函数项级数一致收敛判定与性质论文

渤海大学学士学位论文

题目：函数项级数一致收敛判定与性质 系别：数学系

专业：数学与应用数学 姓名： 班级：

指导教师：

目录

摘要------------------------------------------------------------------------------1 英文摘要------------------------------------------------------------------------1 引言------------------------------------------------------------------------------2 一 预备知识-----------------------------------------------------------------2 二 函数项级数一致收敛的柯西准则-----------------------------------7 (一) M判别法----------------------------------------------------------8 (二) 阿贝尔判别法----------------------------------------------------9 (三) 狄立克雷判别法-------------------------------------------------9 三 函数项级数一致收敛的其他判别法------------------------------12

(一) (二) (三)

比式判别法-------------------------------------------------12 根式判别法-------------------------------------------------13 对数判别法-------------------------------------------------13

四 函数项级数的性质--------------------------------------------------15 五 反例证明--------------------------------------------------------------16 参考文献----------------------------------------------------------------21

函数项级数一致收敛的判定与性质

张月姣

（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）

摘要：利用柯西准则，证明函数项级数一致收敛的两个判别法。对比数项级数和函数项级数, 如比式判别法、根式判别法,同时还给出了函数项级数一致收敛性的对数判别法。通过反例说明了一致收敛是和函数分析性质的充分而非必要条件, 由此看出在数学分析教学中合理恰当地运用反例会收到很好的教学效果同时给出和函数连续性的三种等价形式, 而且在使用时, 各有好处。

关键词：函数列，和函数，函数项级数，一致收敛，数列

On Uniformly Convergence Criterion for Function Series

Zhang Yuejiao

(Department of Mathematic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)

Abstract :

the author proved two discriminances for uniform convergence by using the Cauchy

criterion. Through comparison between infinite series and function series ，for example, ie ratio test ,radical test and logarithm test ,for uniformly convergence of function series are obtained .This paper shows with inverse examples that consistence convergence is a full but not necessary condition for analytical properties of sum function,which sees good effect on teaching mathematics if used properly.Meanwhile three equavilences for sum function consistency,and the advantages in use is provided.

Key words :

Sequences of functions, Sum function, infinite Series of functions, Uniformly convergent, Sequence。

1

引言

函数项级数作为数项级数的推广,在研究内容上同数项级数有许

多极其相似的地方,比如它们的收敛性、和的问题，但函数项级数还有一点不同于数项级数,就是关于它的一致收敛性。对比数项级数的收敛性和函数项级数的一致收敛性判别法,不难发现,它们在判断方法上极其相似,特别是在它们判别法的名称上,比如它们都有Cauchy判别法、Abel判别法等. 对于函数项级数的一致收敛性,有没有类似于数项级数收敛性判别的其它方法,是一个值得研究的课题.

设{un(x)}是定义在数集E上的一个函数列，表达式 u1(x)+u2(x)+??un(x) ??,x?E 称为定义在E上的函数项级数，简记为?un(x)或?un(x)。称

n?1? sn(x)??uk(x)，x?E,n=1,2,?.

k?1n为函数项级数的部分和函数列。[1] 收敛的基本概念

一、函数列收敛的??N定义

设函数列?fn?与函数f均定义在数集D上，若对每一

x?D,???0,?N，当n?N时，有

fn(x)?f(x)??

则称?fn?在D上收敛于f，记作

fn(x)?f(x)(n??),x?D

2

或 limfn(x)?f(x),x?D

n??且称f为函数列?fn?在D上的极限函数。

注意：函数列?fn?在D上收敛于f，即是对每一x?D，数列?fn?收敛于f(x)。

二、函数列一致收敛的??N定义

设函数列?fn?与函数f均定义在数集D上，若???0,?N，当n?N时，对一切x?D，均有

fn(x)?f(x)??

则称?fn?在D上一致收敛于f，记作

fn(x)?f(x)(n??),x?D

三、函数项级数一致收敛的定义

若函数项级数?un(x)的部分和函数列?Sn(x)?在数集D上一致收

n?1?敛于S(x)，则称函数项级数?un(x)在D上一致收敛于S(x)或称

n?1??un(x)在D上一致收敛。

n?1?我们可以看到，函数列如果一致收敛，则一致收敛于它的极限函数，因此有必要先求出其极限函数，再根据证明极限存在的方法证明函数列一致收敛于极限函数。而函数项级数?un(x)的一致收敛性归

n?1?结到其部分和函数列?Sn(x)?的一致收敛性的研究上。[2]

例1 讨论函数列的一致收敛性

fn(x)?

xxlnnn3

(0?x?1)

解 当n?3时，fn?(x)?(ln?1)?0，于是函数fn(x)在?0,1? 是单调递减函数，再由

xxlim?fn(x)?lim?ln?lim?ylny?0x?0x?0nny?0fn(1)?11ln?0 nn1nxn可知

?lnn11?ln?fn(x)?0(0?x?1) nnnlnn?0

n??n对于任意给定的??0，因lim故存在N?0，当n?N时，有

fn(x)?0?fn(x)?lnn?? n因此fn(x)在?0,1?上一致收敛于零。

例2 设f在?a,b?内有连贯的导数f?，记

1??fn(x)?n?f(x?)?f(x)?

n??证明在?a,b?内的任一子区间??,??上?fn?一致收敛收f?。

分析：要证fn(x)?f?(x)(n??),x???,??，因为极限函数为已知的，又由于这一函数f?以抽象形式给出的，因而易于用一致收敛定义试解之，为此，要证???0,?N，当n?N时，对一切x???,??，均有

1f(x?)?f(x)nfn(x)?f?(x)??f?(x)?? 1n 4

1f(x?)?f(x)n由于f?(x)连续，则只需将同f的导数f?表示出来，不1n难想到拉格朗日中值定理可以完成这一设想

1f(x?)?f(x)?n?f?(x?),0???1

1nn?????1??于是使f??x???f?(x)??，只要?x???x????即可。解之得

?n??n?nnn?，取n???，由于所找的N与x无关，则只要?与x无关即可，????1?1?这由f?的一致连续性即可办到。

证明 取a?????b

?x???,??，由拉格朗日中值定理知

1f(x?)?f(x)?nfn(x)??f?(x?),0???1

1nn???0，因f?在??,??上连续，则f?在??,??上一致连续，则???0，?x?,x?????,??，且x??x????时

f?(x?)?f??(x??)??

???1??因而，?x???,??，x????,??，只要?x???x????，就有

n?n?nnfn(x)?f?(x)??

于是?N????1，当n?N时，有??，对一切x???,??均有：

nN????fn(x)?f?(x)??，

5

?1?111

则fn(x)?f?(x)(n??),x???,??

函数项极数?un(x)的一致收敛性归结到其部分和函数列?Sn(x)?n?1?的一致收敛性的研究上。[3]

例3 考察级数

?x2e?nxn?1?(0?x??)

的一致收敛性

分析：由于函数项级数的一致收敛性要归结到它的和函数列的一致收敛性上。所以我们首先要求出它的和函数列，由等比级数求和公式知当x?0时，S(x)??xen?1?2?nxx2?，对于任意n，由于 ?x1?eS(x)?Sn(x)?n?n?1?x?2?kxex2e?nx? 1?e?xx2e?nx因此级数的一致收敛性等价于函数列对区间(0?x??)的一致

1?e?x收敛于零。

证明 由等比级数求和公式知当x?0时

S(x)??xen?1?2?nxx2?1?e?x，

对任意n，

S(x)?Sn(x)?k?n?1?x?2?kxex2?e?nx? ?x1?e下面证明此函数列是一致收敛于零的。

x2x2?0，所以f(x)?由于lim在0?x?1有界且对于任意给定?xx?01?e?x1?e

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x2??。于是对所有自然数的??0，存在??0，当x?(0,?)时，有?x1?en,x?(0,?)，有

x2x2?nxe???， ?x?x1?e1?e而当??x??时，由x?ex知，当n?2时

x2e?(n?2)xe?(n?2)??nxe???0(n??) ?x?x??1?e1?e1?ex2?nxe于是在??x??地一致收敛于零，因此存在N，当n?N时，?x1?e对所有x???,???有

x2x2?nx?n?e?e?? ?x??1?e1?e这样当n?N时，对所有0?x??，有?xek?n?2?kxx2e?nx???，因此级数1?e?x?x2e?nx在0?x??上一致收敛。[4]

n?1?定义1： 设un(x)，（n?1,2?.）都是在数集D上由定义的函数，若存在一个在D上由定义的函数S(x),对任意的??0，存在自然数N,使得当n>N时，对一切x?D均有

|?uk(x)?s(x)|〈?

k?1?则称函数项级数?un(x)在数集D上一致收敛于S(x).

n?1?函数项级数一致收敛的柯西准则：

函数项级数?un(x)在数集D上一致收敛的充要条件：对任意的正数?，总存在某正整数N,使得当n>N时，对一切x?D和一切正整

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数p,都有

|sn?p(x)?sn(x)|

|un?1(x)?un?2(x)???un?p(x)|

定理1：设函数项级数?un(x)定义在数集D上，?Mn为收敛的正项级数，若对一切x?D,有

|un(x)|?Mn，n=1.2.?, 则函数项级数?un(x)在D上 一致收敛。

证明：有假设正项级数?Mn收敛，根据数项级数的柯西准则，任给正数?，存在某正整数N，使得当n>N及任何正整数p,有

|Mn?1???Mn?p|=Mn?1???Mn?p??。 又对一切x?D有

|un?1(x)???un?p(x)|?|un?1(x)|???|un?p(x)| ?Mn?1???Mn?p??

根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数?un(x)在D上一致收敛。 例题1：函数项级数

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sinnx?n2, conxs?n2

在（-?,??）上一致收敛，因为对一切x?(??,??)有 |而正项级数?conxs1sinnx1|， ||??n2n22n2n21收敛。 n2定理2：阿贝尔判别法

(1)?un(x)在区间I上一致收敛; (2)对于每一个x?I,{vn(x)}是单调的；

(3){vn(x)}在I上一致有界，即对一切x?I和正整数n，存在正数M,使得

|vn(x)|?M, 则级数在I上一致收敛。

证明：由（1），任给??0,存在某正数N,使得当n>N及任何正整数P，对一切x?I，有

|un?1(x)???un?p(x)|

|un?1(x)vn?1(x)???un?p(x)vn?p(x)|?(|vn?1(x)|?2|vn?p(x)|)?3M?.

于是根据函数项级数一致收敛得柯西准则就得到定理得结论。 定理3：狄利克雷判别法 （1）?un(x)是部分和函数列

Un(x)??uk(x) (n=1,2?)

k?1n在I上一致有界；

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（2）对于每一个x?I,|vn(x)|是单调得； （3）在I上vn(x)?0(n??) 则级数在I上一致收敛。

证明；由（1），存在正数M，对一切x?I,有|Un(x)|?M.因此当n,p为任何正整数时，

|un?1(x)???un?p(x)|?|Un?p(x)?Un(x)|?2M. 对任何一个x?I,再由（2）及阿贝尔引理，得到 |un?1(x)vn?1(x)???un?p(x)vn?p(x)| ?2M(|vn?1(x)|?2|vn?p(x)|).

再由（3），任给?>0,存在正数N，当n>N时，对一切x?I,由有 |vn(x)|??, 所以

|un?1(x)vn?1(x)???un?p(x)vn?p(x)|?2M(??2?)?6M? 于是由一致收敛得柯西准则，级数在I上一致收敛。

例题2 函数项级数

(?1)n(x?n)n ? n?1n(?1)nx,vn(x)?(1?)n时，在?0,1?上一致收敛。因为un(x)?由阿贝尔判nn别法就得到结论。

例题3 若数列{an}单调收敛于0，则级数

?ancosnx

在??,2????（0

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证明： 在区间上有

1sin(n?)x2?1||?coskx|?|x2k?12sin 2111????1,2x?22|sin|2sin22n所以级数得部分和函数列在区间上一致有界，于是令 un(x)?cosnx,vn(x)?an, 由狄利克雷判别法得级数在区间上一致。

利用狄利克雷判别函数级数一致收敛得三个条件，一个也不能缺。

例如，{?1nx}?{}有界，对任意x?(0,??),{}均递减，

n?1nk?1(k?1)n?xx在{}在（0，+?）上收敛于0，但不一致收敛，从而?2n(n?1)nn?1（0，+?）内不一致收敛。

事实上，取xn?n3?(0,??)(n?1,2?) 则lim|n??xnn?0|??1 limn?1n2(n?1)n??所以{

x}在（0，+?）不一致收敛于0 2n(n?1)因此?x不一致收敛。 2n?1n(n?1)nk?再如{?(1?x)x}={x?xk?1n?1xn}在（-1，0）一致有界，{}在（-1，

nxn0）一致收敛于0，但对任意x?(-1,0),{}均不单调，

n 11

(1?x)x2n而?在（-1，0）内不一致收敛。

nn?1?结合数项级数比式判别法和根式判别法,可以得到函数项级数一致收敛性的比式判别法和根式判别法,同时利用p 级数的收敛性和优级数判别法还可得到函数项级数一致收敛性的对数判别法. 一 比式判别法

定理1 设 un ( x) 为定义在数集D 上正的函数列,记

qn(x) =

un?1(x) un(x)存在正整数N 及实数q、M ,使得:

qn(x)≤ q < 1 , uN(x)≤M 对任意的n > N , x ∈D 成立,则函数项级数?un(x)在D 上一致收敛

n?1?证明 易见

un(x)=

un(x)un?1(x)uN?1(x)???uN(x) un?1(x)un?2(x)uN(x) =qn?1(x)?qn?2(x)?qN(x)?uN(x) ?qn?N?1M

而等比级数?qn?Mq1?N当公比0 < q < 1 时收敛,从而由函数项级数

n?N?一致收敛性的优级数判别法知,?un(x)在D 上一致收敛.

n?1?定理1 有极限形式:

定理2 设un(x) 为定义在数集D 上正的函数列,记

qn(x)?

un?1(x) un(x)12

若limqn(x)?q(x)?q?1

n??且un(x) 在D 上一致有界,则函数项级数?un(x)在D上一致收敛.

n?1?二 根式判别法

定理3 设un( x) 为定义在数集D 上的函数列,若存在正整数N ,使得

n|un(x)|?q?1

对?n > N , x ∈D 成立,则函数项级数?un(x)在D上一致收敛.

n?1?证明 由定理条件,

|un(x)| ≤ qn 对?n > N , x∈D 成立,而几何级数Σqn收敛,由优级数判别法知, 函数项级数?un(x)在D 上一致收敛.

n?1?注:当定理3 条件成立时,级数?un(x)在D 上还绝对收敛。

n?1?定理3 的极限形式为:

定理4 设un(x) 为定义在数集D 上的函数列,

若limn|un(x)|?q(x)?q?1

n??对?x ∈D成立,则函数项级数在D 上一致收敛。 三 对数判别法

定理5 设un(x) 为定义在数集D 上正的函数列, 若

limn???lnun(x)?p(x) lnn13

存在,那么:

(1) 若对?x ∈ D , p( x) > p > 1 , 则函数项级数?un(x)在D 上

n?1?一致收敛;

(2) 若对?x ∈ D , p( x) < p <1则函数项级数?un(x)在D 上不一

n?1?致收敛;

证明 由定理条件知,对?ε > 0 , ?N ,使得对?n>N ,有 p( x) - ε <

即

1np(x)???lnun(x)?p(x)?? lnn?un(x)?1np(x)??

1 np则当p ( x) > p > 1 对x ∈D 成立时,有un(x)?而p级数Σ

?1当p > 1 时收敛,由优级数判别法知函数 pn项级数?un(x)在D上一致收敛;而当p( x) < p < 1对

n?1x ∈D 成立时,有un( x) >

?11， p 级数Σ当p < 1时发散,从而函ppnn数项级数?un(x)在D 上不一致收敛.

n?1例1 设un ( x) =上的函数列,由于

2?5?8??[2?3(n?1)]nx为定义在D = [0 ,1]

1?5?9?[1?4(n?1)]un?1(x)2?3n33?x?x??1limlimu(x)1?3n44 n??n n??0?un(x)?2由定理2 知函数项级数?un(x)在[0 ,1] 上一致收敛。

n?1? 14

例2 函数项级数Σ

n在( - ∞, - r ] ∪[ r , + ∞)上一致xn收敛(其中r为大于1的实常数) 。因为

由定理4知道结论成立。

nnnn1|n|???r?1 |x||x|x函数项级数的连续性：若函数项级数?un(x)在区间 [a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[a,b]上也连续。 这个定理指出：在一致收敛条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺序，即

?(limun(x))?lim(?un(x)) x?x0x?x0函数项级数的逐项求积： 若函数项级数?un(x)在区间 [a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则

??aun(x)dx??a?un(x)dx 函数项级数的逐项求导： 若函数项级数?un(x)在上每一项都有连续的导数，x0?[a,b]为?un(x)的收敛点，且?un'(x)在[a,b]上一致收敛，则

ddun(x))?(?un(x)) dxdx1例题：设un(x)?3ln(1?n2x2),n?1,2? nbb ?(证明函数项级数?un(x)在[0，1]上一致收敛，并讨论其和函数的连续性，可积性，与可微性。

证明：对每一个n,易见在[0，1]上是增函数，故有

un(x)?un(1)?1ln(1?n2) 3n又当t?1时，有不等式ln(1+t2)

15

un(x)?un(1)?112

和函数的连续性、可积性、可微性定理告诉我们在一致收敛的条件下函数项级数各项的分析性质连续性、可积性及可微性才能保持到它的和函数当中去, 这一点是不容置疑的,

一般教科书上都有直接证明但一致收敛仅是充分而非必要条件, 既在非一致收敛的条件下, 结论也有可能成立这一点在讲授时势必重锤敲打

问题1 函数项级数?(n?1?nx(n?1)x?)的部分和22221?nx1?(n?1)xSn(x)?nx, 221?nxnx=0而这个函数项级

1?n2x2在〔0,1 〕上的和函数S(x)=limSn(x)?limn??n??数在〔0,1 〕上非一致收敛。事实上, 〔0, 1〕内取数列{},

1nlimn??11|S()?Sn()|?limnnn??n?1n1n2?1?n2?1?0 2即函数项级数在〔0,1 〕上非一致收敛, 而这个函数项级数的每一项上都连续。 则(1)和函数S(x

1n??显然在〔0,1 〕上连续

1n?? (2)?0[limSn(x)]dx?lim?0Sn(x)dx (3)不难证明?(n?1?nx(n?1)x?)在(0,1)内非一致收敛,但

1?n2x21?(n?1)2x216

?x?(0,1)有

0=

dS(x) dxnx(n?1)x(?) ?22221?nx1?(n?1)xn?1?d =

dx =?dnx(n?1)x(?) 22221?(n?1)xn?1dx1?nxk?k3x2(k?1)?(k?1)3x2[?] ?2222(1?kx)(1?(k?1)x)k?1n? =limn?? =limn??n?n3x2?0 222(1?nx)由此我们看出, 反例是推翻错误命题的手段, 在教学过程中, 有时恰如其分地使用一个反例, 对于说明一个陈述不真, 会收到很好的效果，盖尔鲍姆和奥姆斯特德说得好“ 一个数学间题用一个反例予以解决, 给人的刺激犹如一出好的戏剧” 所以在教学过程中要善于适时地使用反例, 会收到很好的教学效果。

1: 若?un(x)在I上一致收敛，?n?N,un(x)在I上一致连续，则和函

n?1?数在I上一致连续。

2： 若?un(x)在x0上的某个邻域内一致收敛,存在?n?N,un(x)在

n?1?x=x0处连续,则和函数S(x)在x=x0处连续.

3: 若?un(x)在(a,b) 内闭一致收敛(指(a,b) 内任一闭区间上一

n?1?致收敛) , ?n?N,un(x)在（a,b）内连续, 则和函数S(x)在(a,b) 内连续.

问题2 设{xn}是（0，1）内的一个序列，

17

0

（3）设{xk}是{xn}中任意一点，因

f(x)=?sgn(x?xn)sgn(x?xk)? nk22n?k右边第一项在x?xk处连续，第二项在x?xk处间断，因此f(x)在

x?xk处间断。

注 {xn}可以在（0，1）内稠密，因此证明x?xn是连续，无法用等 价形式（1），只能用等价形式（2）。

1问题3 证明f(x)??(x?)在（-1，1）内连续

nn?1?n 证明：?q: 0

1 ?x?[?q,q],?(q?)收敛

nn?1?n1n1n1n 18

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