二次型

第六章 二 次 型

I 重要知识点

一、二次型及其矩阵表示

1、二次型的定义：以数域P中的数为系数，关于x1，x2，…，xn的二次齐次多项式f(x1，x2，…，xn)=a11x12+2a12x1x2+ … +2a1nx1xn

+a22x22+ … +a2nx2xn + … (3) +annxn2

称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型。

2、二次型的矩阵表示 设n阶对称矩阵

?a11?a12A=?????a?1na12a22?a2n?a1n???a2n? ?????ann??则n元二次型可表示为下列矩阵形式：

?a11?a12f(x1，x2，…，xn)=( x1，x2，…，xn) ?????a?1na12a22?a2n?a1n??x1?????a2n??x2?T

=XAX

????????????ann???xn?其中 X=( x1，x2，…，xn)T。对称矩阵A称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。矩阵A的秩称为二次型f(x1，x2，…，xn)的秩。

二次型与非零对称矩阵一一对应。即，给定一个二次型，则确定了

1

一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵；反之，给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵。

3、线性变换

设x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn为两组变量，关系式

?x1?c11y1?c12y2???c1nyn?x?cy?cy???cy?22112222nn ?? ? ? ? ? ? ??xn?cn1y1?cn2y2???cnnyn其中cij(i，j=1，2，…，n)为实数域R(或复数域C)中的数，称为由

x1，x2，…，xn到y1，y2，…，yn线性变换，简称线性变换。

?c11?c21C=?????c?n1c12c22?cn2?c1n???c2n?

?????cnn??线性变换的矩阵表示，设n阶矩阵

则从x1，x2，…，xn到y1，y2，…，yn线性变换可表示为下列矩阵形式：

X=CY

其中X=( x1，x2，…，xn)T和Y=( y1，y2，…，yn)T，C称为线性变换的系数矩阵。

1) 当|C|≠0时，线性变换X=CY称为非退化的线性变换。 2) 当C是正交矩阵时，称X=CY为正交线性变换，简称正交变换。 3) 线性变换的乘法。

设X=C1Y是由x1，x2，…，xn到y1，y2，…，yn的非退化的线性变换，而Y=C2Z是由y1，y2，…，yn到z1，z2，…，zn的非退化的线性变换，则

2

由x1，x2，…，xn到z1，z2，…，zn的非退化的线性变换为：

X=(C1C2)Z

二次型f(x1，x2，…，xn)=XTAX经过非退化的线性变换X=CY化为

f(x1，x2，…，xn)=YTBY (其中B=CTAC) 仍是一个二次型。

4、矩阵的合同关系：对于数域P上的两个n阶矩阵A和B，如果存在可逆矩阵C，使得B=CTAC则称A和B是合同的，记为A~B。

合同关系性质： 1) 反身性：A~A； 2) 对称性：A~B，则B~A； 3) 传递性：A~B，且B~C，则A~C。 5、二次型的标准形

1) 实数域R(或复数域C)上的任意一个二次型都可经过系数在实数域R(或复数域C)中的非退化线性变换化成平方和形式：

d1y12+d2y22+…+dnyn2

其中非零系数的个数唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的二次型称为二次型的标准形。

2) 任何对称矩阵都与一个对角矩阵合同。 3）复二次型的规范形：

任何复系数二次型都可经过复数域C中的非退化线性变换化成如下最简形式平方和：y12+y22+…+yr2，其中r唯一确定，等于该二次型的

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秩。上述形式的复二次型称为复二次型的规范形。

任何复数域C上的对称矩阵都合同于一个形如：

?1????????1?? ??0??????0???的对角矩阵，其中1的个数等于该矩阵的秩。

4）实二次型的规范形

任何实系数二次型都可经过实数域R中的非退化线性变换化成如下最简形式平方和：y12+y22+…+yp2-yp+12-yp+22-…-yr2，其中p和r唯一确定，r为二次型的秩。上述形式的实二次型称为实二次型的规范形，p(正平方项的个数)称为实二次型的正惯性指数，r-p(负平方项的个数)称为实二次型的负惯性指数，p-(r-p)=2p-r称为实二次型的符号差。

任何实数域R上的对称矩阵都合同于一个形如：

?1????????1?????1?????

???1??0?????????0??的对角矩阵，其中对角线上非零元素的个数等于矩阵的秩，1的个数由对称矩阵唯一确定，称为它的正惯性指数。

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6、利用正交变换化实二次型为标准形 设A是n阶实对称矩阵，按以下步骤进行： ① 解特征方程|?E-A|=0，求出A的全部特征值。

② 解齐次线性方程组(?E-A)X=0，求出基础解系，得到r重特征值的r个线性无关的特征向量。

③ 利用施密特正交化方法，使得属于r重特征值的r个线性无关向量组正交化，并使其单位化。

④ 将求得的n个单位化正交特征向量组作为矩阵Q的列向量，从而得到所需的正交矩阵Q。

⑤ Q-1AQ为对角矩阵，其对角元素为A的全部实特征值，它们在对角矩阵的排列顺序，与其特征向量在Q中的排列顺序一致。

TT 对于二次型f?xAx，令x?Qy，将二次型f?xAx化成如下形式平

方和：

?1y12+?2y22+…+?nyn2

其中?1，?2，…，?n为二次型的矩阵的全部特征值。

7、化二次型为标准形

数域P上的任一个二次型都可经过非退化的线性替换X=CY化为标准形，即：f(x1，x2，…，xn)=XTAX=(CY)TA(CY) =YT(CTAC)Y=YTBY

= d1y12+d2y22+…+dnyn2 二次型的标准形不是唯一的，而标准形中系数不为零和系数为正的

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