五年高考真题(数学理) 10.4古典概型与几何概型

第四节 古典概型与几何概型

考点一 古典概型

1．(2014·陕西，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )

A.15

B.25

C.35

D.45

解析 从这5个点中任取2个，有C 25＝10种取法，满足两点间的距离不小于

正方形边长的取法有C 24＝6种，因此所求概率P ＝610＝35.故选C.

答案 C

2．(2011·陕西，10)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )

A.136

B.19

C.536

D.16

解析 ∵甲、乙参观每一个景点是随机且独立的，∴在最后一个小时参观哪一个景点是等可能的

∴甲有6种可能性，乙也有6种可能性，基本事件空间总数n ＝36，事件“二

人同在一个景点参观”的基本事件数m ＝6，由古典概型概率公式得P ＝m n ＝16.

答案 D

3．(2011·浙江，9)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是

( )

A.15

B.25

C.35

D.45

解析 语文、数学只有一科的两本书相邻，有2A 22A 22A 23＝48种摆放方法．

语文、数学两科的两本书都相邻，有A 22A 22A 33＝24种摆放方法．而五本不同的

书排成一排总共有A 55＝120种摆放方法．

故所求概率为1－48＋24120＝25，故选B.

答案 B

4．(2015·江苏，5)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．

解析 这两只球颜色相同的概率为16，故两只球颜色不同的概率为1－16＝56.

答案 56

5．(2014·江苏，4)从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．

解析 从1，2，3，6中随机取2个数，共有6种不同的取法，其中所取2个

数的乘积是6的有1，6和2，3，共2种，故所求概率是26＝13.

答案 13

6．(2014·广东，11)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．

解析 十个数中任取七个不同的数共有C 710种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有

C 36种情况，于是所求概率P ＝C 36C 710＝16. 答案 16

7．(2014·江西，12)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．

解析 从10件产品中任取4件共有C 410＝210种不同的取法，因为10件产品

中有7件正品、3件次品，所以从中任取4件恰好取到1件次品共有C 13C 37＝

105种不同的取法，故所求的概率为P ＝105210＝12.

答案 12

8．(2013·新课标全国Ⅱ，14)从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的

数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝________.

解析 从1，2，…，n 中任取两个不同的数共有C 2n 种取法，两数之和为5的有(1，4)，(2，3)2种，所以2C 2n ＝114，即2n （n －1）2

＝4n （n －1）＝114

，解得n ＝8.

答案 8

9．(2012·江苏，6)现在10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________． 解析 由题意可知，这10个数分别为1，－3，9，－27，81，－35，36，－37，38，－39，在这10个数中，比8小的有5个负数和1个正数，故由古典概型

的概率公式得所求概率P ＝610＝35.

答案 35

10．(2011·江苏，5)从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．

解析 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数的种数为C 24＝6(种)，其

中一个数是另一个数的两倍的数对为1，2和2，4.故符合条件的概率为26＝13.

答案 13

11．(2015·北京，16)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：

A组：10，11，12，13，14，15，16

B组：12，13，15，16，17，14，a

假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．

(1) 求甲的康复时间不少于14天的概率；

(2) 如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

(3) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明) 解设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，

i＝1，2，…，7.由题意可知P(A i)＝P(B i)＝1

7，i＝1，2， (7)

(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是

P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝3 7.

(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，

C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.

因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)

＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝10 49.

(3)a＝11或a＝18.

考点二随机数与几何概型

1．(2015·陕西，11)设复数z＝(x－1)＋y i(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为()

A.3

4＋

1

2π

B.

1

4－

1

2π

C.

1

2－

1

π

D.

1

2＋

1

π

解析由|z|≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y≥x的部分为如图阴影所示，

由几何概型概率公式可得所求概率为：

P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π

＝14－12π

. 答案 B

2．(2014·湖北，7)由不等式组???x ≤0，

y ≥0，y －x －2≤0

确定的平面区域记为Ω1，不等式组

???x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2

确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )

A.18

B.14

C.34

D.78

解析 由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部分的面

积为2－12×22×22＝74，则所求的概率P ＝742＝78

.选D.

答案 D

3．(2013·四川，9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串

彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )

A.14

B.12

C.34

D.78

解析 设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则由题意可得，0≤x ≤4，0≤y ≤4；而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝

{(x ，y )||x －y |≤2}，由图示得，该事件概率P ＝S 阴影

S 正方形＝16－416＝34.

答案 C

4.(2012·福建，6)如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取

一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )

A.14

B.15

C.16

D.17

解析 题图中阴影部分面积??0

1(x －x )d x ＝32

121032x x 2??- ???＝16，而正方形OABC 的面积为1，∴所求概率为161＝16.故选C.

答案 C

5．(2015·福建，13)如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为

(2，4)，函数f (x )＝x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此

点取自阴影部分的概率等于________．

解析 由几何概型的概率公式：P ＝1－??12x 2d x 4＝512.

答案 512

6．(2014·福建，14)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______．

解析 因为函数y ＝e x 与函数y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x 与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e

×1－??01e x d x )＝2e －2e x ???

10＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形

＝2e 2. 答案 2e 2

7．(2013·福建，11)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为________．

解析 由3a －1>0得a >13，由几何概型知P ＝1－131＝23.

答案 23

8.(2012·湖南，15)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分

图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象

与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．

(1)若φ＝π6，点P 的坐标为? ????0，332，则ω＝________；

(2)若在曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概

率为________．

解析 f (x )＝sin(ωx ＋φ)，f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)．

(1)φ＝π6时，f ′(x )＝ωcos(ωx ＋π6)．

∵f ′(0)＝332，即ωcos π6＝33

2，∴ω＝3.

(2)当ωx ＋φ＝π2时，x ＝π

2－φ

ω；

当ωx ＋φ＝3π2时，x ＝3π

2－φ

ω. 由几何概型可知，该点在△ABC 内的概率为 3π2π23π

2π

21||||

2

12π1||

22sin()

AC P x dx

x ?

ω?

ω

?

ω

?

ω

ωωω?ωωω?----=+??=-+?［0-cos()］

π

2

－sin （ω·3π2－φω＋φ）＋sin （ω·π2－φ

ω＋φ）

＝

π

2

－sin

3π

2

＋sin

π

2

＝

π

2

1＋1

＝

π

4.

答案(1)3(2)π4

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