03章动量角动量教案04

第三章 动量和角动量守恒 1．教学目标和基本要求：

(1) 掌握动量、冲量概念。掌握质点的动量定理，并能用以分析、解决质点在平面内运动时的简单力学问题。

(2) 理解质点系动量定理。掌握动量守恒定律以及适用条件。掌握运用动量守恒定律分析问题的思想和方法，能分析简单系统在平面内运动的力学问题。

（3）理解质点的角动量概念，理解力矩、力矩的冲量矩概念。理解质点系角动量定理。 （4）理解角动量守恒定律及其适用条件。能应用角动量守恒定律分析、计算有关问题。 2．教学内容：

§3–1 质点的动量定理

§3-2 质点系的动量定理 §3-3 动量守恒定律

§3-4 角动量 质点的角动量定理 §3-5 角动量守恒定律

§3-6 质点系的角动量定理 学时：4学时；

3．教学重点：建立动量、角动量的概念。掌握力的冲量与动量的变化量的关系。理解力矩的冲量矩与角动量的变化量的关系。掌握动量守恒定律以及适用条件。理解角动量守恒定律及其适用条件。

教学难点：动量、动量定理、动量守恒定律的矢量性。建立角动量的概念。角动量、角动量定理、角动量守恒定律的矢量性。

4，教学内容的深化和拓宽：动量守恒定律与牛顿运动定律的关系。 5．教学方式：课堂教学。

6．主要参考书：唐南 王佳眉主编《大学物理学》，高等教育出版社，2003。

第一单元

第三章 动量和角动量

§3–1 质点的动量定理

1. 质点的动量 P=mv

2. 质点的动量定理的微分形式 F? 质点的动量定理的积分形式 3. 力的冲量是力对时间的累积 力在dt时间内的微冲量 dI?Fdt 力在t1~t2时间内的冲量 I?dP 或 Fdt?dP dt?t2t1Fdt??P1P2dP?P2?P1

?t2t1Fdt?P2?P1

p1 I I 、P1、P2满足矢量关系，在几何图形上构成闭合的三角形。 在F~t曲线图中，冲量就是冲力曲线与横轴之间的面积， 4. 质点动量定理的分量形式:

p2 1

I2x??ttFxdt?Px2?Px1 I2y? Iz?1?ttFydt?Py2?Py1 1?t2tFzdt?Pz2?Pz1

15. 平均冲力 t2 tFdtF??1I

tt?2?1?t

§3-2 质点系的动量定理

1．由若干个质点组成的系统简称为质点系。质点系中各质点受到的系统外的物体对它们的作用力称为外力，质点系中各质点彼此之间的相互作用力称为内力。

2．质点系的动量定理(微分形式) 对i质点应用质点的动量定理：

FdPii?F外i?F内i?dt 对质点系中n个质点求和：

?FdPi外i?i? i?F内i?idt内力总是以作用力和反作用力的形式成对出现，求和的结果等于零，故

FdP外?dt

即：质点系所受的合外力等于质点系动量对时间的变化率。

3．质点系的动量定理(积分形式)

当力持续作用一段时间后，质点系动量变化的规律为

?P2?tF外dt??PdP?P2?P1

1??tF外dt称为?t时间内质点系受到的合外力的冲量，用I外表示，P1和P2是质点系初态和

末态时的动量，所以有

I外?P2?P1 即：在某段时间内，质点系受到的合外力的冲量等于质点系(总)动量的增量。

4．对质点系而言，内力不改变系统的总动量，内力使动量在系统内转移和交换。只有外力改变系统的总动量。

例3.1 质量m=1.0kg的小球以初速率v0=20.0m/s沿水平方向抛出，求一秒钟之后小球速度的大小和方向(不计空气阻力)。

解 此题可用动量定理求解。小球抛出时的初动量P1?mv0?20kg?m/s，沿水平方向，一秒钟之内小球所受重力的冲量I?mg?t?9.8N?s，方向竖直向下。根据(3-4)式的矢量关系可作图如图3-3，则一秒钟后动量P2的大小为

P2?P12?I2?(20)2?(9.8)2?22.3kg?m/s 速度大小为

v?P2m?22.3m/s 2

(3-5)

(3-6)

(3-7)

y p1 m v v0 ? I p2

?1 ?2 x

例3.1图 例3.2图

O 速度方向为

??arctanI9.8?arctan()?26.1? P20例3.2 如图所示，质量m=0.15kg的小球以v0=10m/s的速度射向光滑地面，入射角

?1?30?，然后沿?2?60?的反射角方向弹出。设碰撞时间?t?0.01s，计算小球对地面的平均

冲力。

解 因为地面光滑，地面对小球的冲力沿法线方向竖直向上，水平方向小球不受作用力。设地面对小球的平均冲力为F，碰后小球速度为v。建立坐标如图，根据质点的动量定理有

由此得 代入数据

F?0.15?100.01?32?0.15?9.8?175N

F?v?v0sin?1 sin?2Ix?0?mvsin?2?mv0sin?1

Iy?(F?mg)?t?mvcos?2?(?mv0cos?1)

mv0sin(?1??2)?mg

?t?sin?2小球对地面的平均冲力就是F的反作用力。在本题中考虑了重力的作用，事实上重力

mg?0.15?9.8?1.47N，不到F的1%，因此完全可以忽略不计。

例3.3 木板B静止置于水平台面上，小木块A放在B板的一端上，如图所示。已知mA=0.25kg，mB=0.75kg，小木块A与木板B之间的摩擦因数?1?0.5，木板B与台面间的摩擦因数?2?0.1。现在给小木块A一向右的水平初速度v0=40m/s，B恰好具有相同的速度？(设问经过多长时间A、B板足够长.)

解 当小木块A以初速度v0向右开始运动时，它将受到木板B的摩擦阻力的作用，木板B则在A给予的摩擦

力及台面给予的摩擦力的共同作用下向右运动。如果将木板B与小木块A视为一个质点系统，A、B之间的摩擦力就是内力，不改变系统的总动量，只有台面与木板B之间的摩擦力

Fk才是系统所受的外力，改变系统的总动量。设经过?t时间A、B具有相同的速度

A v0 B v，则根

据质点系的动量定理有

以及

3

?Fr?t?(mA?mB)v?mAv0

k 得：

Fr??2(mA?mB)g

kv?(mA?1v0??2)?

mA?mB?1??2再对小木块A单独予以考虑，A受到B给予的摩擦阻力Frk?，应用质点的动量定理 ?F?rk?t?mAv?mAv0

以及 F?rk??1mAg

解得：

?t?v0?v?1g 代入有关数据，最后得出

v?2.5m/s，?t?7.65s

§3-3 动量守恒定律

一 动量守恒定律

如果质点系所受的合外力为零，质点系的动量将保持不变，即

F外?0

P??mivi?恒矢量i

称为动量守恒定律，又可以表述为：封闭系统的动量保持不变。

正确理解和正确运用动量守恒定律应注意的问题： 1． 动量守恒是指质点系总动量不变，?mivi?恒矢量。质点系中各质点的动量是可

i以变化的，质点通过内力的作用交换动量。

2．真实系统与外界或多或少地存在着某些作用，当质点系内部的作用远远大于外力（F

内

>>F外），或者外力不太大而作用时间很短促，以致形成的冲量很小的时候，可以忽略外力

的效果，近似地应用动量守恒定律，这是实际中最常见的情况。

3 动量守恒定律的分量形式为：

若：Fx?0，则：?mivix?常量i 若：Fy?0，则：?miviy?常量i 若：Fz?0，则：?miviz?常量i

合外力在哪一个坐标轴上的分量为零，质点系总动量在该方向上的分量就是一个守恒量。分量守恒所提供的方程，常常成为求解问题的必不可少的条件。 二 碰撞过程中的动量守恒现象

碰撞泛指强烈而短暂的相互作用过程。若将碰撞中的诸物体看作一个系统，碰撞过程的表现是内力作用强，通常情况下满足F内??F外，且作用时间短暂，外力的冲量一般可以

4

(3-3-1)

忽略不计，因此动量守恒是一般碰撞过程的共同特点。

碰撞可以分为三类：

(1) 完全弹性碰撞。碰撞后二体分开，系统动量守恒，机械能守恒（表现为系统的总动

能不变）。

(2) 非完全弹性碰撞。碰撞后二体分开，系统动量守恒（机械能不守恒）。 (2) 完全非弹性碰撞。碰撞后二体合一，系统动量守恒（机械能不守恒）。

例3.4 质量为m1的小球A以速度v0沿x轴正方向运动，与另一质量为m2的静止小球B在水平面内碰撞，碰后A沿y轴正方向运动，B的运动方向与x轴成?角，如图所示。

(1) 求碰撞后A的速率v1和B的速率v2；

(2) 设碰撞的接触时间为?t，求A受到的平均冲力。

解 (1) 以A、B两球构成系统，合外力为零，系统的动量守恒。建立坐标如图3-6，应用动量守恒定律的分量形式：

x方向 y方向 联立上二式，得

v1?v0tan?m2v2cos??m1v0 m1v1?m2v2sin??0

v2?m1v0 m2cos?(2) 以小球A为研究对象，由质点的动量定理 x方向 y方向 所以F的大小为

FFx?m1v1x?m1v0xmv??10

?t?tm1v1y?m1v0ymvFy???11

?t?tF?(Fx)2?(Fy)2?(?m1v02m1v12m1)?()?v02?v12 ?t?t?tFyFx与x轴的夹角

??arctan?arctan(?v1) v0

O m2 v0 例3.5 图所示，一轻绳悬挂质量为m1的砂袋静止下垂，质量为m2的子弹以速度v0倾斜角?射入砂袋中不再出来，求子弹与砂袋一同开始运动时的速度。

解 在子弹弹射入砂袋的过程中以子弹和砂袋构成一系统，竖直方向上受重力(可忽略)和绳的冲力(不可忽略)的作用，动量的袋以共同速度v开始运动。

得

v?m2sin??v0 m1?m2m2v0sin??(m1?m2)v? m1

例3.5图

竖直分量不守恒。在水平方向上系统不受外力作用，动量的水平分量守恒。设碰后子弹与砂

例3.6 小游船靠岸的时候速度已几乎减为零，坐在船上远离岸一端的一位游客站起来

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