江西省南昌市第二中学2016届高三上学期第三次考试数学(理)试题 Word版含答案

南昌二中2015—2016学年度上学期第三次考试

高三数学（理）试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

3 4i

，则z （ ） 4 3i

A．3 i B．2 3i C．3 i D．2 3i

2．已知条件p：|x 4| 6；条件q：(x 1)2 m2 0 (m 0)，若p是q的充分不必要

1．已知复数z 3

3．在△ABC中，若点D满足BD 2DC，则AD （ ）

2 1 2 5 2 1 2 1

A．AC AB B．AB AC C．AC AB D．AC AB

33333333

S5

4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2 a5 0，则＝ ( )

S2

A. 11

B. 5

C.一8

D.一11

2

5． 等差数列{an}中，2a3 a7 2a11 0，数列{bn}为等比数列，且b7 a7，则b6b8 的

条件，则m的取值范围是 （ ）

A . [21，＋∞) B. [9，＋∞) C.[19，＋∞) D.(0，＋∞)

值为 （ ）

A．4 B．2 6．函数y

C．16 D．8

2x

的图象大致为 （ ）

lnx

7． 等差数列{an}前n项和为sn，满足S30 S60，则下列结论中正确的是（ ） A ．S45是Sn中的最大值 B． S45是Sn中的最小值 C．S45=0 D．S90=0 8．若 (

A．

4

, )，且3cos2 4sin(

B．

4

)，则sin2 的值为（ ）

C．

7

9

2

7

91

9

D．

1 9

9．若函数f(x) asin2x (a 2)cos2x的图像关于直线x （ ）

8

,则f(x)的最大值为

A．2 B

C．

D

10．如图所示，点A，B，C是圆O上三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M,若

OC mOA nOB，(m 0,n 0)m n 2,则 AOB的最小值为（ ）

6 B．

3

C．

22 D．

3

A．

11．a为参数，函数f(x) (x a) 3x 2 a (x a) 38 x 3a是偶函数，则a可取值的集合是 （ ） A．｛0，5｝ B．｛ 2,5｝ C．｛ 5，2｝ D．｛1,2015｝

2

x212. 已知函数f(x) ln(x 2) ,(a为常数且a 0)，若f(x)在x0处取得极值，

2a

且x0 [e 2,e2 2]，而f(x) 0在 [e 2,e2 2]上恒成立，则a的取值范围（ ）

A．a e 2e B.a e 2e C. a e 2e D. a e 2e

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 13．若a，b均为非零向量，且(a 2b) a，(b 2a) b，则a，b的夹角为 。 14．将函数f(x) sin( x ),( 0, 一半，纵坐标不变，再向右平移

4

2

4

2

2

2

2

2

)图象上每一点的横坐标缩短为原来的

个单位长度得到y sinx的图象，则f() 。

64

15．已知函数f x (2x a 1)ln(x a 1)的定义域为( a 1, )， 若f x ≥0恒成

立，则a的值是 ．

16．等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1 1，

a99 1

0。给出下列结论：①0 q 1；②a99 a101 1 0，③T100

a100 1

的值是Tn中最大的；④使Tn 1成立的最大自然数n等于198。

a99a100 1 0，

其中正确的结论是 .

三、解答题：（70分） 17．（本是满分10分）

已知等差数列{an}满足：a2 a4 6，a6 S3，其中Sn为数列{an}的前n项和. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若k N*，且ak,a3k,S2k成等比数列，求k的值。 18．（本小题满分12分）

已知函数f(x)

sinx a2sin(x )

42sin( x)2

5 ］ 时，函数 y = f（x）的最小值为

1 ，试确定常数a的122

1 cos2x

（Ⅰ）求函数y = f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）当x ∈ ［0，值．

19．（本是满分12分）

在△ABC中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，且4sin（Ⅰ）求cosB；

（Ⅱ）若AB＝2，点D是线段AC中点，且

，若角B大于60，求△DBC的

2

A C23

cos2B 29

面积。

20．（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=2BC=4，BF=CF=AE=DE，EF=2，EF//AB，AF⊥CF。

（Ⅰ）若G为FC的中点，证明：AF//平面BDG； （Ⅱ）求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值。

B

21．（本小题满分12分）

已知数列 an 、 bn 满足：a1 （Ⅰ）求数列 bn 的通项公式；

1bn，an bn 1，bn 1 。 241 an

2

3an an

（Ⅱ）若cn n，求数列｛cn｝的前n项和Sn .。

42(1 2an)(1 3an)

22．（本小题满分12分）

设a R，函数f(x) x2e1 x a(x 1)． （Ⅰ）当a 1时，求f(x)在(,2)上的单调区间；

（Ⅱ）设函数g(x) f(x) a(x 1 e1 x)，当g(x)有两个极值点x1、x2(x1 x2)时，总有x2g(x1) f (x1)，求实数 的值．

34

南昌二中2016届高三第三次考试

理科数学试题参考答案

一．选择题:CBDDC DDCBD CB 二：填空题：

1； 14

15．； 16．①②④

33三：解答题 17解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，由条件得

13．

a1 d a1 3d 6 a1 1

an n

a 5d 3a 3d d 1 11

n(n 1)2

（Ⅱ）∵由（Ⅰ）易得Sn ，∵a3k ak S2k

2

2

得9k k k(2k 1)解得k 4.

1 cos2x

18． f(x) sinx a2sin(x )

42sin( x)2

2sin(x

（1）由x +

2cos2x 22 sinx asin(x ) sinx cosx asin(x )2cosx44

22

∈［2k －，2k ＋］（k∈Z）得 422

3

x∈［2k －，2k ＋］（k∈Z）

44

(k z) ∵sin( x) cosx 0 ∴x k

22

∴ 函数y = f（x）的单调递增区间是 [2k －

4

) asin(x

4

) (2 a)sin(x

4

)

3

，2k －）∪ ( 2k －，2k ＋］（k∈Z）．…9分 44225 2

（2）当x∈［0，］时，x + ∈［， ］

12344 22

∴当x + = 时，函数y = f（x

）取得最小值为a) 1 a

4422

2a=1 ∴由已知得1

， ∴ a = ±1 ． 22

A C23 cos2B 及A B C ，得 29

232

2[1 cos(A C)] 2cos2B 1 ，9(1 cosB) 9cosB 2 0

9

12

B ∴cosB 或 cos

33

19．（1）由4sin

2

1 3

2 2 BA BC 2BA BC2BA BC 2BA BC∵BD ，∴BD ( )

224

174 a2 4acos ABC2

∴，∴3a 4a 39 0， a 3即BC=3， 44

1由（1）得△ABC

的面积S 2 3

S DBC

233

（2）在△ABC中，设BC=a，∵ B 60，∴cosB

20解（Ⅰ）连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，点G为FC的中点，

∴OG//AF，∵AF 平面BDG，OG 平面BDC，∴AF//平面BDG。

（Ⅱ）取AD的中点M，BC的中点Q，连接MQ，则MQ//AB//EF，∴M,Q,F,E共面。 作FP⊥MQ于P，EN⊥MQ于N，则EN//FP且EN=FP，连接EM,FQ ∵AE=DE=BF=CF，AD=BC，∴△ADE≌△BCF，∴EM=FQ

∴△ENM≌△FPQ, ∴MN=PQ=1，∵BF=CF，Q为BC的中点，∴BC⊥FQ 又BC⊥MQ，FQ MQ=Q，∴BC⊥平面MQEF, ∴PF⊥BC，∴PF⊥平面ABCD 以P原点，PM为x轴，PF为z轴建立空间直角坐标系

则A(3，1，0),B(-1，1，0),C(-1，-1，0)，设F(0,0,b)，则AF ( 3, 1,h)，

CF (1,1,h)，∵AF⊥CF，∴AF CF 0,解得h=2，

设平面ABF的法向量n1 (x1,y1,z1)，AF ( 3,

n1 AF 0 3x1 y1 2z1 0

由 令x1 1

x y 2z 01 n1 BF 0 11

同理平面BCF的一个法向量为n2 ( 2,0,1)

n1 n21

∴cosn1,n2 . |n1| |n2|51

∴平面ABF与平面BCF夹角的余弦值为。

5

3bn；bn 1 ，a b nn241 annnn

b 12 bn111

∴bn 1 1 ，∴ 1 n 1

2 bn2 bnbn 1 1bn 1bn 1

1111

∴ 1，∴ ( 1) (n 1) 4 n 1 n 3

bn 1b1 1bn 1 1bn 1

1n 2 bn ∴bn 1 n 3n 3

1 12

an1an an

（Ⅱ）∵an 1 bn ，∴cn n

11n 32(1 2an)(1 3an)2n( 2)( 3)anan

n 211 = nn 1n

(n 1) 2n(n 1) 2n 2

21．解（Ⅰ）∵b1

∴Sn c1 c2 cn 1

1n 2n 1

111

2 212 213 22

111

= 1 1 nn

(n 1) 2(n 1) 22 2

11

+…… 3 224 23

3. 4

22. 解：（Ⅰ）当a 1时，f(x) x2e1 x (x 1)，

2x x2 ex 1则f (x) ，令h(x) 2x x2 ex 1，则h (x) 2 2x ex 1. x 1

e

易知h (x)在(,2)上单调递减，又h ()

3434

11

0, h (x) 0. 2所以h(x)在(,2)上单调递减，又因为h(1) 0，

所以当x (,1) 时，h(x) 0，从而f (x) 0，这时f(x)单调递增， 当x (1,2) 时，h(x) 0，从而f (x) 0，这时f(x)单调递减.

3

4

34

（，1），所以f(x)在(,2)上的增区间是 减区间是 …… 4分 （1,2）

（Ⅱ）由题可知g(x) (x2 a)e1 x，则g (x) ( x2 2x a)e1 x. 根据题意方程 x 2x a 0有两个不等实数根x1、x2且x1 x2， 令 0 得a 1，且x1 x2 2，所以x1 1. 由x2g(x1) f (x1)，其中f (x) (2x x2)e1 x a，

2

得x2(x1 a)e

1 x1

2

3

434

[(2x1 x12)e1 x1 a].将x2 2 x1,a x12 2x1代入左式得：

2x1(2 x1)e1 x1 [(2x1 x12)e1 x1 (2x1 x12)]，整理得x1[2e1 x1 (e1 x1 1)] 0.

即不等式x1[2e

1 x1

(e1 x1 1)] 0对任意x1 ( ,1)恒成立. ……7分

2e1 x1

①当x1 0时，得 R. ②当x1 (0,1) 时，即 1 x

1

e 12e1 x11

2(1 )，易知H(x1)是(0,1) 令H(x1) 1 x上的减函数， 1 x11

e 1e 1

所以H(x1) H(0)

2e2e

. ，所以

e 1e 1

2e1 x1

③当x1 ( ,0) 时，即 1 x.

1

e 1

上也是减函数，H(x1) H(0) H(x1)在( ,0) 综上所述

2e2e

. ,所以

e 1e 1

2e

. …… 12分 e 1

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