2009年全国高考理科数学试题及答案-福建卷

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2009年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学（理工农医类）

一. 选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。 1. 函数f(x) sinxcosx最小值是 A．-1 B. 1．【答案】：B [解析]∵f(x)

11

C. D.1

22

11

sin2x∴f(x)min .故选B 22

2

2.已知全集U=R，集合A {x|x 2x 0}，则ðUA等于 A． { x ∣0 x 2} B { x ∣0<x<2} C． { x ∣x<0或x>2} D { x ∣x 0或x 2} 2．【答案】：A

[解析]∵计算可得A xx 0或x 2 ∴CuA x0 x 2 .故选A

3.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 =6，a1=4， 则公差d等于 A．1 B 3．【答案】：C [解析]∵S3 6

5

C.- 2 D 3 3

3

(a1 a3)且a3 a1 2d a1=4 d=2.故选C 2

4.

(1 cosx)dx等于

2 2

A． B. 2 C. 4．【答案】：D

-2 D. +2

[解析]∵原式 x sinx

( sin) [ sin( )] 2.故选D

x2222 2

x2

5.下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2 （0， ），当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)

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的是 A．f(x)=

1x

B. f(x)=(x 1)2 C .f(x)=e D x

f(x) ln(x 1)

5．【答案】：A

[解析]依题意可得函数应在x (0, )上单调递减，故由选项可得A正确。

6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A．2 B .4 C. 8 D .16

6．【答案】：C

[解析]由算法程序图可知，在n =4前均执行”否”命令，故n=2×4=8. 故选C

7.设m，n是平面 内的两条不同直线，l1，l2是平面 内的两条相交直线，则 // 的一个充分而不必要条件是 A.m // 且l //

B. m // l 且n // l2

C. m // 且n // D. m // 且n // l2 7．【答案】：B

[解析]若m//l1,n//l2,m.n , 1. 2 ，则可得 // .若 // 则存在

1 2,m/l/2n, /l/

8.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A．0.35 B 0.25 C 0.20 D 0.15 8．【答案】：B

[解析]由随机数可估算出每次投篮命中的概率p

242

则三次投篮命中两次为605

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2

C3 P2 (1 P) 0.25故选B

9.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线， a c ∣a∣=∣c∣,则∣b c∣的值一定等于

A． 以a，b为两边的三角形面积 B 以b，c为两边的三角形面积 C．以a，b为邻边的平行四边形的面积 D 以b，c为邻边的平行四边形的面积 9．【答案】：C

[解析]依题意可得b c b c cos(b,c) b a sin(a,c) S 故选C.

10.函数f(x) ax bx c(a 0)的图象关于直线x

2

b

对称。据此可推测，对任意的2a

非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m f(x) nf(x) p 0的解集都不可能是 A. 1,2 B 1,4 C 1,2,3,4 D 1,4,16,64 10. 【答案】：D

[解析]本题用特例法解决简洁快速，对方程m[f(x)]2 nf(x) P 0中m,n,p分别赋

值求出f(x)代入f(x) 0求出检验即得.

第二卷 （非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。 11.若

2

a bi（i为虚数单位，a,b R ）则a b _________ 1 i

11. 【答案】：2 解析：由

22(1 i)

a

bi 1 i，所以a 1,b 1,故a b 2。 1 i(1 i)(1 i)

12．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示。记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清。若记分员计算失误，则数字x应该是___________

12. 【答案】：1

解析：观察茎叶图，

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可知有91

88 89 89 92 93 90 x 92 91 94

x 1。

9

13.过抛物线y2 2px(p 0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p ________________ 13. 【答案】：2

解析：由题意可知过焦点的直线方程为y

x

p

，联立有2

y2 2px

p2 2

8 p 2。 0，又AB p x 3px

4 y x

2

14.若曲线f(x) ax3 lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_____________. 14. 【答案】：( ,0)

解析：由题意可知f(x) 2ax 所以2ax

2

'

2

1

，又因为存在垂直于y轴的切线， x

11

0 a 3(x 0) a ( ,0)。 x2x

15.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；

②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次

已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________. 15. 【答案】：5

解析：由题意可设第n次报数，第n 1次报数，第n 2次报数分别为an，an 1，an 2，所以有an an 1 an 2，又a1 1,a2 1,由此可得在报到第100个数时，甲同学拍手5次。 三解答题 16.（13分）

从集合 1,2,3,4,5 的所有非空子集中，等可能地取出一个。 ．．．．

（1） 记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率； （2） 记所取出的非空子集的元素个数为 ，求 的分布列和数学期望E

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16、解：（1）记”所取出的非空子集满足性质r”为事件A

12345

基本事件总数n=C5=31 C5 C5 C5 C5

事件A包含的基本事件是{1,4,5}、{2，3，5}、{1，2，3，4} 事件A包含的基本事件数m=3 所以p(A)

m3 n31

（错误！未找到引用源。）依题意， 的所有可能取值为1，2，3，4，5

13

C5C5210C5510 ， p( 2) ， p( 3) 又p( 1)

3131313131315C545C51

p( 4) ， p( 5)

31313131

故 的分布列为：

从而E 1 +2 +3 +4 +5

313131313131

17（13分）

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD 平面ABCD，

NB 平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点

（1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值

（2） 在线段AN上是否存在点S，使得ES 平面AMN？若存在，求线段

AS的长；若不存在，请说明理由

17.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标D xyz

依题意，得D(0,0,0)A(1,0,0)M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E(,1,0)。

1

NE ( ,0, 1),AM ( 1,0,1)

2

NE AM ， cos NE,AM |NE| |AM|

1

2

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所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为

10

（2）假设在线段AN上存在点S，使得ES 平面AMN.

AN (0,1,1),

可设AS AN (0, , ),

又EA (, 1,0), ES EA AS (, 1, ).

1

2

1

2

1 ES AM 0,

0,

由ES 平面AMN，得 即 2

ES AN 0, ( 1) 0.

111

故 ，此时AS (0,,),|AS| .

222经检验，当AS

时，ES 平面AMN. . 2

故线段AN上存在点S，使得

ES 平面AMN，此时AS 18、（本小题满分13分）

如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动 赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数 y=Asin x(A>0,

>0) x [0,4]的图象，且图象的最高点为

S(3，；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛 运动员的安全，限定 MNP=120 （I）求A ,

o

的值和M，P两点间的距离；

（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想， 解法一

（Ⅰ）依题意，有A

当 x 4是， y T2

， 。 y x 3，又T

4 66

2 3 3

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M(4,3) 又p(8,3)

MP

5

（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5， 设∠PMN=

，则0°< <60° 由正弦定理得

NP

MPNPMN

sin1200sin sin(600

)

, MN 0 )

1 0 ) sin ) 2故NP MN

600) 0°< <60°， 当 =30°时，折线段赛道MNP最长

亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长 解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，

由余弦定理得MN2 NP2 2MN NP cos∠MNP=MP2 即MN2 NP

2 MN NP 25 故(MN NP)2 25 MN

NP (

MN NP2

) 2

3

从而(

MN NP)2 25，即MN

NP

4

当且仅当MN

NP时，折线段道MNP最长

注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，

还可以设计为：①N平分线上等

；②N；③点N在线段MP的垂直19、（本小题满分13分）

x2

已知A,B 分别为曲线C： 2+y2=1（y 0,a>0）与x轴

a

的左、右两个交点，直线l

过点B,且与x轴垂直，S为l上 异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.

(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧 AB的三等分点，试求出点S的坐标；

（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。

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19.【解析】 解法一：

AB的三等分点得∠BOT=60°或120°. (Ⅰ)当曲线C为半圆时，a 1,如图，由点T为圆弧

(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°. 又AB=2,故在△SAE中,

有SB AB tan30

s(t 或 (2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上, S(Ⅱ)假设存在a(a 0),使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SB为直线的圆上,故BT OS.

显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为y k(x a). x22

2 y 1

得(1 a2k2)x2 2a2k2x a4k2 a2 0 由 a

y k(x a)

a2k2 a2

设点T(xT,yT), xT ( a) , 22

1 ak

2aka a2k2

故xT ,从而yT k(xT a) . 22

1 a2k21 ak

a a2k22ak

亦即T(,).

1 a2k21 a2k2

2a2k22ak

B(a,0), BT ((,)) 2222

1 ak1 ak

x a

由 得s(a,2ak), OS (a,2ak).

y k(x a)

2a2k2

4a2k2

由BT OS,可得

BT OS 0即 2a2k2 4a2k2 0

2

1 ak2

k 0,a 0, a

经检验,当a ,O,M,S三点共线. 故存在a使得O,M,S三点共线. 解法二:

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SO为直径的圆上,故SM BT.

显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为y k(x a) x22

2 y 1

得(1 a2b2)x2 2a2k2x a2k2 a2 0 由 a

y k(x a)

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a4k2 a2设点T(xT,yT),则有xT ( a) .

1 a2k2

a a2k22aka a2k22ak

故xT ,从而y k(x a) 亦即T( ). TT22222222

a ak1 ak1 ak1 ak

yT1

B(a,0), kBT 2,故kSM a2k

xT aak

x a

由 得S(a,2ak),所直线SM的方程为y 2ak a

2k(x a) y k(x a

)

O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即2ak a2k( a). a 0,K 0, a 故存在a 使得O,M,S三点共线. 20、（本小题满分14分） 已知函数f(x)

13

x ax2 bx,且f'( 1) 0 3

(1) 试用含a的代数式表示b,并求f(x)的单调区间；

（2）令a 1,设函数f(x)在x1,x2(x1 x2)处取得极值，记点M (x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，P(m,f(m)), x1 m x2,请仔细观察曲线f(x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

（I）若对任意的m (x1, x2)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；

（II）若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程） 20.解法一:

(Ⅰ)依题意,得f'(x) x2 2ax b 由f'( 1) 1 2a b 0得b 2a 1.

1

从而f(x) x3 ax2 (2a 1)x,故f'(x) (x 1)(x 2a 1).

3令f'(x) 0,得x 1或x 1 2a. ①当a>1时, 1 2a 1

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当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表：

由此得，函数f(x)的单调增区间为( ,1 2a)和( 1, )，单调减区间为(1 2a, 1)。 ②当a 1时，1 2a 1此时有f'(x) 0恒成立，且仅在x 1处f'(x) 0，故函数

f(x)的单调增区间为R

③当a 1时，1 2a 1同理可得，函数f(x)的单调增区间为( , 1)和(1 2a, )，单调减区间为( 1,1 2a) 综上：

当a 1时，函数f(x)的单调增区间为( ,1 2a)和( 1, )，单调减区间为(1 2a, 1)； 当a 1时，函数f(x)的单调增区间为R；

当a 1时，函数f(x)的单调增区间为( , 1)和(1 2a, )，单调减区间为( 1,1 2a). (Ⅱ)由a 1得f(x)

13

x x2 3x令f(x) x2 2x 3 0得x1 1,x2 3 3

由（1）得f(x)增区间为( , 1)和(3, )，单调减区间为( 1,3)，所以函数f(x)在处

5

。 x1 1,x2 3取得极值，故M（ 1,）N（3, 9）

3

观察f(x)的图象，有如下现象：

①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线f(x)在点P处切线的斜率f(x)之差Kmp-f'(m)的值由正连续变为负。

②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－f'(m)的m正负有着密切的关联； ③Kmp－f'(m)=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－f'(m)的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线f(x)在点P(m,f(m))处的切线斜率

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f'(m) m2 2m 3；

m2 4m 5线段MP的斜率Kmp

3

当Kmp－f'(m)=0时，解得m 1或m 2

m2 4m 5m2 4m

x ) 直线MP的方程为y (

33m2 4m 5m2 4mx ) 令g(x) f(x) (

33

当m 2时，g'(x) x2 2x在( 1,2)上只有一个零点x 0，可判断f(x)函数在( 1,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，又g( 1) g(2) 0，所以g(x)在( 1,2)上没有零点，即线段MP与曲线f(x)没有异于M，P的公共点。

m2 4m

0.g(2) (m 2)2 0 当m 2,3 时，g(0)

3

所以存在m 0,2 使得g( ) 0

即当m 2,3 时,MP与曲线f(x)有异于M,P的公共点 综上，t的最小值为2.

（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为 1,3 解法二：

（1）同解法一.

（2）由a 1得f(x)

13

x x2 3x，令f'(x) x2 2x 3 0，得x1 1,x2 3 3

由（1）得的f(x)单调增区间为( , 1)和(3, )，单调减区间为( 1,3)，所以函数在处取得极值。故M( 1,

5

).N(3, 9) 3

m2 4m 5m2 4m

(Ⅰ) 直线MP的方程为y x .

33

m2 4m 5m2 4m

y x 33由 y 1x3 x2 3x 3

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得x3 3x2 (m2 4m 4)x m2 4m 0

线段MP与曲线f(x)有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数 g(x) x3 3x2 (m2 4m 4)x m2 4m在(-1,m)上有零点.

因为函数g(x)为三次函数,所以g(x)至多有三个零点,两个极值点.

又g( 1) g(m) 0.因此, g(x)在( 1,m)上有零点等价于g(x)在( 1,m)内恰有一个极大值点和一个极小值点,即g'(x) 3x2 6x (m2 4m 4) 0在(1,m)内有两不相等的实数根. ＝36 12（m2 4m 4）＞0

1 m 5 22

3( 1) 6 (m 4m 4) 0

等价于 即 m 2或m 1,解得2 m 5

22

m 1 3m 6m (m 4m 4) 0

m 1

又因为 1 m 3,所以m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的r的最小值为2.

21、本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中，

（1）（本小题满分7分）选修4-4：矩阵与变换 已知矩阵M 的坐标

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:

2 3

所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A ‘(13,5),试求M的逆矩阵及点A

1 1

x 1 2cos

( 为参数 )试判断他们的公共点个数

y 2 2sin

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1 21.

(1)解:依题意得

2 3 1 3 1

,M M 1由M 得,故 ,

1 1 1 2

2 3 x 13 x 1 3 13 1 13 3 5 2

从而由 得

1 1y5y 1 25 1 13 2 5 3

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x 2,故 即A(2, 3)为所求.

y 3,

(2)解:圆的方程可化为(x 1)2 (y 2)2 4. 其圆心为C( 1,2),半径为2.

(3)解:当x<0时,原不等式可化为 2x 1 x 1,解得x 0 又 x 0, x不存在; 当0 x

1

时,原不等式可化为 2x 1 x 1,解得x 0 2

11

又 0 x , 0 x ;

2211

当x , x 2

22

综上,原不等式的解集为x|0 x

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7ne1.html