嘉定区2014年高三数学理科一模试卷

嘉定区2013—2014学年高三年级第一次质量调研

数学试卷（理）

2014年1月 考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．

2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题纸不能折叠．

3．本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数y log2(x 2)的定义域是_____________．

2．已知i是虚数单位，复数z满足z (1 3i) 1，则|z| _______． 3．已知函数y f(x)存在反函数y f则f

1

1

(x)，若函数y f(x 1)的图像经过点(3,1)，

(1)的值是___________．

2

*

4．已知数列{an}的前n项和Sn n（n N），则a8的值是__________．

5．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20 cm，则此圆锥的体积为________cm．

23

4

，则tan ____________．

4 5

a1x2y2

0，且双曲线的右焦点与 7．已知双曲线2 2 1（a 0，b 0）满足

b2ab

6．已知 为第二象限角，sin

抛物线y 43x的焦点重合，则该双曲线的方程为______________．

8．分别从集合A {1,2,3,4}和集合B {5,6,7,8}中各取一个数，则这两数之积为偶 数的概率是_________．

9．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，点C在直线y 4 B( 7,3)，上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则 的最小值为__________．

2

r

10．若lim 存在，则实数r的取值范围是_____________．

n 2r 1

11．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x y 0与x 3y 0的距离之和等于4，

则P到原点距离的最小值为_________．

12．设集合A {(x,y)(x 4) y 1}，B {(x,y)(x t) (y at 2) 1}，

若存在实数t，使得A B ，则实数a的取值范围是___________．

2

2

2

2

n

2 ax 2x 1,x 0,

13．已知函数f(x) 是偶函数，直线y t与函数f(x)的图像自左 2

x bx c,x 0

至右依次交于四个不同点A、B、C、D，若|AB| |BC|，则实数t的值为________． 14．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二

级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作

等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的 作图方法，得到三级分形图（图（3））； ；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、 、 n级分形图．则n级分形图的周长为__________．

图（1） 图（2） 图（3）

二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

b (3,x 1)15．设向量a (x 1,1)，，则“a∥b”是“x 2”的 （ ）

2

16．若 x 2 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）

x

A．180 B．120 C．90 D．45

17．将函数y sin2x（x R）的图像分别向左平移m（m 0）个单位，向右平移n

（n 0）个单位，所得到的两个图像都与函数y sin 2x

n

则m n 的图像重合，

6

的最小值为 （ ） A．

2 5 4

B． C． D．

633

18．设函数f(x)的定义域为D，若存在闭区间[a,b] D，使得函数f(x)满足：①f(x)

在[a,b]上是单调函数；②f(x)在[a,b]上的值域是[2a,2b]，则称区间[a,b]是函 数f(x)的“和谐区间”．下列结论错误的是 （ ） A．函数f(x) x（x 0）存在“和谐区间” B．函数f(x) e（x R）不存在“和谐区间”

x2

4x

(x 0）存在“和谐区间” 2

x 1

x1

D．函数f(x) loga a （a 0，a 1）不存在“和谐区间”

8

C．函数f(x)

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

如图，正三棱锥A BCD的底面边长为2，侧棱长为3，E为棱BC的中点． （1）求异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求该三棱锥的体积V．

A

D

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

已知函数f(x) 2sinxcosx 23cosx ，x R． （1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； （2）在锐角三角形ABC中，若f(A) 1，

2

2，求△ABC的面积．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点 1,（1）求椭圆C的方程；

在椭圆C上． 2

d（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量 (2,1)的直线l交椭圆C

于A、B两点，求证：|PA| |PB|为定值．

2

2

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知函数f(x) x

m

． 2（m为实常数）

x

（1）若函数y f(x)图像上动点P到定点Q(0,2)的距离的最小值为2，求实数m的值；

（2）若函数y f(x)在区间[2, )上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；

（3）设m 0，若不等式f(x) kx在x

1

,1 有解，求k的取值范围． 2

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

数列{an}的首项为a（a 0），前n项和为Sn，且Sn 1 t Sn a（t 0）．设

bn Sn 1，cn k b1 b2 bn（k R ）．

（1）求数列{an}的通项公式；

*

（2）当t 1时，若对任意n N，|bn| |b3|恒成立，求a的取值范围；

（3）当t 1时，试求三个正数a，t，k的一组值，使得{cn}为等比数列，且a，t，

k成等差数列．

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数学试卷（理）参考答案与评分标准

一．填空题（每小题4分，满分56分）

y21312

1．(2, ) 2． 3．2 4．15 5．16 6． 7．x 1 8． 9．9

2274

n 1

7 4 1 4

10．( , 1] , 11．22 12． 0, 13． 14．3

4 3 3 3

二．选择题（每小题5分，满分20分）

15．B 16．A 17．C 18．D

三．解答题 19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

（1）取BD中点F，连结AF、EF，因为EF∥CD，所以 AEF就是异面直线AE与

． （2分） CD所成的角（或其补角）

在△AEF中，AE AF 22，EF 1， （1分）

1

2

所以cos AEF ． （2分）

822

2

所以，异面直线AE与CD所成的角的大小为arccos． （1分）

8

（2）作AO 平面BCD，则O是正△BCD的中心， （1分）

3

连结OE，OE ， （1分）

3

2322

所以AO AE EO ， （1分）

3

所以，V

112323 Sh 4 ． （2分） 33433

20．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）

（1）f(x) 2sinxcosx 3(2cosx 1) sin2x 3cosx2x 2sin 2x

2

， 3

（2分） 所以，函数f(x)的最小正周期为 ． （1分） 由2k 得k

2

2x

3

2k

2

（k Z）， （2分）

5

， （2分） x k （k Z）

1212

5

,k （k Z）． （1分） 1212

所以，函数f(x)的单调递增区间是 k

1

1，所以sin 2A ， （1分）

3 32

4 5

因为0 A ，所以 2A ，所以2A ，从而A ． （2分）

4233336

又 || || cosA 2，，所以，|| || 2， （1分）

（2）由已知，f(A) 2sin 2A

所以，△ABC的面积S

1122

． （2分） |AB| |AC| sinA 2

2222

21．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1） 因为C的焦点在x轴上且长轴为4，

x2y2

故可设椭圆C的方程为， （1分） 1（a b 0）

4b2

因为点在椭圆上，所以， （2分） 解得， （1分）

所以，椭圆的方程为． （2分） （2）设（），由已知，直线的方程是， （1分） 由 （*） （2分） 设，，则、是方程（*）的两个根， 所以有，， （1分） 所以，

（定值）． （3分）

所以，为定值． （1分） （写到倒数第2行，最后1分可不扣） 22．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） （1）设，则，

（1分） ， （1分） 当时，解得；当时，解得． （1分）

所以，或． （1分） （只得到一个解，本小题得3分） （2）由题意，任取、，且， 则， （2分） 因为，，所以，即， （2分） 由，得，所以．

所以，的取值范围是． （2分） （3）由，得，

因为，所以， （2分） 令，则，所以，令，，

于是，要使原不等式在有解，当且仅当（）． （1分） 因为，所以图像开口向下，对称轴为直线， 因为，故当，即时，； （4分） 当，即时，． （5分） 综上，当时，；

当时，． （6分） 23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） （1）因为 ① 当时， ②， ①—②得，（）， （2分） 又由，得， （1分） 所以，是首项为，公比为的等比数列，所以（）． （1分） （2）当时，，，， （1分） 由，得， （*） （1分） 当时，时，（*）不成立； 当时，（*）等价于 （**） 时，（**）成立．

时，有，即恒成立，所以． 时，有，．时，有，． （3分）

综上，的取值范围是． （1分） （3）当时，，， （1分） ， （2分）

所以，当时，数列是等比数列，所以 （2分） 又因为，，成等差数列，所以，即，

解得． （1分） 从而，，． （1分） 所以，当，，时，数列为等比数列． （1分）

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