数值分析作业答案

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第2章 插值法

1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。

（1）用单项式基底。

（2）用Lagrange插值基底。

（3）用Newton基底。

证明三种方法得到的多项式是相同的。

解：（1）用单项式基底

2设多项式为:P(x) a0 a1x a2x， x0

x1

x2

x0

x1

x2

x0

x1x02221 1211 6 4222所以：A x1 x2x0x1222f(x0)a0 f(x1)f(x2)a1 x0x1x2x0x1x2

x0

x1

x2x0x001 121141 1211 4x1 3x222214 6 73 x22224f(x0)f(x1)f(x2)x0x1x20 341141 1211 4x1 x2 9 6 32 x2a2 f(x0)f(x1)f(x2)x0x2 1 12

7

30 3432561 1211 4212 5 6 56 x2所以f(x)的二次插值多项式为：P(x)

（2）用Lagrange插值基底

l0(x) (x x1)(x x2)(x0 x1)(x0 x2)

(x x0)(x x2)

(x1 x0)(x1 x2)

(x x0)(x x1)

(x2 x0)(x2 x1) (x 1)(x 2)(1 1)(1 2)(x 1)(x 2)( 1 1)( 1 2)(x 1)(x 1)(2 1)(2 1) x x 2 l1(x) l2(x)

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Lagrange插值多项式为：

L2(x) f(x0)l0(x) f(x1)l1(x) f(x2)l2(x)

0 ( 3)

5

6x 216(x 1)(x 2) 4 7

313(x 1)(x 1) 32x

所以f(x)的二次插值多项式为：L2(x)

(3) 用Newton基底:

均差表如下：

73 32x 56x 2

NewtonN2(x) f(x0) f[x0,x1](x x0) f[x0,x1,x2](x x0)(x x1)

0

5

6322(x 1) 32x 7

356(x 1)(x 1) x

所以f(x)的二次插值多项式为：N2(x) 73 3

2x 5

6x 2

由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。

x6、在 4 x 4上给出f(x) e的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有

R2(x) 13!f ( )(x xi 1)(x xi)(x xi 1), (xi 1,xi 1)

式中xi 1 x h,xi 1 x h.

R2(x) 16e4max

xi 1 x xi 1(x xi 1)(x xi)(x xi 1) 16e42133h 3e4

93h 3

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令e4

93h 103 6得h 0.00658

插值点个数

1 4 ( 4)

N 1 1216.8 1217

是奇数，故实际可采用的函数值表步长

h 4 ( 4)

N 1 8

1216 0.006579

8、f(x) x7 x4 3x 1，求f[20,21, ,27]及f[20,21, ,28]。

解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：

f[x0,x1, ,xn] f(n)( )n!, [a,b] 所以有：f[2,2, ,2] 017f(7)( )

7!

f(8) 7!7! 1

f[2,2, ,2] 018( )

8! 0

8! 0

15、证明两点三次Hermite插值余项是

R3(x) f(4)( )(x xk)(x xk 1)/4!, (xk,xk 1)22

并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。

证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件

H3(xk) f(xk),H3(xk 1) f(xk 1)

H3(xk) f (xk),H3(xk 1) f (xk 1)

知R3(x) f(x) H3(x)有二重零点xk和k+1。设

R3(x) k(x)(x xk)(x xk 1)22

确定函数k(x):

当x xk或xk+1时k(x)取任何有限值均可；

当x xk,xk 1时，x (xk,xk 1)，构造关于变量t的函数

g(t) f(t) H3(t) k(x)(x xk)(x xk 1)22

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显然有

g(xk) 0,g(x) 0,g(xk 1) 0

g (xk) 0,g (xk 1) 0

在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在 1 (xk,x)及 2 (x,xk 1)使得

g ( 1) 0,g ( 2) 0

在(xk, 1)，( 1, 2)，( 2,xk 1)上对g (x)使用Rolle定理，存在 k1 (xk, 1)， k2 ( 1, 2)和 k3 ( 2,xk 1)使得

g ( k1) g ( k2) g ( k3) 0

再依次对g (t)和g (t)使用Rolle定理，知至少存在 (xk,xk 1)使得

g(4)( ) 0

而g(4)(t) f(4)(t) k(4)(t)4!，将

k(t) 1代入，得到 f(4)

4!( ), (xk,xk 1)

推导过程表明 依赖于xk,xk 1及x

综合以上过程有：R3(x) f

确定误差限：

记Ih(x)为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。

xk a kh,(k 0,1 ,n),h b an(4)( )(x xk)(x xk 1)/4! 22

1在区间[xk，xk+1]上有 f(x) Ih(x) f(4)( )(x xk)(x xk 1)/4! 224!a x bmaxf(4)(x)max(x xk)(x xk 1)xk x xl 122

而最值

xk x xl 1max(x xk)(x xk 1)22 maxs(s 1)h0 s 1224 116h,(x xk sh)4 进而得误差估计：

f(x) Ih(x) 1384hmaxfa x b4(4)(x)

16、求一个次数不高于4次的多项式p(x)，使它满足p(0) p (0) 0，p(1) p (1) 0，p(2) 1。

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解：满足 (0) 0H3(0) H3, (1) 1H3(1) H3的Hermite插值多项式为

(x0 0,x1 1)

1

H3(x) [H

j 03 (xj) j(x)](xj)aj(x) H3

22x 1 x 0 x 0 1 2 (x 1) 1 0 1 0 1 0

2x x23

设P(x) H3(x) Ax2(x 1)2，令P(2) 1得A

于是

P(x) 2x x 23 14 1

414x(x 1)22 x(x 3)22

第3章 曲线拟合的最小二乘法

解：经描图发现t和s近似服从线性规律。故做线性模型s a bt, span 1,t ，计算离散内积有：

1,1 1

j 0

552 6， 1,t 5 tj 0j 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 14.7 t,t t2

j

j 0

5 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 53.63 222222 1,s sj

j 0

5 0 10 30 50 80 110 280 t,s tjsj

j 0 0 0 0.9 10 1.9 30 3.0 50 3.9 80 5.0 110 1078

求解方程组得：

6 14.7 14.7 a 280 53.63 b 1078

a 7.855048，b 22.253761

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运动方程为：s 7.855048 22.253761t

2平方误差： s

j 05j s(tj) 2 2.1 10 2

用最小二乘法求形如y a bx2的经验公式，并计算均方差。

21,x ，计算离散内积有： 解： span

1,1 1

j 042 5，1,x

4 2 xj 0

442j 19 25 31 38 4422222 5327 x2,x2 x

j 0

44j 19 25 31 38 444444 7277699 1,y

j 0

4yj 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 271.4 x2,y x

j 02jyj 19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8 369321.522222

求解方程组得：

5 5327 a 271.4 b 369321.5 7277699 5327

a 0.972579，b 0.05035

所求公式为：y 0.972579 0.05035x

1

4 均方误差： y(xj) yj j 022 2 0.1226

第4章 数值积分与数值微分

1、确定下列求积分公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：

（1） h

hf(x)dx A 1f( h) A0f(0) A1f(h)；

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（2） 2h 2h1f(x)dx A 1f( h) A0f(0) A1f(h)； （3） f(x)dx [f( 1) 2f(x1) 3f(x2)]/3； 1h（4） f(x)dx h[f(0) f(h)]/2 ah2[f (0) f (h)]。 0解：（1） h

hf(x)dx A 1f( h) A0f(0) A1f(h)；

将f(x) 1,x,x2分别代入公式两端并令其左右相等，得

h A 1 A0 A1 1dx 2h h h hA 1 0 A0 hA1 hxdx 0

h2A A 0 h2A hx2dx 2h3

101 h 3

解得。所求公式至少具有2次代数精确度。又由于

故

（2） 2h

2hh hf(x)dx h3f( h) 4h3f(0) h3f(h)具有3次代数精确度。 f(x)dx A 1f( h) A0f(0) A1f(h)

2f(x) 1,x,x分别代入公式两端并令其左右相等，得

2h A 1 A0 A1 1dx 4h 2h

2h hA 0 A hA 101 2hxdx 0 2h2h 163 13 222( h)A A 0 hA xdx x h 101 2h 3 3 2h

解得：A 1 A1 8h3,A0 4h3

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令f(x) x，得 32h

2hxdx 0 38h3

2h( h) 38h3 h 03

令55 x5 64h8h8h416h444 ( h) h f(x) x，得 xdx 2h55333 2h2h

故求积分公式具有3次精确度。

（3） f(x)dx [f( 1) 2f(x1) 3f(x2)]/3 11

当f(x) 1时，易知有

1

1f(x)dx [f( 1) 2f(x1) 3f(x2)]/3

令求积分公式对f(x) x,x2准确成立，即

1 11

1xdx 0 1 2x1 3x2xdx 223 1 2x 2

1 3x22

3

x1 0.2898979 x1 0.6898979则解得 或 x 0.5265986x 0.1265986 2 2

将f(x) x3代入已确定的积分公式，则

1

1f(x)dx [f( 1) 2f(x1) 3f(x2)]/3

故所求积分式具有2次代数精确度。

（4） f(x)dx h[f(0) f(h)]/2 ah2[f (0) f (h)] 0h

当f(x) 1,x时，有

h

h1dx h[1 1]/2 ah[0 0] xdx h[0 h]/2 ah[1 1] 22 0

故令f(x) x2时求积公式准确成立，即

h

0xdx h[0 h]/2 ah[0 2h] 1

12222解得a 。

将f(x) x3,x4代入上述确定的求积分公式，有

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h0 x4 12332xdx h[0 h]/2 h[0 3h] 12 4 0 x5 12444xdx h[0 h]/2 h[0 4h] 12 5 0hhh0

故所求积公式具有3次代数精确度。

2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：

（1） 1

0x4 x2,n 8;

（2

） 9

1,n 4;

,n 6 （3

） 6

解（1）复化梯形公式，h 1

8

7h T8 f(0) 2 f(xk) f(1) 0.1114024 2 k 1

复化辛普森公式，h 1

8

77 h S8 f(0) 4 f(x1) 4 f(xk) f(1) 0.1115718 k 6 k 0k 12

3h （2）h 2，T4 f(1) 2 f(xk) f(9) 17.3060005 2 k 1

33 h S4 f(1) 4 f(x1) 4 f(xk) f(9) 16.7237505 k 6 k 0k 12

5h （3）h ，T6 f(0) 2 f(xk) f() 1.0356841 362 6 k 1

55h S6 f(0) 4 f(x1) 4 f(xk) f() 1.0357639 k 6 6 k 0k 12

5、推导下列三种矩形求积公式：

babab

af(x)dx (b a)f(a) f(x)dx (b a)f(a) f(x)dx (b a)f(a b2f ( )2f ( )2) (b a)(b a)2； ； 32f ( )

24(b a)。

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解：（1）左矩形公式，将f(x)在a处展开，得

f(x) f(a) f ( )(x a), (a,x)

两边在[a,b]上积分，得

b

af(x)dx baf(a)dx baf ( )(x a)dx

(b a)f(a) b

a f ( )(x a)dx

由于x-a在[a,b]上不变号，故由积分第二中值定理，有 (a,b)

baf(x)dx (b a)f(a) f ( ) (x a)dx ab从而有 baf(x)dx (b a)f(a) 121

22f ( )(b a), (a,b) （2）右矩形公式，同（1），将f（x）在b点处展开并积分，得 baf(x)dx (b a)f(a) 2f ( )(b a), (a,b)

（3）中矩形分式，将f(x)在

f(x) f(a b

2) f (a b

2)(x a b2a b

2处展开，得 ) f ( )(x a b

2

1), (a,b)2 a b

2两边积分并用积分中值定理，得 b

af(x) f(a b2)(b a) f (a b

2) (x aba b2)dx 2baf ( )(x )dx2

f(a b

2

a b

2)(b a) f ( ) (x aba b22)dx f()(b a) 1

243f ( )(b a), (a,b)

6、若分别使用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分I

应分多少等份才能使截断误差不超过 10 5。 21 10问区间 0,1 edx，x

解：由于f(x) ex f (x) f(4)(x),b a 1

由复合梯形公式的余项有：

Rn f 1 1 1 5 hf ( ) e 10 1212 n 22b a2

解得n 212.85可取n 213

由辛普森公公式的余项有：

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Rn f b a2880h4f(4)( ) 141 5() 10 2880n21

解得n 3.707可取n 4

8、用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过10 5

（1

（2） 2 10edx； x

3xsinxdx； （3

） 。

n 1 h T f(x) f(x) 2f(x),k 0 0ni n 2 i 1

k(k 1)(k 1)4T2n Tn ,k 1,2,3, k 1 4

解：（1）Tk(k)

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18、用三点公式求f(x)

1(1 x)2在x 1.0,1.1,1.2处的导数值，并估计误差。的

f (x0) 12h

1

2h

1

2h 3f(x0) 4f(x1) f(x0) f(x1) h2f(x2) h23f ( 0) f (x1) 6f ( 1) 2f (x2) f(x0) 4f(x1) 3f(x2)

h3f ( 2) i (x0,x2),i 0,1,2

取表中x 1.0,1.1,1.2，分别将有关数值代入上面三式，即可得导数近似值。 由于f ( i) maxf (x) max1.0 x 1.24!1.0 x 1.2 1 x 5 4!25 0.75

数值积分法,令 (x) f (x)，由

f(xk 1) f(xk) xk 1xk (x)dx

对积分采用梯形公式，得

f(xk 1) f(xk) xk 1 xk2 (xk) (xk 1) (xk 1 xk)123 ( k), k (xk,xk 1) 令k=0,1,得

(x0) (x1)

(x1) (x2) 2h2h f(x1) f(x2) f(x0) f(x1)

数值分析作业答案

同样对

f(xk 1) f(xk 1) xk 1xk 1 (x)dx

有

f(xk 1) f(xk 1) xk 1 xk 12 (xk 1) (xk 1) (xk 1 xk 1)123 ( k), k (xk 1,xk 1) 从而有

(x0) (x2) 1h f(x2) f(x0)

代入数值，解方程，即得 (xk),k 0,1,2如下

第5章 解线性方程的直接方法

7、用列主元消去法解线性方程组

12x1 3x2 3x3 15 18x1 3x2 x3 15

x1 x2 x3 6

并求出系数矩阵A的行列式的值。

15 18

15 06

0

3 176 1731718 18 15 5 0 31 0 6 3760 1171822

7 15 31 6 66 7 A 12 b 18 1 3313 11

A 18 7

6 22

7 66

x3 3,x2 2,x1 1

8、用直接三角分解求线性方程组的解。

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11 1x x 41526x3 9

11 1x x x3 8 1245 3

1x1 x2 2x3 8 2

解：由公式u1i a1i(i 1,2, ,n),li1 ai1/u11,i 2,3, ,n

r 1

uri ari lrkuki,i r,r 1, ,n;

k 1

r 1

lir (air likukr)/urr,i r 1, ,n;r n

k 1知

1

4A LU

3

2 01 36 10 4 0 0 1 0 15 16001 6 1 45 13 15

1

4b LY

3

2 01 360 9 0 Y 8 8 1

9

Y 4

154

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1

4

UX 0

0 15 16001 6 9 1 X Y 4 45 154 13 15

x1 227.08,x2 476.92,x3 177.69

12、设A 0.6 0.10.5 ,计算0.3

nA的行范数，列范数，2-范数及F-范数。 解：A max 1 i n

naij 1.1 j 1

A1 max

1 j ni 1aij 0.8

2

AF n 2 aij

i,j 1

0.1 0.6

0.3 0.1 0.8426150 0.5 0.37 0.3 0.330.33 0.34 0.6TAA 0.5

T max(AA) 0.6853407

13、求证：（1）x x1 nx ；（2

F A2 AF

证明：（1）由定义知

nn

x max

1 i nxi i 1xi x1 maxi 11 i nxi xi 1 nx

x x nx

（2）由范数定义，有

A2

2 max(AA) 1(AA) 2(AA) n(AA)

nn

2

i1n2i2n2inn2ijTTTTA22 a

i 1 ai 1 ai 1 aj 1i 1 A2F

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A2

2 max(ATA) 1 1 ATA 2 ATA Nn AA T1

nA2

F

故F A2 AF

第6章 解线性方程的迭代法

1、设线性方程组

5x1 2x2 x3 12 x1 4x2 2x3 20

2x 3x 10x 623 1

（1） 考察用雅可比迭代法，高斯-塞德迭代法解此方程组的收敛性；

（2） 用雅可比迭代法，高斯-塞德迭代法解此方程组，要求当

x(k 1) x(k)

10 4时迭代终止。

解：（1）因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比迭代法与高斯-塞德迭代法均收敛。

（2）雅可比迭代法格式为

2(k)1(k)12 (k 1)x x2 x3 1555 1(k)1(k) (k 1)x x1 x3 5 242

1(k)3(k)3 (k 1)x x x 12 351010

取x(0) (1,1,1)T，迭代到17次达到精度要求

x(0) ( 4.0000186,2.9999915,2.0000012)T

高斯-塞德迭代格式为

2(k)1(k)12 (k 1)x x2 x3 1555 1(k)1(k) (k 1) x1 x3 5 x242

1(k)3(k)3 (k 1)x x x 12 351010

取x(0) (1,1,1)T，迭代到8次达到精度要求

x(0) ( 4.0000186,2.9999915,2.0000012) T

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第七章

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