高中数学竞赛专题练习 - 排列组合

高中数学竞赛专题讲座之 排列组合 二项式定理和概率

一． 排列组合二项式定理

1 (2005年浙江)设1?x?x2nn??n求a2?a4???a2n的值（ ） ?a0?a1x???a2nx2n，

3n?13n?1 （A）3 （B）3?2 （C） （D）

22【解】： 令x?0 得 a0?1；（1） 令x??1 得 a0?a1?a2?a3???a2n?1； （2）

n令x?1 得 a0?a1?a2?a3???a2n?3； （3）

（2）＋（3）得 2(a0?a2?a4???a2n)?3?1，故 a0?a2?a4???a2nn3n?1?，

2再由（1）得 a2?a4???a2n3n?1?。 ?选 【 C 】

22、（2004 全国）设三位数n?abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有 （ ）

A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个 解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即a,b,c?{1,2,...,9}

（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数码都相同，所

1以，n1?C9?9。

（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2个不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有2C9。但当大数为底时，设a>b，必须满足b?a?2b。此时，不能构成三角形的数码是 a b 9 4，3 2，1 8 4，3 2，1 7 3，2 1 6 3，2 1 5 1，2 4 1，2 3 1 2 1 221 共20种情况。 同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有C3种情况。

222故n2?C3(2C9?20)?6(C9?10)?156。 综上，n?n1?n2?165。

3．（2005四川）设A?{1,2,?,10}，若“方程x?bx?c?0满足b,c?A，且方程至少

2有一根a?A”，就称该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为

（A）8 （B）10 （C）12 （D）14

解：，由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为?1时，有9个满足题意的“漂亮方程”，当一根为?2时，有3 个满足题意的“漂亮方程”。共有12个，故选C。 4．（2005四川）设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的任一排列，f是{1,2,3,4}到{1,2,3,4}的映射，

a2 a3 a4 ??a1 且满足f(i)?i，记数表??。若数表M,N的对应位置上至少

f(a) f(a) f(a) f(a)1234??有一个不同，就说M,N是两张不同的数表。则满足条件的不同的数表的张数为 （ ）

（A）144 （B）192 （C）216 （D）576

解：对于a1,a2,a3,a4的一个排列，可以9个映射满足f(i)?i，而a1,a2,a3,a4共有

4A4?24个排列，所以满足条件的数表共有24?9?216张，故选C。

5．(2005江西)连结正五边形A1A2A3A4A5的对角线交另一个正五边形B1B2B3B4B5，两次连结正五边形B1B2B3B4B5的对角线，又交出一个正五边形C1C2C3C4C5（如图），以图中线段为边的三角形中，共有等腰三角形的个数为 ( )

（A）50 （B）75 （C）85 （D）100

解：对于其中任一点P，以P为“顶”（两腰的公共点）的等腰三角形的个数记为[P]则

[A1]?6, (?A1A2A5,?A1B3B4,?A1B2B5,?A1A3A4,?A1A2B5,?A1A5B2).

[B1]?9, (?B1A3A4,?B1B2B5,?B1B3B4,?B1C3C4,?B1B2C5,?B1C2B5,?B1A2A5,?B1A3B4,?B1A4B3)[C1]?2, (?C1B3B4,?C1B2B5), 由于图中没有等边三角形，则每个等腰三角形恰有一个

“顶”。据对称性可知[Ai]?6, [Bi]?9, [Ci]?2, i?1,2,3,4,5.因此等腰三角形共有

5?(6?9?2)?85个.

6. (2005全国)将关于x的多项式f(x)?1?x?x?x???x项

式

2319?x20表为关于y的多

中

g(y)?a0?a1y?a2y2???a19y19?a20y20,其

y?x?4.则

a0?a1???a20521?1?.

6解：由题设知，f(x)和式中的各项构成首项为1，公比为?x的等比数列，由等比数

(y?4)21?1(?x)21?1x21?1,取?.令x?y?4,得g(y)?列的求和公式，得：f(x)?y?5?x?1x?1y?1,

有a0?a1?a2???a20521?1?g(1)?.

67.如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1,a2,a3,?,若an?2005,则a5n?5200.

m解：∵方程x1?x2???xk?m的非负整数解的个数为Cm?k?1.而使m?1x1?1,xi?0(i?2)的整数解个数为Cm?k?2.现取m?7，可知，k位“吉祥数”的个数为

P(k)?Ck6?5.

66∵2005是形如2abc的数中最小的一个“吉祥数”，且P(1)?C6?1,P(2)?C7?7,

P(3)?C86?28,对于四位1abc，“吉祥数”其个数为满足a?b?c?6的非负整数解个数，

6即C6?3?1?28个。

∵2005是第1+7+28+28+1＝65个“吉祥数”，即a65?2005.从而n?65,5n?325. 又P(4)?C?84,P(5)?C69610?210,而?P(k)?330.

k?15∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000,60100,60010,60001,52000.∴第325个“吉祥数”是52000，即a5n?52000.

8．（2004四川）某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号，则在这90000个牌照中数字9至少出现一个，并且各数字之和是9的倍数的车牌照共有 4168 个.

二、概率部分

1. （2006吉林预赛）在6个产品中有4个正品，2个次品，现每次取出1个作检查（检查完后不再放回），直到两个次品都找到为止，则经过4次检查恰好将2个次品全部都找到的概率是 （ D ）

A. 1/15 B. 2/15 C. 1/5 D. 4/15 2．（2006年南昌市）甲、乙两人进行乒乓球单打决赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军),对于每局比赛,甲获胜的概率为概率为____

21,乙获胜的概率为,则爆出冷门(乙获冠军)的3317______. 813．（2006年浙江省预赛）在1,2,?,2006中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。

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