2010年中考数学试题分类汇编：对称图形解答题

2010年中考数学试题分类汇编

2010年中考数学试题分类汇编：对称图形 三、解答题

1．(2010江苏苏州) (本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三

角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4 cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)． (1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐 (填“不变”、“变大”或“变小”)

(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行? 问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长

度为三边长的三角形是直角三角形?

问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在， 求出AD的长度；如果不存在，请说明理由． 请你分别完成上述三个问题的解答过程．

【答案】

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2．（2010安徽蚌埠二中）如图1、2是两个相似比为1：2的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。

⑴ 在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E,F，如图4。

求证：AE BF EF；

2

2

2

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⑵ 若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE

BF EF是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。

2

2

2

⑶ 如图，在正方形ABCD中，

E、F分别是边BC、CD上的点，满足 CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、

MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，

请说明理由。

【答案】⑴ 在图4中，由于AD BD，将 AED绕点D旋转180，得 BE D，

AE BE 、ED E D。连接E F

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FBE ABC ABE ABC CAB 90

222

在Rt BE F中有E B BF E F

又 FD垂直平分EE EF FE

222

代换得AE BF EF

EC 在图5中，由AC BC，将 A绕点C旋转90 ，得 BE C

AE BE ,CE CE 连接E F

FBE ABC CBE ABC CAB 90

222

在Rt BE F中有E B BF E F

又可证 CEF≌ CE F，得EF FE V

222

代换得AE BF EF

(3)将 ADF绕点A瞬时针旋转90，得 ABG，且FD GB,AF AG 因为 CEF的周长等于正方形ABCD周长的一半，所以

CE EF CF CD CB CF FD CE BE,

化简得EF EG从而可得 AEG≌ AEF， 推出 EAF EAG 45

此时该问题就转化为图5中的问题了。由前面的结论知：

MN BM DN，再由勾股定理的逆定理知：

线段BM、MN、DN可构成直角三角形。

222

3．（2010安徽省中中考）在小正方形组成的15×15的网络中，四边形ABCD和四边形A B C D 的位置如图所示。

⑴现把四边形ABCD绕D点按顺时针方向旋转900，画出相应的图形A1B1C1D1，

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⑵若四边形ABCD平移后，与四边形A B C D 成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形A2B2C2D2

【答案】

4．（2010安徽芜湖）（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，

其顶点为A（0，1）、B（－33，1）、C（－33，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E43

3，1）、F（－0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、

3C′．

（1）求折痕所在直线EF的解析式；

（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；

（3）能否在直线EF上求一点P，使得△

PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．

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【答案】

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5．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为

（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y

＝－

1

x＋b交折线OAB于点E． 2

（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，

试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

【答案】（1）由题意得B（3，1）．

3

25

若直线经过点B（3，1）时，则b＝

2

若直线经过点A（3，0）时，则b＝若直线经过点C（0，1）时，则b＝1

①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤

3

，如图25-a，

2

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此时E（2b，0）

∴S＝

11

OE·CO＝×2b×1＝b 22

35

＜b＜，如图2 22

②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即

此时E（3，b

3

），D（2b－2，1） 2

∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )

＝ 3－[

1115532

(2b－1)×1＋×(5－2b)·( b)＋×3(b )]＝b b 222222

b ∴S

5b b2 2

1 b

3

2

35 b 22

（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与

矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。

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由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，∠MED＝∠NED 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形． 过点D作DH⊥OA，垂足为H， 由题易知，tan∠DEN＝

1

，DH＝1，∴HE＝2， 2

5 4

设菱形DNEM 的边长为a，

则在Rt△DHM中，由勾股定理知：a2 (2 a)2 12，∴a ∴S四边形DNEM＝NE·DH＝

5

4

5． 4

∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为

6．如图，在平面直角坐标系中，△ ABC的三个顶点的坐标分别为A（0,1），B（-1,1），C（-1,3）。

（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；

（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；，

（3）将△A2B2C2平移得到△ A3B3C3，使点A2的对应点是A3，点B2的对应点是B3

，点C2的对应点是C3（4，-1），在坐标系中画出△ A3B3C3，并写出点A3，B3的坐标。

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【答案】

（1）C1(-1,-3) (2)C2(3,1) (3)A3(2,-2),B3(2,-1)

7．（2010山东威海）如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1．

A

A1

C

C1

B

（图①）

B1

﹙1﹚将△ABC，△A1B1C1如图②摆放，使点A1与B重合，点B1在AC边的延长线上，连接CC1交BB1于点E．求证：∠B1C1C＝∠B1BC．

﹙2﹚若将△ABC，△A1B1C1如图③摆放，使点B1与B重合，点A1在AC边的延长线上，

B1

图 ②

C

A

C1(A1)

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连接CC1交A1B于点F．试判断∠A1C1C与∠A1BC是否相等，并说明理由．

﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A1FC相似的三角形． 【答案】

（1）证明：由题意，知△ABC≌△A1B1C1，

∴ AB= A1B1，BC1=AC，∠2=∠7，∠A=∠1．

∴ ∠3=∠A=∠1． 1分 ∴ BC1∥AC．

∴ 四边形ABC1C是平行四边形． 2分

C1

5 3 B1

6

B(A1) 图 ②

C

A

∴ AB∥CC1．

∴ ∠4=∠7=∠2． 3分 ∵ ∠5=∠6，

∴ ∠B1C1C＝∠B1BC． 4分 ﹙2﹚∠A1C1C =∠A1BC． 5分 理由如下：由题意，知△ABC≌△A1B1C1，

∴ AB= A1B1，BC1=BC，∠1=∠8，∠A=∠2．

B(B1)

C1 2 A1

图 ③

6

C

A

∴ ∠3=∠A，∠4=∠7． 6分

∵ ∠1＋∠FBC=∠8＋∠FBC，

∴ ∠C1BC＝∠A1BA． 7分

11

∵ ∠4=(180°－∠C1BC)，∠A=(180°－∠A1BA)．

22

∴ ∠4=∠A． 8分 ∴ ∠4=∠2． ∵ ∠5=∠6，

∴ ∠A1C1C=∠A1BC． 9分 ﹙3﹚△C1FB， 10分； △A1C1B，△ACB． 11分﹙写对一个不得分﹚

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8．（2010四川凉山）有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB m，AD n，BE x。 （1） 求证：AF EC；

（2） 用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼

接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE B C。当x:n为何值时，直线E E经过原矩形的顶点D。

【答案】

B

E

C

AF

D

B

EC

A

F

D

E 第22题图

B

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9．（2010四川眉山）如图，Rt△AB C 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC

交斜边于点E，CC 的延长线交BB 于点F． （1）证明：△ACE∽△FBE；

（2）设∠ABC= ，∠CAC = ，试探索 、 满足什么关系时，△ACE与△FBE是

全等三角形，并说明理由．

B

C'F

B'

C【答案】 （1）证明：∵Rt△AB C 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的， ∴AC=AC ，AB=AB ，∠CAB=∠C AB ………………（1分） ∴∠CAC =∠BAB

∴∠ACC =∠ABB ……………………………………（3分） 又∠AEC=∠FEB ∴△ACE∽△FBE ……………………………………（4分）

（2）解：当 2 时，△ACE≌△FBE． …………………（5分） 在△ACC 中，∵AC=AC ， ∴ ACC'

180 CAC'180

90 ………（6分）

22

在Rt△ABC中，

∠ACC +∠BCE=90°，即90 BCE 90 ，

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B

C'F

B'

CA

∴∠BCE= ．

∵∠ABC= ，

∴∠ABC=∠BCE ……………………（8分） ∴CE=BE

由（1）知：△ACE∽△FBE， ∴△ACE≌△FBE．………………………（9分） 10．（2010浙江宁波）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为(-2，0)，点

D的坐标为 (0

，，点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直 线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G. (1)求∠DCB的度数；

(2)当点F的坐标为(-4，0)时，求点G的坐标；

(3)连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF’，记直线EF’与射线DC的交点为H.

①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE； ②若△EHG

的面积为F的坐标.

（图1）

（图2）

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【答案】

解：(1) 在Rt△AOD中，

∵tan∠DAO=

DO2 3， AO2

∴ ∠DAB=60°. 2分

∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠DCB=∠DAB=60° 3分

(2) ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴CD∥AB

∴∠DGE=∠AFE

又∵∠DEG=∠AEF，DE=AE

∴△DEG≌△AEF 4分 ∴DG=AF

∵AF=OF-OA=4-2=2 ∴DG=2 ∴点G的坐标为(2，2) 6分

(3)①∵CD∥AB

∴∠DGE=∠OFE

∵△OEF经轴对称变换后得到△OEF’

∴∠OFE=∠OF’E 7分 ∴∠DGE=∠OF’E 在Rt△AOD中，∵E是AD的中点 ∴OE=

1

AD=AE 2

又∵∠EAO=60°

∴∠EOA=60°， ∠AEO=60° 又∵∠EOF’=∠EOA=60° ∴∠EOF’=∠OEA

∴AD∥OF’ 8分 ∴∠OF′E=∠DEH ∴∠DEH=∠DGE 又∵∠HDE=∠EDG

∴△DHE∽△DEG 9分

②点F的坐标是F1( 1，0)，F2( 5，2分

(给出一个得2分)

对于此小题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求. 过点E作EM⊥直线CD于点M，

∵CD∥AB

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∴∠EDM=∠DAB=60°

∴EM DE sin60 2

∵S△EGH

11

GH ME GH 22

∴GH 6

∵△DHE∽△DEG

DEDH

即DE2 DG DH DGDE

当点H在点G的右侧时，设DG x，DH x 6

∴4 x(x 6)

∴

解得：x1 3 ,x2 3 （舍）

∵△DEG≌△AEF

∴AF=DG= 3

∵OF=AO+AF= 3 2 1

∴点F的坐标为( 1，0)

当点H在点G的左侧时，设DG x，DH x 6

∴4 x(x 6)

解得：x1 3 ,x2 3 （舍）

∵△DEG≌△AEF

∴AF=DG=3

∵OF=AO+AF=3 2 5 ∴点F的坐标为( 5，0)

综上可知， 点F的坐标有两个，分别是F1( 1，0)，F2( 5，0).

11．（2010浙江绍兴）分别按下列要求解答：

（1）在图1中,将△ABC先向左平移5个单位,再作关于直线AB的轴对称图形,经两次变

换后得到△A1B1 C1.画出△A1B1C1；

（2）在图2中,△ABC经变换得到△A2B2C2.描述变换过程.

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12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

B22

C2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

【答案】

(1) 如图．

(2) 将△ABC先关于点A作中心对称图形,再向左平移

2个单位,得到△A2B2C2．（变换过程不唯一）

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12．（2010 浙江台州市）如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转， DE，DF分别交线段．．AC于点M，K．

（1）观察： ①如图2、图3，当∠CDF=0° 或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”

或“=”)．

②如图4，当∠CDF=30° 时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．

（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论． （3）如果MK2 CK2 AM2，请直接写出∠CDF的度数和MK的值．

AM

【答案】

E

E

图1

A

图2

图3

E

（第23题）

图

4

（1）① =

② ＞ （2）＞

证明：作点C关于FD的对称点G， 连接GK，GM，GD，

则CD=GD ，GK = CK，∠GDK=∠CDK， ∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD． ∵ A 30°，∴∠CDA=120°，

∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°， ∠ADM+∠CDK =60°． ∴∠ADM=∠GDM， ∵DM=DM，

∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．

∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．

（3）∠CDF=15°，MK ．

AM

2

13．（2010 浙江义乌）如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上

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任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.

（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF= ▲ °，猜想∠QFC= ▲ °；

（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；

（3）已知线段AB=23，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式． 【答案】

解:

B

F 图1

A

E

P Q

Q

A

E F 图2

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Q

A

E

B

F 图1

P

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（1） EBF 30°

QFC不妨设BP

, 如图1所示

∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP

H

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7mj4.html