2022年高考理科数学北京卷(含答案解析)

数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学（理）

本试卷满分150分,考试时长120分钟.

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目

要求的一项.

1.已知集合{|||2}A x x =<，{2,0,1,2}B =-，则A B =I

( )

A .{}0,1

B .

{}1,0,1-

C .

{}2,0,1,2-

D .{}1,0,1,2-

2.在复平面内，复数1

1i

-的共轭复数对应的点位于

( )

A .第一象限

B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限 3.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为

( )

A .12

B .56

C .76

D .712

4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载癱最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都

若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ( )

A

B

C

.

D

.

5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 ( )

A .1

B .2

C .3

D .4 6.设a ，b 均为单位向量，则“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的

( )

A .充分而不必要条件

B .必要而不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

7.在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离.当θ，m

变化时，d 的最大值为

( )

A .1

B .2

C .3

D .4 8.设集合(){},|1,4,2A x y x y ax y x ay =

-≥+>-≤，则

( )

A .对任意实数a ，

()2,1A ∈

B .对任意实数a ，

()2,1A ? C .当且仅当0a <时，()2,1A ?

D .当且仅当3

2

a ≤时，()2,1A ?

第二部分 (非选择题 共110分)

二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上) 9.设

{}n a 是等差数列，且1

3a

=，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为 .

10.在极坐标系中，直线()cos sin 0a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则

a =

.

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________

-------------在

--------------------此--------------------

卷--------------------

上--------------------

答--------------------

题--------------------

无--------------------

效----------------

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11.设函数()()cos 06f x x πωω??=-> ???.若()4f x f π??≤ ???

对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 .

12.若x ，y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是 . 13.能说明“若

()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立，则()f x 在[]0,2上是增函数”为

假命题的一个函数是 .

14.已知椭圆M ：()222210x y a b a b +=>>，双曲线N ：22

221x y m n

-=.若双曲线N 的两条

渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 . 三、解答题：共80分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)在ABC V 中，7a =，8b =，1

cos 7

B =-. （1）求A ∠；

（2）求AC 边上的高.

16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱111-ABC A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，

F ，

G 分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB

的中点，AB BC ==12

AC AA == （1）求证：AC ⊥平面BEF ；

（2）求二面角1--B CD C 的余弦值； （3）证明：直线FG 与平面BCD 相交.

17.(本小题满分12分)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立.

（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率.

（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率 （3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“=1k ξ”表示第k 类电影得到人们喜欢，“=0k ξ”表示第k 类电影没有得到人们喜欢()1,2,3,4,5,6k =.写出方差1

D ξ

，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系.

18.(本小题满分13分)设函数()()24143x

f x ax a x a e ??=-+++??

（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，求a ；

（2）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围.

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19.(本小题满分14分)已知抛物线C ：2

2y px =经过点()1,2P

，过点()0,1Q 的直

线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴

于N .

（1）求直线l 的斜率的取值范围；

（2）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r

，求证：11

+λ

μ

为定值.

20.(本小题满分14分) 设n 为正整数，集合(){}{}1

2

|=,,,,0,1,1,2,,n

k

A t t t t k n αα=∈=L L .对于集合A 中的

任意元素()12=

,,,n x x x αL 和()12=,,,n y y y βL ，记

()()()()111122221

,2

n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ??=+--++--+++--??L . （1）当3n =时，若()=1,1,0α，()=0,1,1β，求(),M αα和(),M αβ的值.

（2）当4n =时，设B 是

A 的子集，

且满足：对于B 中的任意元素α，β，当α，β相同时，(),M αβ是奇数；当α，β时，(),M αβ是偶数.求集合β

中元素个

数的最大值.

（3）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元

素α，β，(),=0M αβ.写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由.

-------------在

--------------------此--------------------

卷--------------------

上--------------------

答--------------------

题--------------------

无--------------------

效---

-------------

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________

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2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学答案解析

一、选择题 1．【答案】A

【解析】{}|22A x x =-<<，{}2,0,1,2-，则{}0,1A B ?=． 【考点】集合的交集运算． 2．【答案】D

【解析】()()()211111111122i i i i i i i π++===+--+-，所以其共轭复数为11

22

i -，在复平面内对应点为1122??- ???

，，位于第四象限．

【考点】复数的四则运算与共轭复数的概念． 3．【答案】B

【解析】1k =，1s =，()1

11

11112

s =+-?

=+，2k =，不满足3k ≥，继续循环()211512126s =+-?=+，3k =，满足3k ≥，循环结束，输出56

s =．

【考点】算法的循环结构． 4．【答案】D

【解析】根据题意可以知单音的频率形成一个等比的数列，其首项为f ，

所

以第八个单音的频率为

7

f

=

．

【考点】数学文化与等比数列． 5．【答案】C

【解析】根据三视图可以还原该几何体为正方体中的一个四棱锥1D APCD -，其中P 为

AB 的中点，所以四棱锥1D APCD -中的侧面为直角三角形的有1D CD V ，1D AD V ，1D AP V ，共三个．

【考点】三视图． 6．【答案】C

【解析】2222223369962320a b a b a a b b a a b b a a b b -=+?-?+=+?+?+?-=，

因为a

，b

均为单位向量，所以

221a b ==，所以

2223200a a b b a b a b +?-=??=?⊥，所以“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的

充分必要条件．

【考点】充分必要条件的判断与平面向量的数量积运算． 7．【答案】C

【解析】根据点()cos ,sin P θθ可知，P 为坐标原点为圆心，半径为1的单位圆上的点，

所以d 的最大值为圆心()0,0到直线的距离再加上一个半径1，所以

13d +≤．

【考点】直线与圆的位置关系及圆的参数方程． 8．【答案】D

【解析】当2a =时，(){},|1,24,22A x y x y x y x y =

-≥+>-≤，将()2,1代入满足不等

式组，所以排除B ；当12a =

时，()11,|1,4,222A x y x y x y x y ??

=-≥+>-≤????

，将

()2,1代入满足不等式

1

42

x y +>，所以排除A

，C ． 【考点】不等式组表示的平面区域． 二、填空题

数学试卷 第9页（共16页） 数学试卷 第10页（共16页）

9．【答案】63n a n =-

【解析】251636a a a a +=+=，

因为13a =，所以633a =，所以615306d a a d =-=?=，所以()()1136163n a a n d n n =+-=+-=-． 【考点】等差数列． 10．

【答案】【解析】直线方程为0x y a +-=，圆的方程为()2

2222011x y x x y +-=?-+=，根据

111a a =?-==+0a >）

． 【考点】直线与圆的位置关系以及极坐标方程与普通方程的互化． 11．【答案】

2

3

【解析】根据题意有当4

x π

=

时，函数取得最大值1，所以

cos 124

646k π

πππωωπ??-=?-= ???，283k Z k ω∈?=+，k Z ∈，因为0ω>，所

以ω的最小值为2

3

．

【考点】三角函数图象与性质． 12．【答案】3

【解析】不等式组1,2y x y x ≥+??≤?

表示的区域为如图所示的阴影部分，设2z y x =-，则

122z

y x =+，所以2z 的几何意义为直线的众截距，1,1,22,y x x y x y ≥+=????

?≤=??

所以当直线过点()1,2A 时，取得最小值，所以min 2213z =?-=．

【考点】线性规划问题．

13．【答案】()sin f x x =（答案不唯一）

【解析】本题为一个开放性题目，可以构造出许多函数，只需要()()0f x f >都成立即

可，最常见的可以用分段函数，即一部分先为增函数，后一部分为减函数，确保

()()0f x f >即可，如()sin f x x =．

【考点】函数单调性的判断与应用． 14．

1

2

【解析】如图所示，双曲线的渐近线与椭圆的交点分别为A ，B ，C ，D ，则根据题意

有22AB CD BF OF c ====

，1BF =，所在椭圆中，

有)

1212BF BF c a +=

=，

所以椭圆的离心率11c e a =

=．根据双曲线渐近线n

y x m =±

，即有tan60n m

=?，所以223n m =，所以双曲线的离心率2222

22

214m n n e m m +==+=，故22e =．

数学试卷 第11页（共16页） 数学试卷 第12页（共16页）

【考点】直线与椭圆、双曲线的位置关系．

15．【答案】（1）在ABC V 中，因为1

cos 7

B =-

，所以sin B ．由正弦

定理得sin sin a B A b ==

由题设知2B ππ<∠<，所以0

A π<∠<．所以=3

A π∠． （2）在ABC V 中，因为(

)sin sin sin

cos cos sin C A B A B A B =+=+=，所以AC 边

上的高sin 7h a C ===

【考点】解三角形问题．

16．【答案】在三棱柱111-ABC A B C 中，因为1CC ⊥平面ABC ，所以四边形11A ACC 为矩

形．又E ，F 分别为AC ，11A C 的中点，所以AC EF ⊥．因为AB BC =，所以

AC BE ⊥．所以AC ⊥平面BEF ．

（2）由（1）知AC EF ⊥，AC BE ⊥，1EF CC P ． 又1CC ⊥平面ABC ， 所以EF ⊥平面ABC ． 因为BE ?平面ABC ， 所以EF BE ⊥．

如图建立空间直角坐标系-E xyz ．由题意得点()0,2,0B ，()1,0,0C -，()1,0,1D ，

()0,0,2F ，()0,2,1G ．

所以()()1,2,0,1,2,1BC BD =--=-u u u r u u u r

．

设平面BCD 的法向量为()000,,n x y z =，则0,0,n BC n BD ??=???=??u u u r u u u r

即000

0020,

20.x y x y z +=??-+=? 令01y =-，则002, 4.x z ==- 于是()2,1,4n =--．

又因为平面1CC D 的法向量()0,2,0EB =u u u r

，

所以cos ,n EB n EB n EB

?==u u u r

u u u r u u u r

由题知二面角1B CD C --为钝角，所以其余弦值为． （3）由（2）知平面BCD 的法向量为()2,1,4n =--，()0,2,1FG =-u u u r

．

因为()()()20124120n FG ?=?+-?+-?-=≠u u u r

，

所以直线FG 与平面BCD 相交．

【考点】空间线面位置关系的判断与证明．

17．【答案】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000， 第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25=50?． 故所求概率为

50

=0.0252000

．

数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）

（2）设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B 为“从第五类电

影中随机选出的电影获得好评” ．

故所求概率为()()()

()()()()()()11P AB AB P AB P AB P A P B P A P B +=+=-+-． 由题意知()P A 估计为0.25，()P B 估计为0.2． 故所求概率估计为0.250.8+0.750.2=0.35??．

（3）由题意知k ξ服从0—1分布，()()11,2,,6k k k D P P k ξ=-=L ，其中k P 为第k 类电影

得到人们喜欢的概率也就是好评率，由计算得，142536D D D D D D ξξξξξξ>>=>>． 【考点】相互独立事件概率的求解以及方差的求解．

18．【答案】（1）因为()()24143x f x ax a x a e ??=-+++??， 所以()()2212x f x ax a x e '??=-++??．

()()11f a e '=-．

由题设知()1=0f '，即()1=0a e -，解得1a =． 此时()130f e =≠． 所以a 的值为1．

（2）由（1）得()()()()2212=12x x

f x ax a x e ax x e '??=-++--??

． 若12a >

，则当1,2x a ??

∈ ???

时，()0f x '<； 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>． 所以()f x 在2x =处取得极小值． 若1

2

a ≤

，则当()0,2x ∈时，120,1102x ax x -<-≤-<，

所以()0f x '>．

所以2不是()f x 的极小值点．

综上可知，a 的取值范围是1+2??

∞ ???

，． 【考点】导数在研究函数问题中的应用． 19．【答案】（1）因为抛物线22y px =过点()1,2， 所以24p =，即2p =． 故抛物线C 的方程为2

4y x =．

由题意知，直线l 的斜率存在且不为0． 设直线l 的方程为()10y kx k =+≠．

由24,

1

y x y kx ?=?=+?得()222410k x k x +-+=． 依题意()2

2=24410k k ?--??>，解得0k <或01k <<． 又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点()1,2-． 从而3k ≠-．

所以直线l 斜率的取值范围是()()(),33,00,1-∞-?-?． （2）设点()()1122,,,A x y B x y ．

由（1）知121222

241

,k x x x x k k -+=-=． 直线PA 的方程为()112

211

y y x x --=--．

令0x =，得点M 的纵坐标为111121

2211

M y kx y x x -+-+=+=+--．

同理得点N 的纵坐标为221

21

N kx y x -+=+-．

由QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r

得1,1M N y y λμ=-=-．

所

以

()()()2212121212122

2242111

1

1111+

=

21111111

M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λ

μ-+

-+--+=+=?=?

=------．

所以11

+λμ

为定值．

【考点】直线与抛物线的位置关系．

20．【答案】（1）因为()=1,1,0α，()=0,1,1β， 所以()()()()1

,11111111000022M αα??=

+--++--++--=?

?，

()()()()1

,10101111010112M αβ??=+--++--++--=?

?． （2）设()1234=,,,x x x x B α∈，则()1234,M x x x x αα=+++．

数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页） 由题意知{}1234,,,0,1x x x x ∈，且(),M αα为奇数，

所以1234,,,x x x x 中1的个数为1或3．所以

()()()()()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0B ?． 将上述集合中的元素分成如下四组：

()()1,0,0,0,1,1,1,0；()()0,1,0,0,1,1,0,1；()()0,0,1,0,1,0,1,1；()()0,0,0,1,0,1,1,1． 经验证，对于每组中两个元素,αβ，均有(),=1M αβ．

所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．

所以集合B 中元素的个数不超过为4．

又集合()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1满足条件，

所以集合B 中元素个数的最大值为4．

（3）设()(){}()1212121,,,|,,,,1,01,2,,k n n k k S x x x x x x A x x x x k n -=∈======L L L L ， (){}11212,,,|0n n n S x x x x x x +=====L L ，

则121n A S S S +=???L ．

对于()1,2,,1k S k n =-L 中的不同元素α，β，经验证，(),1M αβ≥． 所以()1,2,,1k S k n =-L 中的两个元素不可能同时是集合B 的元素． 所以B 中元素的个数不超过1n +．

取()12,,,k n k e x x x S =∈L 且()101,2,,1k n x x k n +====-L L ．

令{}1211,,,n n n B e e e S S -+=??L ，则集合B 的元素个数为1n +，且满足条件． 故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．

【考点】新定义问题与集合中元素与集合、集合与集合的关系问题．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7lyq.html