机械能守恒定律（系统，多体） - 图文

机械能守恒定律(系统的机械能守恒)

系统的机械能守恒 由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，就看除了重力、弹力之外，系统内的各个物体所受到的各个力做功之和是否为零，为零，则系统的机械能守恒；做正功，系统的机械能就增加，做做多少正功，系统的机械能就增加多少；做负功，系统的机械能就减少，做多少负功，系统的机械能就减少多少。 系统间的相互作用力分为三类： 1） 刚体产生的弹力：比如轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等 2） 弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换。 3） 其它力做功：比如炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。 在前两种情况中，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能还是守恒的。虽然弹簧的弹力也做功，但包括弹性势能在内的机械能也守恒。但在第三种情况下，由于其它形式的能参与了机械能的转换，系统的机械能就不再守恒了。 归纳起来，系统的机械能守恒问题有以下四个题型：（1）轻绳连体类（2）轻杆连体类 （3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。（4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。 （1）轻绳连体类 这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，系统内部的相互作用力是轻绳的拉力，而拉力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。 例：如图，倾角为?的光滑斜面上有一质量为M的物体，通过一根跨过定滑轮的细绳与质量为m的物体相连，开始时两物体均处于静止状态，且m离地面的高度为h，求它们开始运动后m着地时的速度？ 1

分析：对M、m和细绳所构成的系统，受到外界四个力的作用。它们分别是：M所受的重力Mg，m所受的重力mg，斜面对M的支持力N，滑轮对细绳的作用力F。 M、m的重力做功不会改变系统的机械能，支持力N垂直于M的运动方向对系统不做功，滑轮对细绳的作用力由于作用点没有位移也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是细绳的拉力，拉力做功只能使机械能在系统内部进行等量的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。 在能量转化中，m的重力势能减小，动能增加，M的重力势能和动能都增加，用机械能的减少量等于增加量是解决为一类题的关键 mgh?Mghsin??11Mv2?mv2 可得v?222gh(m?Msin?) M?m需要提醒的是，这一类的题目往往需要利用绳连物体的速度关系来确定两个物体的速度关系 例：如图，光滑斜面的倾角为?，竖直的光滑细杆到定滑轮的距离为a，斜面上的物体M和穿过细杆的m通过跨过定滑轮的轻绳相连，开始保持两物体静止，连接m的轻绳处于水平状态，放手后两物体从静止开始运动，求m下降b时两物体的速度大小？ （2）轻杆连体类 这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，物体的重力做功不会改变系统的机械能，系统内部的相互作用力是轻杆的弹力，而弹力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。 例：如图，质量均为m的两个小球固定在轻杆的端，轻杆可绕水平转轴在竖直平面内自由转动，两小球到轴的距离分别为L、2L，开始杆处于水平静止状态，放手后两球开始运动，求杆转动到竖直状态时，两球的速度大小

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分析：由轻杆和两个小球所构成的系统受到外界三个力的作用，即A球受到的重力、B球受到的重力、轴对杆的作用力。 两球受到的重力做功不会改变系统的机械能，轴对杆的作用力由于作用点没有位移而对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是轻杆的弹力，弹力对A球做负功，对B球做正功，但这种做功只是使机械能在系统内部进行等量的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。 在整个机械能当中，只有A的重力势能减小，A球的动能以及B球的动能和重力势能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。有： 1212mg2L?mgL?mvA?mvB 22根据同轴转动，角速度相等可知 ?2vA?2vB所以：?vA?2gLvB?5?2gL 5需要强调的是，这一类的题目要根据同轴转动，角速度相等来确定两球之间的速度关系 （3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。 光滑的圆弧放在光滑的水平面上，不受任何水平外力的作用，物体在光滑的圆弧上滑动，这一类的题目，也符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，下面用具体的例子来说明 例：四分之一圆弧轨道的半径为R，质量为M，放在光滑的水平地面上，一质量为m的球（不计体积）从光滑圆弧轨道的顶端从静止滑下，求小球滑离轨道时两者的速度？ 分析：由圆弧和小球构成的系统受到三个力作用，分别是M、m受到的重力和地面的支持力。 m的重力做正功，但不改变系统的机械能，支持力的作用点在竖直方向上没有位移，也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是圆弧和球之间的弹力，弹力对m做负功，对M做正功，但这种做功只是使机械能在系统内部进

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行等量的转换，不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。 在整个机械能当中，只有m的重力势能减小，m的动能以及M球的动能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。有： mgR?1122 MvM?mvm22?2gR2gRv?mv?M?mMM(M?m)M(M?m)?根据动量守恒定律知 0?mvm?MvM 所以： （4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。 悬挂小球的细绳系在一个不受任何水平外力的物体上，当小球摆动时，物体能在水平面内自由移动，这一类的题目和在水平面内自由移动的光滑圆弧类形异而质同，同样符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，下面用具体的例子来说明 例：质量为M的小车放在光滑的天轨上，长为L的轻绳一端系在小车上另一端拴一质量为m的金属球，将小球拉开至轻绳处于水平状态由静止释放。求（1）小球摆动到最低点时两者的速度？（2）此时小球受细绳的拉力是多少？ 分析：由小车和小球构成的系统受到三个力作用，分别是小车、小球所受到的重力和天轨的支持力。 小球的重力做正功，但重力做功不会改变系统的机械能，天轨的支持力，由于作用点在竖直方向上没有位移，也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是小车和小球之间轻绳的拉力，该拉力对小球做负功，使小球的机械能减少，对小车做正功，使小车的机械能增加，但这种做功只是使机械能在系统内部进行等量的转换，不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。 在整个机械能当中，只有小球的重力势能减小，小球的动能以及小车的动能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。有： 4

mgL?1122 MvM?mvm22根据动量守恒定律知0?mvm?MvM 所以：?2gL2gLvM?M?vm?mM(M?m)M(M?m)? 当小球运动到最低点时，受到竖直向上的拉力T和重力作用，根据向心力的公式 mv2T?mg? 但要注意，公式中的v是m相对于悬点的速度，这一点是非常重要的 Lm(vm?vM)23M?2mT?mg? 解得：T?mg LM习题 图5－3－15 如图5－3－15所示，质量相等的甲、乙两小球从一光滑直角斜面的顶端同时由静止释放，甲小球沿斜面下滑经过a点，乙小球竖直下落经过b点，a、b两点在同一水平面上，不计空气阻力，下列说法中正确的是( ) A．甲小球在a点的速率等于乙小球在b点的速率 B．甲小球到达a点的时间等于乙小球到达b点的时间 C．甲小球在a点的机械能等于乙小球在b点的机械能(相对同一个零势能参考面) D．甲小球在a点时重力的功率等于乙小球在b点时重力的功率 解析：由机械能守恒得两小球到达a、b两处的速度大小相等，A、C正确；设斜面的倾角为α，甲小球在斜面上运动的加速度为a＝gsin α，乙小球下落的加速度为a＝g，v由t＝a可知t甲＞t乙，B错误；甲小球在a点时重力的功率P甲＝mgvsin α，乙小球在b点时重力的功率P乙＝mgv，D错误． 答案：AC 2． 图5－3－16

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一根质量为M的链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半挂在桌边，如图5－3－16(a)所示．将链条由静止释放，链条刚离开桌面时的速度为v1.若在链条两端各系一个质量均为m的小球，把链条一半和一个小球放在光滑的水平桌面上，另一半和另一个小球挂在桌边，如图5－3－16(b)所示．再次将链条由静止释放，链条刚离开桌面时的速度为v2，下列判断中正确的是( ) A．若M＝2m，则v1＝v2 B．若M＞2m，则v1＜v2 C．若M＜2m，则v1＞v2 D．不论M和m大小关系如何，均有v1＞v2 答案：D 3. 图5－3－17 在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项．质量为m的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F，那么在他减速下降高度为h的过程中，下列说法正确的是(g为当地的重力加速度)( ) A．他的动能减少了Fh B．他的重力势能增加了mgh D．他的机械能减少了Fh C．他的机械能减少了(F－mg)h 解析：由动能定理，ΔEk＝mgh－Fh，动能减少了Fh－mgh，A选项不正确；他的重力势能减少了mgh，B选项错误；他的机械能减少了ΔE＝Fh，C选项错误，D选项正确． 答案：D 4． 图5－3－18 如图5－3－18所示，静止放在水平桌面上的纸带，其上有一质量为m＝0.1 kg的铁块，它与纸带右端的距离为L＝0.5 m，铁块与纸带间、纸带与桌面间动摩擦因数均为μ＝0.1.现用力F水平向左将纸带从铁块下抽出，当纸带全部抽出时铁块恰好到达桌面边缘，铁块抛出后落地点离抛出点的水平距离为s＝0.8 m．已知g＝10 m/s2，桌面高度为H＝0.8 m，不计纸带质量，不计铁块大小，铁块不滚动．求： (1)铁块抛出时速度大小；(2)纸带从铁块下抽出所用时间t1；(3)纸带抽出过程产生的内能E.

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12解析：(1)水平方向：s＝vt① 竖直方向：H＝2gt② 由①②联立解得：v＝2 m/s. (2)设铁块的加速度为a1，由牛顿第二定律，得μmg＝ma1③ 纸带抽出时，铁块的速度v＝a1t1④ 12③④联立解得t1＝2 s. (3)铁块的位移s1＝2a1t1⑤ 设纸带的位移为s2；由题意知，s2－s1＝L⑥ 由功能关系可得E＝μmgs2＋μmg(s2－s1)⑦ 由③④⑤⑥⑦联立解得E＝0.3 J. 答案：(1)2 m/s (2)2 s (3)0.3 J 5. 图5－3－19 如图5－3－19所示为某同学设计的节能运输系统．斜面轨道的倾角为37°，木箱与轨道之间的动摩擦因数μ＝0.25.设计要求：木箱在轨道顶端时，自动装货装置将质量m＝2 kg的货物装入木箱，木箱载着货物沿轨道无初速滑下，当轻弹簧被压缩至最短时，自动装货装置立刻将货物御下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，接着再重复上述过程．若g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求： (1)离开弹簧后，木箱沿轨道上滑的过程中的加速度大小； (2)满足设计要求的木箱质量． 解析：(1)设木箱质量为m′，对木箱的上滑过程，由牛顿第二定律有：m′gsin 37°＋μm′gcos 37°＝m′a 代入数据解得：a＝8 m/s2. (2)设木箱沿轨道下滑的最大距离为L，弹簧被压缩至最短时的弹性势能为Ep，根据能量守恒定律：货物和木箱下滑过程中有：(m′＋m)gsin 37°L＝μ(m′＋m)gcos 37°L＋Ep 木箱上滑过程中有Ep＝m′gsin 37°L＋μm′gcos 37°L 联立代入数据解得：m′＝m＝2 kg. 答案：(1)8 m/s2 (2)2 kg 7

图5－3－20 1.如图5－3－20所示，一个质量为m的小铁块沿半径为R的固定半圆轨道上边缘由静止滑下，到半圆底部时，轨道所受压力为铁块重力的1.5倍，则此过程中铁块损失的机械能为( ) 1113A.8mgR B.4mgR C.2mgR D.4mgR v2解析：设铁块在圆轨道底部的速度为v，则1.5mg－mg＝mR，由能量守恒有：mgR－123ΔE＝2mv，所以ΔE＝4mgR. 答案：D 2. 图5－3－21 如图5－3－21所示，斜面置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是( ) A．物体的重力势能减少，动能增加B．斜面的机械能不变 C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功D．物体和斜面组成的系统机械能守恒 解析：物体下滑过程中，由于物体与斜面相互间有垂直于斜面的作用力，使斜面加速运动，斜面的动能增加；物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂直，且夹角大于90°，所以物体克服相互作用力做功，物体的机械能减少，但动能增加，重力势能减少，故A项正确，B、C项错误．对物体与斜面组成的系统内，只有动能和重力势能之间的转化，故系统机械能守恒，D项正确． 答案：AD 3. 图5－3－22 如图5－3－22所示，一根跨越光滑定滑轮的轻绳，两端各有一杂技演员(可视为质点)，

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演员a站于地面，演员b从图示的位置由静止开始向下摆，运动过程中绳始终处于伸直状态，当演员b摆至最低点时，演员a刚好对地面无压力，则演员a与演员b质量之比为( ) A．1∶1 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶1 12解析：由机械能守恒定律求出演员b下落至最低点时的速度大小为v. 2mv＝mgl(1－2vcos 60°)，v2＝2gl(1－cos 60°)＝gl.此时绳的拉力为T＝mg＋ml＝2mg，演员a刚好对地压力为0.则mag＝T＝2mg.故ma∶m＝2∶1. 答案：B 4. 图5－3－23 如图5－3－23所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧．从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为( ) A．h B．1.5h C．2h D．2.5h 解析：考查机械能守恒定律．在b球落地前，a、b球组成的系统机械能守恒，且a、b1两球速度大小相等，根据机械能守恒定律可知：3mgh－mgh＝2(m＋3m)v2，v＝gh，b球落地时，a球高度为h，之后a球向上做竖直上抛运动，在这个过程中机械能守恒，v2h122mv＝mgΔh，Δh＝2g＝2，所以a球可能达到的最大高度为1.5h，B项正确． 答案：B 5. 图5－3－24 如图5－3－24所示，在动摩擦因数为0.2的水平面上有一质量为3 kg的物体被一个劲度系数为120 N/m的压缩轻质弹簧突然弹开，物体离开弹簧后在水平面上继续滑行了1.3 m才停下来，下列说法正确的是(g取10 m/s2)( ) A．物体开始运动时弹簧的弹性势能Ep＝7.8 J B．物体的最大动能为7.8 J C．当弹簧恢复原长时物体的速度最大 D．当物体速度最大时弹簧的压

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缩量为x＝0.05 m 解析：物体离开弹簧后的动能设为Ek，由功能关系可得：Ek＝μmgx1＝7.8 J，设弹簧开始的压缩量为x0，则弹簧开始的弹性势能Ep0＝μmg(x0＋x1)＝7.8 J＋μmgx0＞7.8 J，A错误；当弹簧的弹力kx2＝μmg时，物体的速度最大，得x2＝0.05 m，D正确，C错误；物体在x2＝0.05 m到弹簧的压缩量x2＝0的过程做减速运动，故最大动能一定大于7.8 J，故B错误． 答案：D 6. 图5－3－25 如图5－3－25所示，电梯由质量为1×103 kg的轿厢、质量为8×102 kg的配重、定滑轮和钢缆组成，轿厢和配重分别系在一根绕过定滑轮的钢缆两端，在与定滑轮同轴的电动机驱动下电梯正常工作，定滑轮与钢缆的质量可忽略不计，重力加速度g＝10 m/s2.在轿厢由静止开始以2 m/s2的加速度向上运行1 s的过程中，电动机对电梯共做功为( ) A．2.4×103 J B．5.6×103 J C．1.84×104 J D．2.16×104 J 112解析：电动机做功：W＝(M－m)gh＋2(M＋m)v＝(1 000－800)×10×1＋2(1 000＋800)×22＝5 600 J. 答案：B 7. 图5－3－26 来自福建省体操队的运动员黄珊汕是第一位在奥运会上获得蹦床奖牌的中国选手．蹦床是一项好看又惊险的运动，如图5－3－26所示为运动员在蹦床运动中完成某个动作的示意图，图中虚线PQ是弹性蹦床的原始位置，A为运动员抵达的最高点，B为运动员刚抵达蹦床时的位置，C为运动员抵达的最低点．不考虑空气阻力和运动员与蹦床作用时的机械能损失，A、B、C三个位置运动员的速度分别是vA、vB、vC，机械能分别是EA、EB、EC，则它们的大小关系是( ) A．vAvC B．vA>vB，vBEC D．EA>EB，EB＝

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EC A机械能守恒，EA＝EB，B→A机械能守恒，EA＝EB，B→C弹力对人做负功，机械能减小，EB>EC. 答案：AC 8. 图5－3－27 如图5－3－27所示，小球从A点以初速度v0沿粗糙斜面向上运动，到达最高点B后返回A，C为AB的中点．下列说法中正确的是( ) A．小球从A出发到返回A的过程中，位移为零，合外力做功为零 B．小球从A到C过程与从C到B过程，减少的动能相等 C．小球从A到B过程与从B到A过程，损失的机械能相等 D．小球从A到C过程与从C到B过程，速度的变化量相等 解析：小球从A出发到返回A的过程中，位移为零，重力做功为零，支持力不做功，摩擦力做负功，所以A选项错误；从A到B的过程与从B到A的过程中，位移大小相等，方向相反，损失的机械能等于克服摩擦力做的功，所以C选项正确；小球从A到C过程与从C到B过程，位移相等，合外力也相等，方向与运动方向相反，所以合外力做负功，大小相等，所以减少的动能相等，因此，B选项正确；小球从A到C过程与从C到B过程中，减少的动能相等，而动能的大小与质量成正比，与速度的平方成正比，所以D错误． 答案：BC 9. 图5－3－28 在2008北京奥运会上，俄罗斯著名撑杆跳运动员伊辛巴耶娃以5.05 m的成绩第24次打破世界记录．图5－3－28为她在比赛中的几个画面，下列说法中正确的是( ) A．运动员过最高点时的速度为零 B．撑杆恢复形变时，弹性势能完全转化为动能 C．运动员要成功跃过横杆，其重心必须高于横杆 D．运动员在上升过程中对杆先做正功后做负功 11

解析：撑杆跳运动员过最高点时竖直速度为零，水平速度不为零，选项A错误；当运动员到达最高点杆恢复形变时，弹性势能转化为运动员的重力势能和动能，选项B错误；运动员可以背跃式跃过横杆，其重心可能低于横杆，选项C错误；运动员在上升过程中对杆先做正功转化为杆的弹性势能后做负功，杆的弹性势能转化为运动员的重力势能和动能，选项D正确． 答案：D 10. 图5－3－29 如图5－3－29所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬间得到一个水平初速度v0，若v0大小不同，则小球能够上升到的最大高度(距离底部)也不同．下列说法中正确的是( ) RA．如果v0＝gR，则小球能够上升的最大高度为2 B．如果v0＝2gR，则小球能够上R升的最大高度为2 3RC．如果v0＝3gR，则小球能够上升的最大高度为2 D．如果v0＝5gR，则小球能够上升的最大高度为2R 12R解析：根据机械能守恒定律，当速度为v0＝gR，由mgh＝2mv0解出h＝2，A项正确，B项错误；当v0＝5gR，小球正好运动到最高点，D项正确；当v0＝3gR时小球运动到最高点以下，若C项成立，说明小球此时向心力为0，这是不可能的． 答案：AD 11． 图5－3－30 如图5－3－30所示，AB为半径R＝0.8 m的1/4光滑圆弧轨道，下端B恰与小车右端平滑对接．小车质量M＝3 kg，车长L＝2.06 m，车上表面距地面的高度h＝0.2 m．现有一质量m＝1 kg的滑块，由轨道顶端无初速释放，滑到B端后冲上小车．已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ＝0.3，当车运行了1.5 s时，车被地面装置锁定．(g＝10 m/s2)试求：

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(1)滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小； (2)车被锁定时，车右端距轨道B端的距离； (3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于摩擦而产生的内能大小； (4)滑块落地点离车左端的水平距离． 12 ，解析：(1)设滑块到达B端时速度为v，由动能定理，得mgR＝2mv由牛顿第二定律，v2得FN－mg＝mR 联立两式，代入数值得轨道对滑块的支持力：FN＝3mg＝30 N. (2)当滑块滑上小车后，由牛顿第二定律，得:对滑块有：－μmg＝ma1, 对小车有：μmg＝Ma2 设经时间t两者达到共同速度，则有：v＋a1t＝a2t, 解得t＝1 s．由于1 s＜1.5 s，此时小车还未被锁定，两者的共同速度：v′＝a2t＝1 m/s 1因此，车被锁定时，车右端距轨道B端的距离：x＝2a2t2＋v′t′＝1 m. v＋v′12(3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块相对小车滑动的距离Δx＝2t－2a2t＝2 m 所以产生的内能：E＝μmgΔx＝6 J. 11(4)对滑块由动能定理，得－μmg(L－Δx)＝2mv″2－2mv′2, 滑块脱离小车后，在竖直1方向有：h＝2gt″2 所以，滑块落地点离车左端的水平距离：x′＝v″t″＝0.16 m. 答案：(1)30 N (2)1 m (3)6 J (4)0.16 m 12．如图7－7－11所示，质量为2m和m可看做质点的小球A、B，用不计质量的不可伸长的细线相连，跨在固定的半径为R的光滑圆柱两侧，开始时A球和B球与圆柱轴心等高，然后释放A、B两球，则B球到达最高点时的速率是多少? 13

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