2013专转本高数不定积分复习资料（同方）

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第三章 不定积分

本章主要知识点：

? ? ?

不定积分的意义，基本公式 不定积分的三种基本方法 杂例

一、不定积分的意义、基本公式

不定积分基本特点是基本公式较多，灵活善变，复习此章节主要诀窍在于：基本公式熟练，基本题型运算快捷，有一定题量的训练。

1．性质

??f(x)d?x?d?f( x)

??f(x)dx??f(x)dx

?dF(x)?F(x)?C ??2．基本公式

f?(x)dx?f(x)?C f(n)dx?f(n?1)(x)?C

（1）

?xdx?xn1n?1xn?1?cx(n??1)，?x1xdx?ln|x|?c

（2） （3）

?adx?axlna?c，?edx?e?c

?sinxdx??cosx?c，?cosxdx?sinx?c，

- 78 -

第三章 不定积分

?sec（4）

22xdx?tanx?c，?cscxdx??cotx?c

??a1a?x1222dx?arcsin12axa?c，

（5）

?xdx?2ln|a?xa?x2|?c

（6）??a1x?a122dx?ln|x?1axax?a|?c （7）?x2?arctan?c 二、不定积分的三种基本方法 1．凑微分法（第一类交换法） 基本原理：?(x)dx?d(?(x)dx)。 ?一些常见的固定类型 ????f(ax?b)dx?f(e?x1a?1f(ax?b)d(ax?b) f(e2)e?xdx?12????x)de?x xf(x)dx?x1n?1n2f(x)dx 1n?f(x)dx nn2f(x)dx?x)dx??xf(ln?f(lnx)dlnx?sinxf(cosx)dx???f(cosx)dcosx

x)dx??cosxf(sin?1?f(sinx)dsinx

?1??1fdx??f??2??x?x??x??1?d???x?? ?- 79 -

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?sec2xf(tanx)dx??f(tanx)dtanx

f(secx)dsecx 等等。

?tanxsecxf(secx)dx??例3.1．

?x(2x142?1)22007dx

2007解：原式=

?(2x?1)3sinx?1d(2x?1)?13218032(2x?1)1322008?c ?c 例3.2．?cosxedx??e3sinx?1d(3sinx?1)?e3sinx?1例3.3．?x2sin(5x?7)dx 3解：原式?13?sin(5x?7)dx115333?115?sin(5x?7)d(5x?7) 33 ??cos(5x?7)?C dx dlnxu?lnx12141例3.4．?x1lnx2lnx?1lnx解：原式??2lnx?1?22u?1?12u?1du 1214

?12?(1?x12u?1dx )du?u?ln2u?1?C?lnx?ln2lnx?1?C 例3.5．?4?x14解：原式=?22212?(x)22dx?214arctanx22 ?C 例3.6．?cos1x(2tanx?1)secx222dx解：原式??1?2tan2xdx??1?2tan12xdtanx?12arctan(2tanx)?C

例3.7．

?sin(2xx)dx

121214解：原式?2sin2?2xdxu?2x?(1?cos2u)du?- 80 -

u?sin(2u)?C

第三章 不定积分

=

xx?e?x14sin(4x)?C

例3.8．

?edx

x解：原式??e3e?edx?x?ede?eexxex?C

例3.9．

?x?3x?2x?2x?3x?2x?23dx

解：利用综合除法知 ?x?2x?7?12x?2212x?12133 2原式??(x?2x?7?x?x?x?3x?1422)dx?x?x?7x?12lnx?2?C 63例3.10．?2dx 2x?2x?12解：原式? ? ??(x?x?x?1?1515x?x?1x55)dx 121313x?x?3312121x?x?22?x?1d(x?1)?2?2211?x2dx x?x?ln(1?x)?2arctanx?C dx 例3.11．?sin1dx,?cosx解：

?sinx?cos1xdx??sinsinx2xdx???dcosx1?cosxdsinx22??12ln1?cosx1?cosx?C dx??coscosx2xdx??1?sinx?12ln1?sinx1?sinx?C 注：此例对于三角函数相当重要，请熟练掌握。 *例3.12．

?2?cosxdx1

解：原式??(2?cosx)(2?cosx)dx

2?cosx22?cosx??4?cosxdx??4?cos22xdx??3?sindsinx2x

- 81 -

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??4sec2secx22x?1dx?13arctan(sinx3) ?2?dtanx4tanx?32?13arctan(sinx3)

??(2tanx)13d2tanx2?(3)2?13arctan(sinx3)

?arctan(2tanx3)?13arctanx(sinx3)?C 例3.13． ?sinx?cosxdx ?dx?12sinx解：原式=?1(sinx?cosx?sinx?cosx)1?dx=2sinx?cosx212x?12lnsinx?cosx?c ??d(cosx?sinx)sinx?cosx =例3.14．?2sinx?3cosxdx 313f(x)?213f?(x)

cosx解：令f(x)?2sinx?3cosx，则f?(x)?2cosx?3sinx,cosx?3原式＝?13f(x)?213f(x)2f?(x)dx?dx 313x?213ln|2sinx?3cosx|?C 例3.15．?2sin12x?cosx2解：原式＝?2tan4secx2x?1dx??12tanx?12dtanx?12arctan(2tanx)?C 例3.16．?tanxdx 4解：原式=?[tan2x?tan2x?(tan22x?1)?1]dx 22dx=tanxdtanx?tanx?x?c ?? =?tanx(1?tan133x)dx??secxdx? =

tanx?tanx?x?c 2x?32例3.17．

?x?2x?2dx

- 82 -

第三章 不定积分

解：原式=

?(x?1)22(x?1)?52?1dx=?d(x?1)22(x?1)?1?5?1(x?1)?12dx

=ln(x?2x?2)?5arctan(x?1)?c

例3.18．

?x3?2x?x2dx

解：原式=?x?1?14?(x?1)2dx=12?d(x?1)22?4?(x?1)x?12?c ?14?(x?1)2d(x?1) =-4?(x?1)?arcsin xx2例3.19．?1?e?dxx2x解：原式=1?e2?e2xdx=x?2?de2xx=x?2ln(1?e2)?c 例3.20．dx ?（2x?1)(3x?2)1?e211?e2解：原式=??3(2x?1)?2(3x?2)(2x?1)(3x?2)dx=??3x?23dx??2x?1dx 2=?ln3x?2?ln2x?1?c 例3.21．?(x?1)1212(x?1)dx 11121解：原式=?(x?1)1e2x1?x?1?x2(x?1)dx=?2x?1??1?xdx =?2112x?1?14ln1?x1?x?c 例3.22．?dx ?11e?x?2x解：原式=

?ex1?e3?2xdx=?dx=?1?e?de?x?x2=?arcsine?x?c

1?(e)例3.23．

?secxtanxdx

3- 83 -

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解：原式＝

?secxtanxdsecx?xarctanx1?x12423222?(secx?secx)dsecx?4215secx?513secx?C

3例3.24．

?dx dx?2解：原式＝

?tanx1?x4312?tanxd(arctanx)?32218arctan(x)?C

422．直接交换法 a）题型?f(ax?b)dx 方法：令t?ax?b，x?2a(t?b)a2， ?例3.25．f(ax?b)dx??tf(t)dt ?1x?1dx 2解：令t?原式=x,x?t， ?t?112tdt=2?dt?2?dtt?1=2t?2lnt?1?c=2x?2ln(1?x)?c 例3.26．?x?21x?1?32dx 解：令t?x?1,x?t?1 原式=?t2t2?2t?413dt?2?t?13t?1?1(t?1)?32dt??(t?1)12?3d(t?1)??1321(t?1)?3x?1?132dt

=ln(t?2t?4)?2arctan()?C?ln(x?2x?1?3)?arctan()?C

例3.27．

?6136dx x5x?6tx?t解：原式

dt??23dt=6?x?t1?tt?t32t3=6(t?2?t?1?11?t)dt

=2t?3t?6t?ln(1?t)?c x?33x?66x?ln(1?6=2

x)?c

- 84 -

第三章 不定积分

例3.28．

?1e?1xxdx

t?1?e解：原式

?x?ln(t?1)2?t1?2tt?12dt

=2?t12?12dt=ln1?t1?t?c=ln(1?e1?exx?1?1)?c b) 题型?f(ax?b)dx ???22f(a?x)dx 变换x?asint f(a?x)dx 变换x?atant f(x?a)dx 变换x?asect 2222例3.29．?9?xx2dx 解：令x?3sint， 原式??3sint?323cost3costdt=3?1?sinsint2tdt=3?1sintdt?3?sintdt 2 =ln1?cost1?cost?3cost?C=?321?ln1?9?x39?x32?9?x32?C 例3.30．?x141?x2dx 232解：令x?tant，原式? =??tan13sect4t?sectdt??sincost4tdt??1?sintsint4dsint

csct?csct?C

3例3.31．

?x23dx

x?4- 85 -

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解：令x?2sect，

原式??8sect2tant342tantsectdt?8?sectdt 2=8(1?tant)dtant?8tant?

例3.32．?83tant?C（还原略）

3?1?1?x?23dx 2解：令x?tant， 原式??sec13tsectdt?2?costdt?sint?c?dx x1?x2?c 例3.33．?(x?2)1x?2x?22解：令x?1?tant， 原式＝?sint?cost122ln|1?1?1dt??sinsint?cost2t?cost2dt＝??dcost1?2cost2??1?2sindsint2t ＝?2cost2cost|?122ln|1?1?2sint2sint。 |?C（还原略）3．分部积分法 公式：

?udv?uv??vdu ??P?x?emx四种基本题型 a）题型1 dx 例3.34．

?(2x?1)e122xdx

2x解：原式=

?(2x?1)de12(2x?1)e?12(2x?1)e?C

2x?1?e22xd2x

=

2x?e2x例3.35．

?e2x?1dx

- 86 -

第三章 不定积分

解：原式t?2x?1?etdt??tde2x?1tttt?te?e?C

=2x?1ex?x24?e2x?1?C

例3.36．

?xxe232dx

x4解：

??x2?122xed???2??2uu2?ed(x4u?x222)?x2?2uedu?x2u12x4x4e2?2?ude?u12x4e2 =2ue?2e?12x4e2?C?xe22?2e2?12e2?C 题型2 ?Pm(x)cos?xdx或?Pm(x)sin?xdx 例3.37．?3xsin(2x?1)dx ?3232解：原式=?xdcos(2x?1)??3432xcos(2x?1)?32?cos(2x?1)dx =?xcos(2x?1)?2sin(2x?1)?C 例3.38．?xcosxdx 解: 原式=?xxx?21?cos2x214142dx?1418x24?1xdsin2x ?4? =42??xxsinx?xsin2x?dx ?sin2xdx cos(2x)?C 4例3.39．?cosx解： 原式＝?xdtanx?xtanx??tanxdx?xtanx?ln|cosx|?C x?1)dx

例3.40．

?sin(解：原式t?x?sin(t?1)2tdt??2?tdcos(t?1)??2tcos(t?1)?2?cos(t?1)dt

xcos(x?1)?2sin(x?1)?C

??2tcos(t?1)?2sin(t?1)?C??2- 87 -

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题型3

?e?x?xcos?xdx或?esin?xdx

例3.41．

?e2xcos3xdx

2x解：设I??e1212eecos3xdx?cos3x?cos3x?2e2x12?cos3xde2x2x?12e94122xe2xcos3x?34e3?e22x2xsin3xdx

94 =

2x3434?sin3xdee2x?cos3x?sin3x??e2xcos3xdx?C

=2xsin3x?C?313e2xI 解得：I?题型4 13cos3x?sin3x?C ?Pm(x)l?n(o)r(a?rctan?( ) dx例3.42．?xln(x?1)dx 1ln(x?1)dx?222解：原式==12xln(x?1)?1x?11221dx ?2x?1x2 =1212xln(x?1)?xln(x?1)?21214?(x?1?x?2)dx =12x?lnx?1?C 例3.43．?t?xxln(x?1)dx 解：原式??tln(t?1)2tdt?tln(t?1)?3323?ln(t?1)dt3dt=2333 =232?3t?1332ttln(t?1)?23?(t?t?1?21t?1)dt 2t12 =tln(t?1)?(?t?t?ln(t?1))?C 3332 =例3.44．

233x2ln(x?1)?229x2?13x?23x?23ln(x?1)?C ??2x?1?lnxdx

222解：原式?22lnxd(x?x)?(x?x)lnx?2?(x?x)?1x2lnxdx

?(x?x)lnx?2(x?1)lnxdx?(x?x)lnx?2lnxd(22?2?x22?x)

- 88 -

第三章 不定积分

22 ?(x?x)lnx?2( ?(x例3.45．

222x2?x)lnx?2?(x1?x)dx 2x2122?x)lnx?(x?2x)lnx?2x2?x?c

?xarctan2xdx

1arctan2xdx?22解：原式? ??141412xarctan2x?4x?1?11?4x18222?1?4xx22dx

1212xarctan2x?xarctan2x?22?dx ?例3.46．x?arctan2x?c ?(x?1)arcsinxdx x?sint解：原式??????????(sint?1)tcostdt?1412?tsin2tdt??tcostdt ?tdcos2t??tdsint 4?1cos2tdt?tsint??sintdt ?418sin2t?tsint?cost?C 2tcos2t1414tcos2t?arcsinx?(1?2x)?14x1?x?xarcsinx?21?x?C 24．四类杂例 （１）含绝对值的不定积分 例3.47．?xdx ?x2?c1,x?0??2解：原式?F(x)??，F(x)可导必连续：c1?c2，

2x???c2,x?0??2- 89 -

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????故原式?F(x)??????例3.48．

xx222?c1,x?0 。

2?c1,x?0?x?2x?3dx

2?x2?2x?3,x??1?22解： f(x)?x?2x?3?(x?3)(x?1)???x?2x?3,?1?x?3， ?2?x?2x?3,x?3?1?3??f(x)dx?????1??3x?x?3x?c1,133232x??1原式?F(x)??x?x?3x?c2,?1?x?3 ， 32x?x?3x?c3,x?31?1??1?3?c??1?3?c21??33由F(x)可导知，成立?， ??27?9?9?c?27?9?9?c23?3?310?c???c12??3解得：? ， 1044?c?18?c?18??c1??c132?33??1?3??所以，F(x)?????1??3（2）分段函数积分

x?x?3x?c1,13x?x?3x?323232x??1?c1,?1?x?3 。 x?3103x?x?3x?443?c1,x?1?x,?例3.49．f(x)??2x?1,1?x?2，求?f(x)dx 。

?x?1,x?2? - 90 -

第三章 不定积分

解：F(x)???x2?c1,x?1?2??2f(x)dx??x?x?c2,1?x?2，

?2x??x?c3,x?2??2?1??c1?2?c2由F(x)可导知，成立?2 ?6?c?4?c23?解得：c2??32?c1，c3?2?c2?12?c1 所以，??x2?c1,x?1?2?3?2f(x)dx??x?x??c1,1?x?2 。 2??x21?x??c1,x?2?2?2（3）递推关系 例3.50．In??sinn?12nxdx 解：In??sin?xdcosx xcosx?2??n?1cos?In??sinIn??sinn?1xsinn?2xdx nn?1xcosx??n?1??sinn?2xdx??n?1??sinxdx nIn??sinn?1xcosx??n?1?In?2 In??1nsinn?1xcosx?xdx

2n?2?n?1?nIn?2 ?n?1,2,....?. .例3.55．In?解：In??tan2n2n?(tan?tanx?tanx)dx??tan2(n?1)dx

In?2n?2xdtanx??tan2(n?1)dx

- 91 -

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In?12n?1tan32n?1x?In?1 ?n?1,2,....?. .例3.56．I?解：I??secxdx

2?secxdtanx?secxtanx??tan?secxdx，

14ln1?sinx1?sinxxsecxdx

＝secxtanx?I? I?12secxtanx??C （4）一些特殊的变换 例3.57．?x1x16(1?x)2dx 解：令t?， 66原式??t?1??dt??dt ?2?2?11?t???t??1?2?t??t15131??42??t?t?t?arctant?C ????t?t?1?dt?2531?t????115x5?113x3?1x?arctan1x?C 例3.58．?1?x1?x1?x1?x?4tdx 解：令t?，解得：t2?1?x1?x，t?xt?1?x，x?221?t1?t22，则 dx?(1?t)22dt

原式???(1?t?4t2t?tanu2)2dt???4tanusecu42secudu

2 - 92 -

第三章 不定积分

??4?sin（5）一些特殊积分 例3.59．

2udu??2?(1?cos2u)du??2u?sin2u?C。

?e2x(tanx?1)dx

2x2解：原式＝

2x?esecxdx?2?e2x22xtanxdx?2x?e2xdtanx?2?e2x2xtanxdx

＝etanx?2?etanxdx?2?ex?1xtanxdx?etanx?C 例3.60．?(1?x??e?ex?1x1x)edx 12解：原式＝dx?dx??x(1?x?xex?x?1x)ex?1xdx )??ex?1xx?1x ＝d(x?x?1x1xdx??xdex?1x ＝?e2x?1x1xdx?xex2??edx?xex?1x?C 例3.61．?(x?1)ex22dx x2x2x2x2x2解：原式＝

?xde2??e2dx?xe2??e2dx??e2dx?xe2?C 单元练习题3 1．

?dcos2x? 。 22．已知f(cosx)?sinx，则?f(x?1)dx? 。 3．

d?1?3tanxln(1?)dx?? 。 ??dx?x?4．已知

?f(x)dx?21?xx2?C，则limf(h)?f(?h)hh?0? 。

5．已知

?xf(x)dx?xe，则f(x)? 。

6．下列积分谁正确（ ）

- 93 -

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A．

?xdx?1a1a?1dx?xa?1?C?a为常数? B．?xsinx2dx??cos2x2?C1x?C

C．

?3?2x12ln3?2x?C D．?lnxdx?7．计算下列不定积分

（1）

?31?3xdx （22）

?xearctxan3dx

(1?x（2）22)??1x(1?x)arctanx1?x2dx （23）?sin?lnx?dx ?eex2x2sinxdx （3）dx （24）（4） ?1?x?tan31?x24dx （25）?arctanexdx dx （5）xdx （26）?cosx2xx（6）??11?e12xdx （27）?(1?x)1xe2dx （7）x(1?x)dx （28）?sinxcos4xdx （8）?cosx2?cos2xx2dx （29）?1x1??4x?3 （9）?1?x4dx 2 （30）?sinsinx3x?cosx3dx （10）?x?x?1x?214dx （31）?xx?221?x2dx （11）

?cosxdx

（32）

?xln?4?x2?dx

（12）

?tanxcosxlnxdx （33）

?x?1?x?dx

22arctanx（13）

?x1?lnxdx （34）

?e2x(tanx?1)dx

2 - 94 -

第三章 不定积分

（14）

?xeexxdx ?1 （35）

?xlnx?1?x?22dx

（15）

??xx2a?xx222dx

（36）

?sin2x1?cosx4dx

（16）dx （37）a?x??|1?x|?|1?x|?dx （17）?xln2xdx （38）?max?x?ex2,x3?dx dx （18）?sinxlntanxdx （39）1?sinx1?cosx（19）?arctan?(arcsinxdx （40）?x?1?xe?dx xx?1（20）x)dx 2 ?（41）????x?3x?1?x?1??dx x?3??（21）

?xsinxdx 历年考试真题 1.（2001）不定积分?11?x11?x2dx?（ ） A.

11?x2 B. 2?C C. arcsinx D. arcsinx?C 2. （2001）计算

?1?e1ae2xxdx。

3. （2002）设f(x)有连续的导函数，且a?0,1，则下列命题正确的是（ ） A.

?f?(ax)dx?f(ax)?C B.

??f?(ax)dx?f(ax)?C f?(ax)dx?f(x)?C

C. (?f?(ax)dx)??af(ax) D.

- 95 -

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4. （2002）求积分

?xarcsinx1?x42dx

5. （2003）若F?(x)?f(x),f(x)连续，则下列说法正确的是（ ）

A.

?F(x)dx?f(x)?c B. ?f(x)dx?F(x)?c D.

ddxddx?F(x)dx??F(x)dx?f(x)dx f(x)

C.

6. （2003）?xlnxdx ?arcsinx1?x237. （2004）求不定积分dx?_____ 8. （2004）设f(x)的一个原函数为9. （2005）若exx，计算?xf?(2x)dx ?f(x)dx?F(x)?C,则?sinxf(cosx)dx?() A. F(sinx)?C B. ?F(sinx)?C C. F(cosx)?C D. ?F(cosx)?C 10. （2005）计算

本章测试 1．f(x) 的一个原函数为3tanxsecxdx ?1x，则f?(x)?_________。 2．

?dcosx?________3x。 3．

?(xe)?dx?______, 4. 已知

?f(x)dx?xdx

x221?x

?c，则?sinxf(cosx)dx?_______。

5.

?(x?1)ln6.

?lnxxdx

- 96 -

第三章 不定积分

7.

?dxx2

24?xdx

28.

?cossin2x2x9.

?1?cos2xdx ?1?sinxdx 31?sinx10.

11.

?(xlnx)22(lnx?1)dx 12.

?x?4x2dx 13.

?2sinx?cosxdx sinxx， cosx14.已知f(x)的一个原函数为 证明：??32xf?(x)?xcosx?4xsinx?6cosx?C 15.已知函数f(x)有二阶连续导数， 证明：xf??(2x?1)dx?x2f?(2x?1)?14f(2x?1)?C 16.

?ln(x?x?1)dx 2 单元练习题3答案 e1??x?x?c 3.tanxln?1?? 4.2 5.e?1．cos2x 2.? 6.Ｃ 3xx??23x3x7.解：（１）原式=?1?331?3xd(1?3x)=?144(1?3x)3?C

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第三章 不定积分

=?（34）原式=

arctanxx2x2?ln|x|?12ln(1?x)?212arctanx?C

2x2?e(tanx?1?2tanx)dx?2x?edtanx?2?e2x2xtanxdx

=etanx?2?tanxedx?2?e2x2xtanxdx?C=etanx?C

（35）原式=?12?lnxd(211?x122)??1lnx21?xx2?12?(1?x12)xdx =? =?1lnx21?x1lnx21?x2???(1x?1?x142)dx 212ln|x|?ln(1?x)?C （36）原式=?11?cos4dsinx2x???dcos22xx)2??ln(cos2x?1?cos4x)?c

1?(cos??x?1?(1?x)??2,x??1?（37）令f(x)?|1?x|?|1?x|??1?x?(1?x)?2x,?1?x?1 ?1?x?(x?1)?2,x?1???2x?c1,x??1?2f(x)dx??x?c2,?1?x?1 ?2x?c,x?13?2 F(x)??由连续特性知：2?c1?1?c2,1?c?2?c3，?c2?1?c1,c3??1?c2?c1 x??1??2x?c1,?2故F(x)??x?1?c1,?1?x?1 ?2x?c,x?11?（38）解：f?x??max?x2,x3?3??x,x?1 ? ?2??x,x?1?14x?c1,x?1??4原式=?

?1x3?1?c,x?11?12?3- 103 -

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xx??sin?cos??22?x?（39）原式=e?dx ?2?x?2cos???2??0.5?e(tanx2x2?1)dx?0.5?e(secx2x2x2?2tanx2)dx

?x??xedtan????2??x?etanx2dx?etanxx2??etanxx2dx??etanxx2dx?C ?etanx2?C （40）原式=?xe?1?xe?xx?x?1?exdx?1?1?xxx?d?xe??lnxe?ln1?xe?C xx???1?xe??xe（41）令u?x?3x?1u?3u?122，u2?x?3x?1，xu?u22?x?3 所以x?,dx??8u?u2?1?2du 1??8uu?11?du??8du??8du 原式=??u??222??22uu?1???u?1??u?1?2 ?4ln1?u1?u?C?4lnx?1?x?1?x?3x?3?C

本章测试答案 1.

2x3 2.cosx?C 3. xe?C 223x4. ?cosxsinx2?C??cotx?C

x25．原式=

?lnxd(?(x22?x)?(x2x22?x)lnx??(x22?x)?1xdx

2?x)lnx?4?x?C

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第三章 不定积分

26．原式u?x?2sintx?lnuu2udu?4?lnudu?4ulnu?4u?C?4xln1?2costdt

x?4x?C

7．原式

???14?4sin2t?2costcot(t)?C

2??144?xx?C sinxcosx8．原式=?2sinxcosxcosxx2?C 2dx?2?dx??2lncosx?C 9. tanx?10.?2sinx?C 11.

255(xlnx)2?C x?4x212.ln(x?4?x)?252?C 13.?15x?ln|2sinx?cosx|?C sinxx)??xcosx?sinxx3214.证明：f(x)?(, 2

?3xf?(x)dx??xdf(x)?xf(x)?3?xf(x)dx 3＝x(xcosx?sinx)?3xdsinx?3sinxdx?xcosx?4xsinx?6cosx?C ??215.

?xf??(2x?1)dx?＝

1?2?2142xf??(2x?1)d(2x?1)?f?(2x?1)dx?x21xdf?(2x?1) ?21x2x2f?(2x?1)?f?(2x?1)?1f?(2x?1)??4f?(2x?1)d(2x?1)

＝

f(2x?1)?C

16.原式xln(x?x?1)??xx?12dx?xln(x?x?1)?2x?1?C

2

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（２）原式=2?11??x?2dx?2arctanx?C

（３）原式=

?arctanxd?arctanx??12arctanx?C

?12（４）原式=

?x?x31?x?2?2dx??d?x?x??x?x??12?12arctanx?x2?1?C

?2（５）

?(tanx?tanx)dx?2?tanxdx??tanxdtanx??dcosxcosx ?0.5tanx?ln|cosx|?C dxx（６）

?e1?e?2x???de?x?2x??ln(e?x?1?e?2x)?C 1?ed(x?（７）原式=12)12?arcsin)2x?1212?c?arcsin(2x?1)?C?14?(x?（8）原式=??dsinx2?1?2sinx122??dsinx3?2sinx2?1?2d22sinx2 (3)?(2sinx)arcsin6sinx3?C （9） 原式=?(x?1?31x?12)dx?x22?x?ln|x?1|?C 13)dx?14x?4（10）原式=?(x?2x?3x?6??secxdx?423x?22x?133323x?6x?13ln|x?2|?C

2（11）原式=?(1?tanx)dtanx?tanx?tanx?C （12）原式=（13）原式=

?cos?23sinx3/2xdx???cosdcosx3/2x?2cos?12x?C du?3lnx1?lnx32d?lnx?u?lnx23?u1?u?(1?u?11?u)d(u?1)

=

(u?1)?21?u?C?(1?lnx)2?21?lnx?C

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第三章 不定积分

（14）原式=2xd?e?1?2xe?1?2?2t1?t1t?1x2a?x2xxxe?1dx

t?e?1x?ln(t?1)x??22xe?1?2?txx2dt

?2xe?1?4?(1?)dt?2xe?1?4e?1?4arctanxxe?1?C

x（15）令x2a?x?u，得?u,x?2au?xu, 222x?2au1?u22,dx??4au(1?u)22du 则原式=?1?u22au22u3?4au(1?u)222du??8a2?(1?uu32)3du u?tant??8a ??8a2?sectant42tsectdt costdt??8a242?sintcost23?sina23tcostdt??2asint?C（代入略） a224(16) 原式 x?asint ??asintacostxa?2acostdt?222?(1?cos2t)dt?2t?a24sin2t?C a22arcsinxx2t2a?x?C 2tdt?8?tln22（17）原式t??tln2tdt?83?ln32dt3?83tlnt?32163?tlntdt

2 ?8383tlnt?3169?lntdttlnt?33?8333tlnt?2169tlnt?169?t2dt ?tlnt?321691627t?C （18）解：原式??lntanxdcosx=?cosxlntanx???cosx?cotx?sec2xdx

??cosxlntanx? ??cosxlntanx??sin121xdx

|?C

ln|1?cosx1?cosx- 99 -

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22t?x（19）原式?2?arctant?2tdt??arctantdt2?tarctant?x?2?1?ttdt

x?C

?tarctant?t?arctant?C?xarctanarcsinx?tx?arctan（20）原式

?2?t?costdt??2?tdsint?tsint?2?tsintdt

222 ?tsint?2tdcost?tsint?2tcost?2costdt

? ?tsint?2tcost?2sint?C?xarcsinx?21?xarcsinx?2x?C x?t222（21）解：原式??t23?sint?2tdt?2?tsintdt 33232??2?tdcost??2tcost?6?t?costdt??2tcost?6?tdsint 32??2tcost?6tsint?12?tsintdt 32??2tcost?6tsint?12?tdcost ??2tcost?6tsint?12tcost?12sint?C 332??2x2cosarctanx?tx?6xsintx?12txcosx?12sintx?C （22）原式It?tanx??tantesectdt?tt?costsint?cost?edt?t?esintdt t??sintdet?esint?t?ecostdt?esint?ttt?costde t?esint?ecost?I?12esint?t?e12esintdt?esint?ecost?I ?sin(tanx)?12earctanx12ecost?C?tarctanx?cos(tanx)?C （23）解：I??sin(lnx)dx?xsin(lnx)??cos?lnx?dx ?xsin(lnx)?xcos?lnx???sinxlnxdx?xsin?lnx??xcos?lnx??C?I

I?（24）原式?12(xsin(lnx)?xcos(lnx))?C

2x?e?1?cosx2dx?14e2x?12?e2xcosxdx,令I??e2xcos2xdx

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第三章 不定积分

I=

12????cos2xde12121214eee2x2x?12121212e2xcos2x?2x?e2xsin2xdx

cos2x?cos2x?cos2x??sin2xdesin2x?ee2x2x

2x2x?C??ecos2xdx

2xsin2x?C?I

I?e2xcos2x?e2x2xsin2x?C 18e2x原式?14e?18e2xcos2x?sin2x?c x?x（25）原式??e?xarctanedx???arctanedexxx??ex?xarctane?12x?e?xex2x1?e)?c dx ??（26）原式?arctanee??1?e2x?e2x2x1?edx??arctaneex?x?ln(1?e2x?xdtanx?xtanx??tanxdx?xtanx?ln|cosx|?c （27）原式??e(xx1x?1?x1(x?1))dx?2x?1?xexexdx??edx1x?1 ??1?xdx?1?x??1?xdx?sinx1cosx4eee（28）原式?dx??x?1sinx4??c dx???1u12dcosx(1?cosx2sinxcosx222)cosx14 u?cosx???(1?u1udu2)u4???(1?u?u)du?1?u?u24???1udu?4??1?u?u22du ????1du?413?(1u12?11?u12)du?213u?3??ln|1?u1?u|?c 3cos4x?cosx?ln|1?cosx1?cosx|?c

x?t（29）原式?4x?t?t12(1?t)34tdt?4?3t(1?t)3dt

?4(?1(1?t)2?1(1?t))dt??341?t?21(1?t)2?C

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??41?4x?2(1?4x)2?C

（30）原式??tanx?sectan32xx?1dx??tantanx3u?tanxx?1dtanx13??1?uudu3

?1?u?1??u?1???u2?u?1?du?3?u?1??u2?u?1?u?12?2??uu?12?u?1du?13?u?1du1

32du?13ln|1?u| ?1?31?3?u????2?4??1616?ln(u?u?1)?212?23u?arctan112?2?1ln|1?u|?C 33?ln(tanx?tanx?1)?sint?222?2tanx?1?1arctan???ln|1?tanx|?C 33??3dcostsin2x?sint（31）原式?sinln|tcost?costdt???t?2?csctdt 2 ??121?cost1?cost2|?2cot(t)?C 2u?x2（32）原式?121212?ln(4?x)dx?12?ln(4?u)du?12uln(4?u)??4?udu u??（33）原式=uln(4?u)?u?4ln(4?u)?C xln(4?x)?x?4ln(4?x)?C 1x22222?arctanx(arctanxx?111?x12)dx?dx?2?arctanxdarctan21x?12arctan2x =???x1?x2122x

=?arctanxxarctanxx??1?x?xx1?x1?2?dx?12arctan2x

=???xdx??x2?1?x?dx?12arctan2x

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