF=60°，从而得

∠BCD=∠ACF，根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；

（2）根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；

（3）Ⅰ．易证△BCD≌△ACF（SAS），△BCF′≌△ACD（SAS），进而即可得到结论；Ⅱ．证明△BCF′≌△ACD，结合AF=BD，即可得到结论．

【详解】

（1）结论：AF=BD，理由如下：

如图1中，∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠BCA=60°，

同理知，DC=CF，∠DCF=60°，

∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即：∠BCD=∠ACF，

在△BCD和△ACF中，

∵

BC AC

BCD ACF DC FC

=

∠=∠

=

?

?

?

?

?

，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴BD=AF；

（2）AF与BD在（1）中的结论成立，理由如下：如图2中，∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠BCA=60°，

同理知，DC=CF，∠DCF=60°，

∴∠BCA+∠DCA=∠DCF+∠DCA，即∠BCD=∠ACF，在△BCD和△ACF中，

∵

BC AC

BCD ACF DC FC

=

∠=∠

=

?

?

?

?

?

，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴BD =AF ；

（3）Ⅰ．AF +BF ′=AB ，理由如下：

由（1）知，△BCD ≌△ACF （SAS ），则BD =AF ；

同理：△BCF ′≌△ACD （SAS ），则BF ′=AD ，

∴AF +BF ′=BD +AD =AB ；

Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF =AB +BF ′，理由如下：

同理可得：BCF ACD ∠=∠′，F C DC =′，

在△BCF ′和△ACD 中，

BC AC BCF ACD F C DC =∠??=∠=???

′

′， ∴△BCF ′≌△ACD （SAS ），

∴BF ′=AD ，

又由（2）知，AF =BD ，

∴AF =BD =AB +AD =AB +BF ′，即AF =AB +BF ′．

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形全等的判定和性质定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质定理，是解题的关键．

9．如图，在等边三角形ABC 的外侧作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，其中BD 交直线AP 于点E ．

（1）依题意补全图形；

（2）若∠PAC ＝20°，求∠AEB 的度数；

（3）连结CE ，写出AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）补图见解析；（2）60°；（3）CE ＋AE ＝BE ．

【解析】

【分析】

（1）根据题意补全图形即可；

（2）根据轴对称的性质可得AC ＝AD ，∠PAC ＝∠PAD=20°，根据等边三角形的性质可得AC ＝AB ，∠BAC ＝60°，即可得AB ＝AD ，在△ABD 中，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D 的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠AEB 的度数；

（3）CE ＋AE＝BE，如图，在BE上取点M使ME＝AE，连接AM，设∠EAC＝∠DAE＝x，类比（2）的方法求得∠AEB＝60°，从而得到△AME为等边三角形，根据等边三角形的性质和SAS即可判定△AEC≌△AMB，根据全等三角形的性质可得CE＝BM，由此即可证得CE ＋AE＝BE．

【详解】

(1)如图：

（2）在等边△ABC中，

AC＝AB，∠BAC＝60°

由对称可知：AC＝AD，∠PAC＝∠PAD，

∴AB＝AD

∴∠ABD＝∠D

∵∠PAC＝20°

∴∠PAD＝20°

∴∠BAD＝∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°

()

1

18040

2

D BAD

??

∴∠=-∠=.

∴∠AEB＝∠D+∠PAD＝60°

（3）CE＋AE＝BE．

在BE上取点M使ME＝AE，连接AM，

在等边△ABC中，

AC＝AB，∠BAC＝60°

由对称可知：AC＝AD，∠EAC＝∠EAD，

设∠EAC＝∠DAE＝x．

∵AD＝AC＝AB，

∴()

1

180260

2

D BAC x x

??

∠=-∠-=-

∴∠AEB＝60－x＋x＝60°．

∴△AME为等边三角形．

∴AM=AE，∠MAE=60°，

∴∠

BAC=∠MAE=60°，

即可得∠BAM=∠CAE.

在△AMB和△AEC中，

AB AC

BAM CAE

AM AE

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△AMB≌△AEC.

∴CE＝BM.

∴CE＋AE＝BE．

【点睛】

本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解决第三问时，通过做辅助线，把AE转化到BE 上，再证明CE＝BM即可得结论．

10．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段

．．．．叫做这个三角形的三分线.

（1）图①是顶角为36?的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36?的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；

（2）图③是顶角为45?的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45?的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数.

（3）ABC中，30

B

∠=?，AD和DE是ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD BD

=，DE CE

=，设c x

∠=?，则x所有可能的值为_________.

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）20或40.

【解析】

【分析】

(1)作底角的平分线，再作底边的平行线，即可得到三分线；

(2)过底角定点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和一个直角三角形，然后再构造一个等腰直角三角形，即可.

(3)根据题意，先确定30°角然后确定一边为BA，一边为BC，再固定BA的长，进而确定D点，分别考虑AD为等腰三角形的腰和底边，画出示意图，列出关于x的方程，即可得到答案.

【详解】

（1）如图所示：

（2）如图所示：

（3）①当AD=AE时，如图4，

∵DE CE

=，c x

∠=?，

∴∠EDB=x°，

∴∠ADE=∠AED=2x°，

∵AD BD

=，

∴∠BAD=∠B=30°，

∴30+30=2x+x，

解得：x=20；

②当AD=DE时，如图5，

∵DE CE

=，c x

∠=?，

∴∠EDB=x°，

∴∠DAE=∠AED=2x°，

∵AD BD

=，

∴∠BAD=∠B=30°，

∴30+30+2x+x=180，

解得：x=40.

③当AE=DE时，则∠EAD=∠EDA=

1802

(90)

2

x

x

-

=-，

∴∠ADC=∠EDA+∠EDC=(90-x)+x=90°

又∵∠ADC=30+30=60°，

∴这种情况不存在.

∴x所有可能的值为20或40.

故答案是：20或40

图4 图5

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理的综合应用，分类讨论，画出图形，是解题的关键.

三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）

11．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B中纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．

方法1：s=____________________；方法2：s=________________________；

（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：()222

,,

a b a b ab

++之间的等量关系．

_______________________________________________________；

（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：225,11a b a b +=+=，求ab 的值；

②已知()()22

202020195a a -+-=，则()()20202019a a --的值是____． 【答案】（1）()2a b +，222a ab b ++；（2）()2

222a b a ab b +=++；（3）①7ab =，②2-

【解析】

【分析】

（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；

（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b ）2，a 2+b 2，ab 之间的等量关系；

（3）①依据a+b=5，可得（a+b ）2=25，进而得出a 2+b 2+2ab=25，再根据a 2+b 2=11，即可得到ab=7；②设2020-a=x ，a-2019=y ，即可得到x+y=1，x 2+y 2=5，依据（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，即可得出xy=

()222()2

x y x y +-+=2-，进而得到()()20202019a a --=2-． 【详解】 解：（1）图2大正方形的面积=()2a b +，图2大正方形的面积=222a ab b ++

故答案为：()2a b +，222a ab b ++；

（2）由题可得()2a b +，22a b +，ab 之间的等量关系为：()2222a b a ab b +=++故答案为：()2222a b a ab b +=++；

（3）①()()2222a b a b ab +-+=

2251114ab ∴=-=

7ab ∴=

②设2020-a=x ，a-2019=y ，则x+y=1，

∵()()22

202020195a a -+-=，

∴x 2+y 2=5，

∵（x+y ）2=x 2+2xy+y 2， ∴xy=()222()2

x y x y +-+=-2， 即()()202020192a a --=-．

【点睛】

本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

12．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”．

例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”．

（1）直接写出：最小的“和平数”是 ，最大的“和平数”是 ；

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