哈工大版线性代数与空间解析几何课后题答案

习 题 一

1．按自然数从小到大的自然次序，求解各题. (1) 求1至6的全排列241356的逆序数. 解：t(241356) 0 0 2 1 0 0 3.

(2) 求1至2n的全排列135 (2n 1)246 (2n)的逆序数.

解：t(13 (2n 1)24 2n) 0 0 0 (n 1) (n 2) 2 1 0 (3) 选择i与j，使由1至9的排列，91274i56j成偶排列.

解：由91274i56j是从1至9的排列，所以i,j只能取3或8.

当i 8,j 3时，t(912748563) 0 1 1 1 2 1 3 3 6 18，是偶排列. 当i 3,j 8时t(912743568) 0 1 1 1 2 3 2 2 1 13，是奇排列，不合题意舍去.

(4) 选择i与j，使由1至9的排列71i25j489成奇排列.

解：由71i25j489是从1至9的排列，所以i,j只能取3或6.

当i 3,j 6时，t(713256489) 0 1 1 2 1 1 3 0 0 9，是奇排列. 当i 6,j 3时，t(716253489) 0 1 1 2 2 3 3 0 0 12，是偶排列，不合题意舍去.

2．计算下列行列式 (1)

n(n 1)

. 2

9a18b3215332053

； (2) ；

26b13a7528475184

10

812

2

abbf

ac cdcf

aede. ef

3； (4) bd

(3) 15

203212

解：(1)

9a18ba2b

9 13 117(a2 4b2).

26b13a2ba

321533205332053 10032053320533205332053

(2)

752847518475184 10075184751847518475184

0 7518400 3205300 4313100.

10

(3) 15

812

22223 0.

3 5 433

203212

4812

·1·

ab

(4) bd

ac cdcf

ae ef

11

1 11

1 1

111

02 200

de abcdef11 abcdef0

bf

111

abcdef0

20 4abcdef. 02

x

3．已知3

yz

02 1，利用行列式性质求下列行列式. 11y3yy 2x

y3yy 201

z

3z 2； (2) z 2

zz 2

xxyz

3z 2 30

yz

x 1y 1z 134x

y01z

2. 3

1x

(1) 3x 3

x 2

解：(1) 3x 32 2302 2.

111111413111111

x 2

(2)

222

x 1y 1z 134

3

2 302 302

413x

yz

302 302 1 0 1. 11

1

4．用行列式定义计算：

010 0

2002 0

(1) ； (2) . 3

4000 n 15n00 0

12

( 1)t(p1p2p3p4p5)a1p1a2p2a3p3a4p4a5p5 解：(1) 3

45

( 1)t(54321)a15a24a33a42a51 ( 1)10 1 2 3 4 5 120.

·2·

1

0102

( 1)t(p1p2 pn)a1p1a2p2 anpn (2) 0

n 1

n0

( 1)

t(23 n1)

a12a23 a(n 1)nan1

( 1)n 1 1 2 3 n ( 1)n 1n! 5．用行列式的定义证明：

a11a21

(1) 0

a12a22000a12a22a32a42

a13a2300000a33a44

a14a24a34a44a5400a34a45

a15a25

a35 0；

a45a55a11a21

a12a33

a22a43

a34a44

00a11

(2)

a21a31a41

.

a11a21

证：(1) D 0

a12a22000

a13a23000

a14a24a34a44a54

a15a25

a35 ( 1)t(p1p2p3p4p5)a1p1a2p2a3p3a4p4a5p5 a45a55

00

假设有a1P1a2P2a3P3a4P4a5P5 0，由已知p3,p4,p5必等于4或5，从而p3,p4,p5中至少有两个相等，这与p1,p2,p3,p4,p5是1,2,3,4,5的一个全排列矛盾，故所有项

a1P1a2P2a3P3a4P4a5P5 0，因此D 0.

a11

(2)

a12a22a32a42

00a33a43

00a34a44

( 1)t(p1p2p3p4)a1p1a2p2a3p3a4p4，由已知，只有当p1,p2

a21a31a41

取1或2时，a1p1a2p2a3p3a4p4 0，而p1,p2,p3,p4是1,2,3,4的一个全排列，故p3,p4取

3或4，于是

·3·

D ( 1)t(1234)a11a22a33a44 ( 1)t(1243)a11a22a34a43 ( 1)t(2134)a12a21a33a44

( 1)

t(2143)

a12a21a34a43

a11a22a33a44 a11a22a34a43 a12a21a33a44 a12a21a34a43 从而

a11a21a12a33

a22a43

a34a44

(a11a22 a12a21)(a33a44 a34a43)

a11a22a33a44 a11a22a34a43 a12a21a33a44 a12a21a34a43 D 6．计算

a0

(1)

10

121102111

；

2 144 2 1110

123 n

xa a

110 0

ax a

； (4) Dn 101 0； (3) Dn

aa x

100 1

a00 111 10a0 0 11 1

(5) Dn 00a 0； (6) Dn 1 1 1.

100 a11 1a305

a30

按第4 按第3 0b02a34 4

解：(1) ( 1)d0b0( 1)3 3dc abcd.

12c3行展开0b列展开

12c

000d121112111211021110211102111

(2)

2 14403660366 2 11100331200 36

3b2000c052

； (2) 3d

·4·

10

3

00

2111211121112201220122

3 3 9.

211100 3700 370 3600 36000 1

xa a r1 r2 (n 1)a x(n 1)a x (n 1)a x

(3) Dax a r1 r3axn aa xr1 rn

aa11 1ax

a [(n 1)a x]aa

a a

a

111 10x a

0 0 [(n 1)a x]00

x a 0

000

x a

[(n 1)a x](x a)n 1.

1

23 n 1

10 0 c c 2 3 n

12 (4) Dn 1

01 0c1 c

30

1

00

1c1 c

n0

1 2 3 n n(n 1)

2

.

a00 10a0 0

(5) Dn 00a 0

100 a

23 10 01 00 a

x

n00

1

·5·

a0 0

按第1行展开 0a 01 1

( 1)a ( 1)1 n

00 a

an ( 1)1 n( 1)n 1 1an 2 an an 2.

00 01a0 0a

0 0 00 a0

11 11

(6) Dn 1 1

11111 1 1110 2000 2 000100 2

( 2)n 1 ( 1)n 12n 1. 7．证明

a2

(1) 2a

abb2

1a2

证：2a

a b2b (a b)2 11ab

b2

a b2b2a a ba b 2b2b

c ( 1)c3

112001

3 3

c1 ( 1)c2

a2 abab b2b2

1

a(a b)b(a b)

( 1)

a ba bab

(a b)2 (a b)3

11

a2

(2)

(a 1)2(b 1)2(c 1)2(d 1)2

a2b2c

2

(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)2

(a 3)2(b 3)2(c 3)2(d 3)2

a2 4a 4b2 4b 4c 4c 4

2

b2c2d2

0

a2 2a 1b2 2b 1c 2c 1

2

a2 6a 9b2 6b 9c 6c 9

2

证：等式左端

d2

·6·

d2 2d 1d2 4d 4d2 6d 9

2

2a 1ac2 ( 1)c1

b22b 1

c3 ( 1)c12

c2c 1

c4 ( 1)c12

d2d 1

4a 46a 94c 4

a2

2

2a 1262b 1262c 1262d 126x1

x12

2x22x32x4

4b 46b 9c3 ( 2)c2 b26c 9c4 ( 3)c3c

4d 46d 9d2

x13 c1x12 c2x1 c3

32

x2 c1x2 c2x2 c3

0

x1 a1

(3)

x12 b1x1 b2

2

x2 b1x2 b22x3 b1x3 b22x4 b1x4 b2

x13

3

x2

3x33x4

x2 a1x3 a1x4 a1

x2 32

x3 c1x3 c2x3 c3x3

x4

x12 b1x1

2

x2 b1x22x3 b1x32x4 b1x4

32x4 c1x4 c2x4 c3

c2 ( a1)c1 x1

x2

证：等式左端c ( b)c321

x3

c4 ( c3)c1

x4

c3 ( b1)c2x

2c4 ( c2)c2x3

x4

x1

x12

2x2

x13 c1x12 c2x1

32x2 c1x2 c2x232x3 c1x3 c2x332x4 c1x4 c2x4

x13 c1x12x cx

3

334

213214

x1x3x4

x12

2x2

x13

3x2

32c ( c)c c1x2x2x2413x

x

2

324

x

x cxx

2324

x

x

3334

等式右

端.

8．解关于未知数x的方程

x

(1) 3

1x 201x 20

26x 12

6 (x 1)x 1

x3

1x 2

0

0x

解：3

(x 1)[x(x 2) 3] (x 1)[x2 2x 3] (x 1)(x 3)(x 1) 0 所以x1 1,x2 3,x3 1.

a

(2) m

ax

xb

mm 0(m 0)

b

·7·

a

解：m

ax

xb

aab

x00b

x

x a1b

mm m111 m11

xb

b

11

m(x a) m(x a)(x b) 0

bx

因m 0，所以x1 a,x2 b.

a11

9．设

a12 a1na22 a2n an2 ann

a22 a2na12 a1na1p1

a1p2a2p2 anp2

a1pn a2pn

anpn

，其中“ ”是对1,2, ,n的所有全排列p1p2 pn

； (2)

a21 an1

a，求下列行列式：

an2 ann

a1n

a12

a11a21 an1

；

an1

(1)

a21a11

a2n a22ann an2

(3)

p1p2 pn

a2p1 anp1

取和，n 2.

解：（1）经行的交换得

a11an1

原式 ( 1)n 1

a12 a1nan2 ann a32

a3n

a31a21

a22 a2n

a11

a12 a1na22 a2n

an2 ann

( 1)

(n 1) (n 2) 2 1

a21 an1

( 1)

n(n 1)2

a.

(2) 与(1)类似，经列的交换得

·8·

n(n 1) 原式 ( 1)

2

a.

(3) 经列的交换，得

a1p1

a1p2 a1pna11a12 a1n

a2p1a2p2 a2pn

pn)

a21a22 a2n (p1p2 pn) ( 1) (p1p2

( 1)a

anp1

anp2

anpn

an1

an2 ann

11 1 故原式 ( 1) (p1p2 pn)

a a

11 1

p1p2 pn

0.

1

1 1

10．计算行列式

a aa000100b1 11 aa00

(1)

0a2b200b； (2) 0 11 aa0；

3a30b00 11 aa4

a4

000 11 a61111 10001

61110 100

(3) 1

1611； (4) 00 10.

11161000 111

11

6

k000

a100b1a100b1a1b100 解：(1) 0a2b200b3a30

b400a4b4a4000b

3a30

00a3b3b4

a4

a2b20

b2

a2

a1b1a3b3b (a1a4 b1b4)(a2a3 b2b3).

4

a4b2

a2

(2) 将前4行依次加到第5行，再按第5行展开得

aa000

11 aa0

aa00

原式 0 11 aa

0 a5

11 aa0

00 11 aa

0 11 aa

a000

1

00 11 a

9·

·

aa00

a5

11 aa

aa

040 11 aa

a5 a 11 aa a00

1

0 11 a

a

a

a5

a4

1

1 aa a5 a4 a3 aa

a

01

11 a

1 a a2 a3 a4 a5

61111101010

10101

611116111 (3) 1

1611 11611 11161111611111

611

116111111111116

11105000 1011

6

11 1000500

111610005011116

00005

10 54 6250. (4) 按最后一行展开得

10000 100

1

000 100 00 10 k

1

000 10

000 10

1

0 00 1

k000

1000

k 5

11．计算行列式

1 11 1x 1

1 11x 11

x1 mx1x1 (1) 1 1x 1 11

； (2) x2x2 mx21x 11 11

x3x3x3 mx 1 11 11

x4x4x4 解：(1) 依次将第2,3,4,5列加到第1列得

·10 ·

x1

x2

x 3

x4 m

x 1 11 1x 1x 1 11x 11

原式 x 1 1x 1 11

x 1x 11 11x 1 11 11

11 1x 1 11x 11

(x 1) 1x 1 11

x 11 11 11 11000x00x0

(x 1)0x00

x0000000

4(4 1) ( 1)

2

(x 1)x4 x4(x 1)

(2) 依次将第2,3,4行加到第1行得

44

4

4

xi

m 1

xi

mi 1

xi

mi 1

xi

m

ii 1

原式

x2x2 mx2x2x3x3x3 mx3x4x4

x4

x4 m

11114

(

x m)x2

x2 mx2x2i

i 1

x

3

x3x3 mx3x4

x4

x4

x4 m

1111

4 ( x0 m00

i m)

i 1

00 m0000 m

4

(m

x3

i)m

i 1

12．计算行列式

11·

·

a1 b1

(1)

a1 b2a2 b2a3 b2a4 b21 a1b2

a1 b3a2 b3a3 b3a4 b31 a1b3

a1 b4a2 b4a3 b4a4 b41 a1b4

；

a2 b1a3 b1a4 b11 a1b1

(2)

a2b11 a2b21 a2b31 a2b4 a3b11 a3b21 a3b31 a3b4 a4b11 a4b21 a4b31 a4b41 100

(3)

； (4)

11a30 1a401

00

a1a2

a1 b1

a1 b2a2 a1a3 a2a4 a3

a1 b3a2 a1a3 a2a4 a3

a1 b4a2 a1a3 a2a4 a31 a1b3

11123x

2

49x827x3

解：（1）依次将第3,2,1行乘 1加到第4,3,2行得

原式

a2 a1a3 a2a4 a31 a1b1

0

(2) 依次将第3,2,1行乘 1加到第4,3,2行得

1 a1b21 a1b4

原式

b1(a2 a1)b2(a2 a1)b3(a2 a1)b4(a2 a1)b1(a3 a2)b2(a3 a2)b3(a3 a2)b4(a3 a2)b1(a4 a3)b2(a4 a3)b3(a4 a3)b4(a4 a3)

a1b11 a1b21 a1b31 a1b4

(a2 a1)(a3 a2)(a4 a3)

b1b1b1

b2b2b210

00

b3b3b30 1

b4b4b4 10

1 10

0

(3) 按最后一列展开得

1

原式 a4 1

01

010

0001 1

0 a3 110 a20 11 a10

0 110 1

a1 a2 a3 a4

(4) 由Vandermonde行列式的计算公式得

·12·

原式 (x 3)(x 2)(x 1)(3 2)(3 1)(2 1) 2(x 1)(x 2)(x 3) 13．证明

a1 10 00a2

x 1 0

0 (1) Da30x 0

n

a11xn a 22xn an 1x an

an 100 x 1an

0

x

a1 10 000a2

x 1 000rx)ra0x 0

00 证：等式左端

n (n 1

3

an 200 x 10an 100 0x 1an an 1x

0x20

a1 10 000a2x 1

000rn (x2)rn 2a3

0x 000

r3

n (x)rn 3

r1n (xn )rnan 200

x 10an 100 0x 1f(x)00 000

1x 1

( 1)n 1

f(x)

f(x)

1x

1(n 1)阶

其中f(x) a 11xn an 1x an.

13·

·

210

(2) D

00

121 00012 00 00 00 00

n 1 21 12

证：1 n 1时，D1 2 1 1

21

2 假设当n k时结论成立，当n k 1时，若k 1 2，D2

12

4 1 3 2 1结论成立. 若k 1 3，将Dk 1按第一行展开得

21Dk 1

121

2Dk Dk 1 2(k 1) (k 1 1) (k 1) 1

1

12

1 1

1

11

ai(1

i 1

i 1

n

n

由数学归纳法，对一切自然数n结论成立.

a1

(3) D

1 1

1 a21

1

ai 0,i 1,2, ,n. ai

1 1 an

证：(用加边法)

1

等式左端 0

11 1

111 a2

1

1 1 1

111

1 1 1

10 0

10 0

100

01 a1 0

1a1

a2

1 1 an an

111 a1a2an

0 0

11 1

a10 0

0a2 0 00 an

·14·

nn

1111

a1a2 an ai(1 等式右端. (1 a1a2ani 1aii 1x yxy0 001x yxy 0001x y 00xn 1 yn 1

(4) Dn ，其中x y.

x y000 x yxy000 1x y

x2 y2

，等式成立. 证：当n 1时，D1 x y

x y

假设n k时等式成立，当n k 1时，若k 1 2，则

x3 y3

Dk 1 D2 x xy y ，等式成立. 若k 1 3，将Dk 1按一列展开，得

x yx yxy0 001x yxy 00

Dk 1 (x y)( 1)1 10 1x y 00

1x yk阶000

2

2

xy1

( 1)2 10

0

0x y1 0

0xy 0

0 0

000

x y 0

1x yk阶

xk 1 yk 1xk ykx(k 1) 1 y(k 1) 1

(x y)Dk xyDk 1 (x y) xy

x yx yx y

由归纳法原理，等式对一切自然数n都成立.

14．设f(x)是一个次数不大于n 1的一元多项式，证明如果存在n个互不相同的数

a1,a2, ,an使f(ai) 0,i 1,2, ,n. 则f(x) 0.

证：设f(x) kn 1xn 1 kn 2xn 2 k1x k0，依题意有

k0 a1k1 a1n 1kn 1 0

（1）

k ak an 1k 0

nn 1 0n1

因a1,a2, ,an互不相同，故(1)的系数行列式

·15·

a1

D

a2

an

a12 a1n 1

n 12

a2 a2

1 i j n

(aj ai) 0，

2n 1an an

所以关于k0,k1, ,kn 1的线性方程组(1)只有零解，所以k0 k1 kn 1 0,f(x) 0. 15．用Cramer法则解方程组

5x1 4x2 11

(1)

6x 5x 20 12

54

解：D 25 24 1 0，方程组有唯一解.

65114511

D1 55 80 25，D2 100 66 34，由克莱姆法则，

205620DD

x1 1 25，x2 2 34

DD 5x1 6x2 1

(2) x1 5x2 6x3 0

x 5x 0

23

56056 30

5 30

解：D 156 15 19

1 19

015010

[5 ( 19) ( 30) 1] 65 0，方程组有唯一解.

160

D1 0

56

56151501

510

25 6 19，D2 106

005

1.

1605

5，

015561

D3 1

50

010

所以由克莱姆法则得，x1

D119D11 ，x2 2 ，x3 . D65D1365

·16·

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7lzm.html