数形结合在中学教学中的应用论文

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浅谈数形结合在中学教学中的应用

作者姓名: XXX 指导教师: XXX

所在学院: 数学与信息科学学院 专业(系): 数学与应用数学 班级(届): 2010届数学B班

二〇一四年 月 日

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目录

中文摘要、关键词 ··················· 错误！未定义书签。 绪言 ·································· 2 1数形结合思想 ····························· 2 1.1数形结合思想的概述 ························ 2 1.2数形结合思想的发展 ························ 3 2数形结合思想在高中教学中的应用 ···················· 4 2.1数形结合的思想在集合问题中的应用 ················· 4 2.2数形结合的思想在不等式问题中的应用 ················ 5 2.3数形结合思想在有关方程和函数的问题中的应用 ············ 6 2.4数形结合在数列问题中的应用 ···················· 7 2.5数形结合思想在解析几何中的应用 ·················· 8 2.6数形结合思想在最值和极值问题中的应用 ··············· 10 2.7数形结合思想在复数中的应用 ··················· 11 2.8数形结合思想在概率中的应用 ··················· 12 2.9数形结合思想在立体几何中的应用 ················· 12 3运用数形结合解题常见的误区 ····················· 14 3.1数中构形，图不准确 ······················· 14 3.2形中思数，形转数不等价 ····················· 15 4数形结合思想的培养 ························· 16 4.1加强概念教学 ·························· 16 4.2熟悉最基本图像 ························· 17 4.3培养学生观察、联想的能力 ···················· 17 4.4利用多媒体展现数形结合,激发学生学习兴趣 ············· 17 4.5结合学生的认知结构循序渐进地逐步渗透数学思想 ·········· 17 参考文献 ······························· 19 英文摘要、关键词 ··················· 错误！未定义书签。

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浅谈数形结合在中学教学中的应用

数学与信息科学学院 数学与应用数学

指导教师 XXX 作 者 XXX

摘要：新课程标准要求教师越来越重视学生关于数学思想和方法的教学，数形结合就是一种重要的数学思想。数形结合就是通过图像表现和代数的论断研究数学问题的数学思想方法。

本文研究了数形结合思想的概念，并从数学史的发展角度研究了数形结合作为一种数学思想方法的重要性。数形结合的思想方法贯穿了整个高中阶段的学习，在各个板块的学习中都伴随着数形结合的应用。通过例题解析我们发现，数形结合在解题过程中可以化繁为简，使解题思路清晰明了，是高中数学中非常重要的一种方法。所以文章最后论述了在中学教学中数形结合思想方法的培养。

关键词：数学思想 数形结合 应用 方法培养

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绪言

近几年，数学题目对数学思想方法的考查非常重视，因此，教师要重视对数学思想的教学与渗透。数学教学的根本目的是让学生亲自参与到数学的认知活动中去，从而发现、体会它们所包含的的数学思想方法。当数学思想或数学方法被我们理解、吸收，我们才能全面的考虑问题，提出新想法，巧妙地解决问题。数学思想是我们在学习教材知识的同时挖掘出来的隐形的知识，这需要我们不断地练习和总结，有意识的培养数学素质，体会数学的逻辑思维。

在现实生活中，我们总是能够看到各种数和形，它们作为数学研究的两个方面是分不开的，把数与形结合起来就是把直观与抽象的结合起来，也就是把认知与思维的结合起来。数形结合的思想是随着数学的发展而发展，是处理数学问题经常用到的工具，主要表现在解析几何知识部分，可以说，数形结合思想是解决和处理解析几何问题的精髓。世界空间无不是“数”和“形”的矛盾的统一，他们在一定前提下是能互相转换的。代数是对图形的定量分析，图形是代数的直观反映。将已知转化角度来思考，结合图像的直观性质，巧妙使用数形结合的方法能使很多概念和关系更明朗具体，减少思维的阻碍，提供简单快速的解题思路，使我们在难题面前豁然开朗，并且简化解题过程，从而解决问题。使用数形结合时要注意数与形之间的转换，它可以把代数关系转化为图形直观，也可以把图形直观转化为代数关系。

1数形结合思想

1.1数形结合思想的概述

数学是研究空间图形和代数关系的科学，中学中研究探讨最多的两个侧面就是数与形，因而，数与形的结合是解决问题的必然趋势。

数形结合思想就是在解决问题是我们要综合考虑数与形，把图形的直观的性质和代数抽象的关系对应起来，互相转化，寻找简便的解题路径，从而化繁为简，变抽象为具体。在解题时运用数形结合，不仅仅是把代数关系转化为几何图形，或者把几何图形抽象为代数关系，要把二者结合起来，互相补充转化，来考虑解决问题。

数形结合思想的应用主要是分为两方面：一方面，借助数的严谨性来反应图形的某些性质，主要应用在解析几何中；另一方面，利用图形直观的几何性质来反应代数关系，主

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要运用在求图形的面积，求点与点、点与线、线与线之间的距离，求函数的值域、最值及极值，找方程的根及讨论根的情况，求不等式的解集，解决简单的线性规划等的问题。

1.2数形结合思想的发展

数形结合的思想方法贯穿了整个高中阶段的学习，在各个板块的学习中都伴随着数形结合的应用，有意识地运用数与形相结合的方法去认识分析数学问题，不断地练习总结，体会数形结合在解决问题时的优点，理解领悟抽象的概念，扎实基础，逐渐形成良好的数学观。因此，我们要了解数与形的发展与演变。

1.在古代，人类为了能够表示数，采用形形色色的图形来记录。在古代计数法中，我们常会用几何图形来表示抽象的数，算盘的产生就是数形结合的典型。

2.几何学的产生是数学又一巨大发展，代表性的著作是《几何原本》。但是《几何原本》不是单纯的几何学（“形”）的知识。几何学的发展是与测量相关的，“几何学”的希腊文?????????意为“测地”，研究的主要是几何图形的代数性质。典型的数形结合的研究是对“形数”的研究，“形数”中存在一些非常有趣的定理，它们能够只通过几何方法来进行证明，快速简便，准确直观，通过图形我们就可以看出结论是否正确，如：定理“对于任意一个正方形数都可以转化成两个相连的三角形数的和”（证明见图1.1）

图1.1 图例

3.对图形中点线位置对比，以及对线段的测量和比较，发现其中的数量关系，促进代数的发展，使计算方法更丰富。如完全平方公式?a?b??a2?2ab?b2的证明（见图1.2）

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?x?y?z?0?n?BD?0ABBD。设是平面的法向量，那么，即，n??x,y,z?DC1???1,0,1???11?z?0?n?A1D?0?可取n??1,1,0?。同上所述，设m是平面C1BD的法向量，那么?m?BD?0，可取m??1,2,1?。

m?DC?01?所以cosn,m?

n?mn?m?3。故而二面角A1?BD?C1的大小为30?。 23运用数形结合解题常见的误区

在运用数形结合思想时，我们一定要遵循等价原则，等价原则就是要求数与形之间的转化必须是对应的，即研究问题的图形能够正确反映代数之间的关系，代数关系要严谨地反映图形的几何性质。另外，还要遵循数形互补原则，数与形相互转化，综合考虑，寻求最简单的求解途径，否则，我们就经常出现以下错误情况。

3.1数中构形，图不准确

借助图形解题，一定要严格考虑题目中的条件，作出精确图形，在定性的分析问题时可以只作草图，但必要时还需对图形的直观分析给出严谨的证明。

例3.1 方程x2?2x的解的个数为（ ）。 A.0 B.1 C.2 D.3

错解：在同一坐标系内画出函数y?x2和函数y?2x的图像草图，如图3.3.1所示，他们有两个交点，故选C。

图3.1.1 图例

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正解：在画图时，我们只注意了函数图像的大致走向，而没有精确作图，从而导致错误。事实上，如图3.1.2所示，当x?0时，两个函数图像有一个交点；当x?0时，由于两个函数的增长速度不同，使得两个图像有两个交点。故选D。

图3.1.2 图例

因此，我们再借助图形解题，作图时一定要注意以下几点：图像是不是画全；图像的关键点；图像的对称性，凹凸性，奇偶性；图像的增长速度。

3.2形中思数 形转数不等价

再利用代数关系解决图形问题时，一定要使代数关系和图形的几何意义对应，否则，我们得到的代数式就是错误的。

x2y2例3.2 已知椭圆2?2?1?a?b?0?，从中心作两条互相垂直的弦AC，BD。顺

ab次连接A，B，C，D得一四边形，记其面积为S，求S的最小值。

图3.2 图例

错解：先画出图形，如图3.2所示，由对称性可知，四边形为菱形，根据椭圆的参数

s,bsin??，其中0???方程设点A的坐标为A?aco?

?2，由于AC?BD，可得点

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????????，化简为D??asin?,bcos??，那么S?4S?AOD?2OA?OD， D?acos??,bsin?????????2?2?????而2OA?OD?2a2cos2??b2sin2??a2sin2??b2cos2?

?2?a4cos2?sin2??a2b2cos4??a2b2sin4??b4sin2?cos2? ?2?a4?b4?cos2?sin2??a2b2?1?2sin2?cos2??

21 ?2?a2?b2??sin22??a2b2

4 ?2a2b2?2ab

当sin2??0时，等号成立，故S有最小值2ab。

分析：在椭圆中，用参数方程表示椭圆时，离心角特别容易与倾斜角相混淆，本题就是混淆了点A的离心角和OA的倾斜角，导致问题错解。

正解：设OA?r1，OD?r2，OA的倾斜角为?，所以点A坐标为A?r1cos?,r1sin??，

????????点D的坐标为D?，即D??r2sin?,r2co?s?，分别代入rcos??,rsin???????2?2?2?2?????x2y21111222a2b2?2?1并联立化简得：2?2?2?2?，即r1r2?。?22211ababr1r2r1r2a?b?a2b24a2b2S?2OA?OD?2r1r2?2，当且仅当r1?r2时等号成立，即点A在直线y?x上时S有

a?b24a2b2最小值。

22a?b4数形结合思想的培养

《义务教育数学课程标准》明确提出“数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”的“四基”标准，这就要求我们就一定要重视数学思想的培养。而数学是研究数与形两个方面的一门学科，我们在分析问题，解决问题时，要把两者结合起来，把两者完美的结合在一起考虑问题,可以互相促进,推进数学的发展和完善。因此，我们要加强数形结合思想的培养。

4.1加强概念教学

数学思想是我们在学习教材知识的同时挖掘出来的隐形的知识，而数形结合的思想大

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多蕴含在概念的教学中，加强概念教学，在概念教学中，把抽象概念赋予形的直观，尤其是具有几何意义的概念（复数，复数的模，绝对值，导数等），给出概念，结合几何图形讲几何意义更易理解和把握，在概念的形成过程中体会数形结合思想。

4.2熟悉最基本图像

运用数形结合解决问题，首先我们要对基本图像熟悉掌握，尤其是六种基本初等函数的图像及二次函数和绝对值函数，只有掌握函数的图像，我们才能更快的反应出函数的性质。另外，熟练应用图像的各种变换（伸缩、平移、翻转、对称）作图，如函数y?的图像可利用函数y?质处理复杂函数。

1x?11的图像向右平移一个单位得到，这样我们可以根据基本函数的性x4.3培养学生观察、联想的能力

在数学教学中，形象思维和抽象思维相结合可提高学生的想象力和创造力，形象思维可以提供各种想象，联想，创造性构思。解决问题时，要善于观察，发掘问题中的特点，通过这些特点联想以前学过的知识，把问题与学过的知识联系起来，对知识进行转化化简，提高利用数形结合处理问题的能力。如函数y?3sinx?2y?b，通过观察，联想到k?表

3cosx?2x?a示点?x,y?与点?a,b?连线的斜率，故将知识转化为以原点为圆心，以3为半径的圆上的点

?3cosx,3sinx?与点?2,2?连线的斜率。

4.4利用多媒体展现数形结合,激发学生学习兴趣

信息技术进入数学，我们可以利用多媒体课件进行教学。利用多媒体课件，可以使数与形之间建立相应的对应，使图形动态地直观地展现在学生面前，这样学生能够更直接的理解我们所要学习的内容，理解数形结合解题的优越性。如在学习平行线的性质时，利用几何画板动态变化截线，通过观察角的变化，可以很快得到平行线的性质。利用多媒体讲解数形结合更加的直观，使学生更容易理解和领悟，从而激发学生的学习兴趣，提高教学质量。

4.5结合学生的认知结构循序渐进地逐步渗透数学思想

学生的心理认知的发展是一个由浅入深、由简单到复杂的发展过程。教师要遵循这一规律开展教学，例如对于一些比较抽象的概念，我们可以采取数形结合的方式讲解，使学

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生更易理解。平时，学生在学习中不断运用数形结合解决问题，体会数形结合的优点，逐渐的理解、领悟、运用这一数学思想。

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参考文献

[1] 李文林.数学史概论(第三版).北京:高等教育出版社.2011.2. [2] 黄忠裕.中学数学思想方法专题选讲.四川:四川大学出版社.2006.11. [3] 曹一鸣.数学教学论.北京:高等教育出版社.2008.6.

[4] 刘培杰.新编中学数学解题方法全书.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社.2007.5 [5] 程晓亮.初等数学研究.北京:北京大学出版社.2011.1.

[6] 李铁安.义务教育课程标准(2011年版)案例式解读.北京:教育科学出版社.2012.3. [7] 张必平.数形结合解题的常见误区分析.湖北:数学教学研究.2005(5).

[8] 朱江红.数形结合思想的应用总结和培养体会.河北:沧州师范专科学校学

报.2010.3(1).

[9] 刘兴楠.数形结合思想在中学教学中的应用.辽宁:辽宁师范大学.2011.3.

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Introduction to number form combined with the application of the

teaching in middle school

Abstract: The new curriculum standards requiring teachers to teach students about the increasing emphasis on mathematical ideas and methods, The combination of algebra and graph is an important mathematical ideas.The number shape union is a mathematical thought that is through visual image and abstract algebra to study the mathematical problem.

This paper studies the concept of The number shape union, and from the Angle of the development of the mathematical history researches the importance of the \shapes combination\as a mathematical way. The number shape union as a mathematical way is throughout the high school of learning, and in each section of the study are accompanied The Combination of applications. Resolved by example, we found that The Combination of can simplify the problem-solving process, so solving ideas clarity, it is an important method in high school mathematics. So the article finally discusses the cultivation methodology of number shape combination in the middle school teaching.

Key words: mathematical thought ,number shape union, application, methods to cultivate

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