反函数在高考中常见题型分析

反函数在高考中常见题型分析

高考对反函数要求是：理解掌握反函数的概念，明确反函数意义、常见符号、求反函数方法、互为反函数间的关系等.难度不大，但逢试必考.本文归纳整理近年来高考试题中出现的题型,供复习时参考. 1、求原函数的定义域

例1(92高考上海卷)函数f(x)反函数是f(x)?1?x?1?x?0?，求f(x)定义域 解：原出数定义域是反函数值域，f(x)?1?x?1?x?0?的值域是??1,??，故函数f(x)定义域是??1,??

2、求反函数定义域

例2、函数f(x+1)=log(x+2)+x2+2x+3的定义域?1,7?，求反函数定义域 解：f(x+1)的值域?7,68?，f(x+1)与f(x)的值域相同，反函数定义域是?7,68?

注：从另角度看，f(x)=log(x+1)+x2+2的值域是其反函数的定义域，但是此时它的定义域是?2,9?，不要误认为是?1,7?,从而出现f(x)的值域不是?7,68?错误.

3、求函数的值

例3、(2004广西卷)已知函数y?f(x)是奇函数，当x?0时，f(x)?3x?1，设f(x)的反函数是y?g(x)，则g(?8)? .

解：易求当x?0时，f(x)?1?3?x。解方程?8?1?3?x和?8?3x?1，前者x=-2,后者无解. 则g(?8)?-2.

例4、(2004湖南卷)设f?1(x)是函数[1?f?1(a)][1?f?1(b)]?8，则f(a?b)的值为

A．1 B．2 C．3 D．log23 解:

f?1(a)即a?log2(x1?1)，f?1(b)即a?log2(x2f(x)?log2(x?1)

的反函数，若

（ ）

?1).求得x1?2a?1，x2?2b?1。

ab[1?f?1(a)][1?f?1(b)]?[1?x1][1?x2]?2?2=8，a+b=3,于是f(a?b)=log23.选（D）.

注;涉及f?1(a)的值时,往往从它的意义入手,通过解方程f(x)?a,得x=f?1(a),较为简便. 4、求反函数

例5（2004甘肃卷）函数y=e2x(x?R)的反函数为（）

11(A)y?2lnx(x?0) (B)y?ln(2x)(x?0)(C)y?lnx(x?0)(D)y?ln(2x)(x?0)

221解：y=e2x(x?R)，取常用对数，得2x=lny,x=lny.其中e2x?0, 即y>0.

21因此，反函数是y?lnx(x?0).选（B）.

2例6、（2001全国卷）y=2?1+1(x>0) 的反函数（）

11x?(1,2), B y=-log2x?(1,2) x?1x?111C y=log2x?(1,2? D y=log2x??1,2?

x?1x?1A y=log2

解：解方程y=2?1+1，得x=log2即y=log21, y?11.?x?0,0?2?x?1,1?y?2,?f?1(x)的定义域(1,2).故选(A) x?1注：求反函数解析式要注意其定义域 5、讨论反函数图像

例7、（94全国卷）f(x)?1?1?x2(?1?x?0).则y?f?1(x)的图像是（）

解：研究反函数图像,往往通过观察原函数的图像实现.先研究f(x)解析式。y?1?1?x2(?1?x?0).得(y?1)2?x2?1.它是一段圆弧，圆心（0，1），反函数图像也是一段圆弧，圆心（1，0）.故选(B)

例8、(2004福建卷)已知函数y=log2x的反函数是y?f?1(x),则函数

y?f?1(1?x)的图像是( )

解:根据y?f?1(1?x)性质特征解.y?f?1(x)=2x,y?f?1(1?x)=21?x,

y?f?1(1?x)图像过点(1,1),且其值域为(0,??).可见,答案选(C).

6、求字母参数

例9(2001上海卷)f(x)?2x?b的反函数是f(x)?1,f(x)?1的图像过Q(5,2).求b.

解:f(x)的图像必过(2,5),代入,得 b=1.

例10、（2004江苏卷）设k>1，f(x)=k(x-1)(x∈R) . 在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图像与x轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图像与y轴交于B点，并且这两个函数的图像交于P点. 已知四边形OAPB的面积是3，则k等于 ( )

346(A)3 (B)2 (C)3 (D)5

解：f(x)=k(x-1)图像过点A（1，0），则B（0，1），四边形OAPB的面积可以分成三角形OPA和OPB，且等于三角形OPA面积二倍.求出点P (3,3).从而求出k=.故选(B).

注：原函数图像上的点(a,b),在反函数图像上对应点是(b,a).这是一个经常用到的重要结论.

327、求互为反函数图像交点 例11、（2002全国卷）求f(x)=

2x(x??1) 图像与反函数图像交点坐标. 1?xxx2x(x?0),解方程?解:先求反函数f(x)?1=,得x=0或1. 从而交2?x2?x1?x点坐标是(0,0)(1,1).

例12、（2003上海卷）在P(1,1)、Q(1,2)、N(,)M(2,3)四个点中，

24 函数y=ax与其反函数的图像的公共点只可能是（ ） A 、 P B、 Q C 、M D、N

解：把N点坐标代入y=ax，a=

反函数解析式中，也有a=

1；代入其16111，说明N一定在函数16y=ax与其反函数的图像上。另外，画出两函数图像的示意图如右图（1），看出P(1,1)、Q(1,2)、M(2,3)三点都不在图像上。因此，选（D）

注：指数函数与其反函数图像的公共点并不都在直线y=x上;位于直线y=x两侧互为反函数图像的公共点（a，b）、（b，a）是成对出现的; 互为反函数图像各自与直线y=x有惟一交点时，这两个交点必重合与直线y=x上一点，若各自与直线y=x有两个交，分别重合与直线y=x上两点处，如右图。

8、研究函数与其反函数奇偶性

ex?e?x例13、（1992全国卷）y?的反函数y?f?1(x)（）

2A、 是奇函数，在（0，+?）上是减函数 B、 是偶函数，在（0，+?）上是减函数 C、 是奇函数，在（0，+?）上是增函数

D、 是偶函数，在（0，+?）上是增函数

解：偶函数无反函数，排除B、D；原函数在（0，+?）上是增函数，反函数y?f?1(x)也增函数.故选（C）.

注:互为反函数的单调性相同, 偶函数无反函数. 9、存在反函数的条件

例14、（2004北京卷）函数f(x)?x2?2ax?3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是

A. a?(??,1] B. a?[2,??) C. a?(??,1]?[2,??) D. a?[1,2] 解：函数f(x)?x2?2ax?3分别在区间（??,a］和?a,???为单调函数，其中x、y一一对应.因此, 存在反函数的充分必要条件是a?(??,1]?[2,??). 选(C).

注: y=f(x)是映射f:x?y,反函数 x=f?1(y)是映射f:y?x.因此, y=f(x)存在反函数的充分必要条件是所属区间上,x、y应该一一对应.

总而言之,反函数内容几乎每年都考,试题的难度又不大,试题涉及到反函数的方方面面，但最常考的是求反函数定义域、值域、函数图像等，除求反函数题外，大多数题不用求反函数，只需将问题转化与原函数有关的问题去解决。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7mxa.html