高三一模函数整套讲义

第一讲 函数及其表示方法

考点一 函数的概念 1、映射：设A和B是两个非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射。记作f:y?x,x?A,y ?B.其中x叫原像，与x的值相对应的y的值叫像。 2. 函数：设A和B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个函数。记作y=f(x),x?A.其中x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合?f?x?x?A叫做函数的值域（定义二：像的集合）。 2. 函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射。 3. 分段函数：定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。 注意两点：①分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数。 ②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 一、填空题（共12题，每题5分） 1． 下列各组中的两个函数是同一函数的为 ．

(x?3)(x?5)⑴y1?，y2?x?5； ⑵y1?x?1x?1，y2?(x?1)(x?1)；

x?3⑶f(x)?x，g(x)?x2； ⑷f(x)?3x4?x3，F(x)?x3x?1； ⑸f1(x)?(2x?5)2，f2(x)?2x?5．

?x2?1(x≤0)2． 已知函数f(x)??，若f(x)?10，则x? ．

?2x(x?0)??x?1,x?0?x?0，则f{f[f(－1)]}＝ ． 3． 已知f(x)??π,?0,x?0??x2?1x≤1?4． 设函数f(x)??2，则f(f(3))? ．

x?1??x?1,x?0?1，x为有理数则f(g(π))的值为 ． 5．设f(x)??0,x?0,g(x)?,??0，x为无理数???1x?m??6． 设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，下面的四个图形中，能表示集合M到集

合N的函数关系的有 ．

7． 设f，g都是由集合A到A的映射(其中A＝{1,2,3}),其对应法则(从上到下)如下表:

映射f的对应法则 映射g的对应法则 输入值 1 2 3 输入值 1 2 3 输出值 2 3 1 输出值 2 1 3 令a＝g[f(3)]，b＝f{g[f(1)]}，则a＝ ，b＝ ． 8． 已知f满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)＝ ．（用p,q表示） 9． 集合A中含有2个元素，集合A到集合A可构成 个不同的映射．

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a?b，则用两边含有“*”和 “＋”的运算对于任意三个实数“a，b，c”成立一2个恒等式： ．

11．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满，??，这样继续下去，建立所倒次数x和酒精残留量y之间的函数关系式 ．

12．设?,?是方程4x2?4mx?m?2?0,(x?R)的两实根，当实数m为 时，?2??2有最小值为 ．

10．若记号“*”表示的是a*b?二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)

13．动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点出发顺次经过B、C、D再回到A；设x表示P点的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数解析式．

第二讲 函数的解析式和定义域

1.函数的表示法：解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的关系 图象法：就是用图像表示两个变量之间的对应关系 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系 2.分段函数：定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。

注意两点：①分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数。

②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 求定义域的几种情况

①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；

②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；

③若f(x)是偶次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是对数函数，真数应大于零。

⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。

⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑦若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题 一、填空题（共12题，每题5分）

1． 函数y?x(x?1)?x的定义域为 ． 2． 函数y?x?1的定义域为 ． x3． 函数f(x)?1?2log6x的定义域为 ．

4． 已知f(x)的定义域为[?1,2)，则f(|x|)的定义域为 ． 5． 下列函数：①y＝2x＋5；②y＝

?2x ， x＜0，? ；③y＝|x|－x；④y＝其中定义域为R的函数共有m个，

x2+1?x+4，x≥0．

x则m的值为 ．

6． 若f(2x＋3)的定义域是[－4,5)，则函数f(2x－3)的定义域是 ． 7． 函数f(x)?x?5x?6?2(x?1)0x?x的定义域为

8． 已知f(2x?1)?x2?2x，则f(3)＝ . 9． 设f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)＝ ．

110．若f(x)满足f(x)＋2f()＝x，则f(x)＝ ．

x 2 / 26

11．若f[g(x)]＝9x＋3，且g(x)＝3x＋1，则f(x)的解析式为 ． 12．若函数y＝lg(x＋ax＋1)的定义域为R，实数a的取值范围为 ．

二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)

13．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且方程f(x)?2x的解分别是－1，3，若方程f(x)??7a有两个相等的实数根，求f(x)的解析式．

2

第三讲 函数的单调性与奇偶性

(1) 观察函数的图像：（当x增加的时候，y的变化怎样？）

函数y?x的图像在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？（随着x的增加，y值在增加），y?x又怎样？ 知识要点：

231、 设函数y=f(x)的定义域为A，区间I?A,如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当

时，都有 则称y=f(x)在 上是单调增函数，I称为函数y=f(x)的 如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当 时，都有 则称y=f(x)在 上是单调减函数，I称为函数y=f(x)的 单调增区间和单调减区间统称为 在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。 说明：（1）函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质；

（2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性； （3）函数单调性的定义中，实际上含有两层意思：

①对于任意的x1，x2?M，若x1?x2，有f(x1)?f(x2)，则称f(x)在M上是增函数； ②若f(x)在M上是增函数，则当x1?x2时，就有f(x1)?f(x2)．

（2）函数奇偶性概念：

如果对于函数f(x)的 内的 一个x，都有 ，那么称函数y?f(x)是偶函数。如果对于函数f(x)的 内的 一个x，都有 ，那么称函数y?f(x)是奇函数。 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有 偶函数的图象 ，奇函数的图象 2、函数奇偶性的判定： 说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称；

（2） f(?x)?f(x)或f(?x)??f(x)必有一成立。

因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(?x)，看是等于f(x)还是等于?f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。 （3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。

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（4）函数f(x)?0既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足f(x)?f(?x)也满足

f(x)??f(?x)。

（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。 （6）奇函数若在x?0时有定义，则f(0)?0． 一、填空题：（共12题，每题5分）

1． 函数y?x2?bx?c(x?(??,1))是单调函数时，b的取值范围 ． 2． 函数f(x)在R上为奇函数，且f(x)?x?1,x?0，则当x?0，f(x)? ． 3． 函数y??x2?|x|，单调递减区间为 ．

4． 已知f(x)?(x?2)2,x?[?1,3]，则函数f(x?1)的单调递减区间为 ． 5． 若函数f(x)?|2x?a|的单调递增区间是[3,??)，则a＝ ．

1?a是奇函数，则a＝ ． 2x?17． 函数f(x)在R上增函数，图象过A(?2,?2),B(1,2)，则不等式|f(x?2)|?2的解集 ．

6． 若f(x)?8． 已知函数f(x)?ax?1在区间??2,???上为增函数，则实数a的取值范围 ． x?219． 已知偶函数f(x)在区间?0,???单调递增，则满足f(2x?1)?f()的x取值范围是 ．

310．下列函数具有奇偶性的是 ．

?x2?2(x?0)1?①y?x3?； ②y?2x?1?1?2x；③y?x4?x； ④y??0(x?0).

x?2??x?2(x?0)(x+1)+sinx11．设函数f(x)=的最大值为M，最小值为m，则M+m= ．

x2+1

12．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区

间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1?x2?x3?x4? ． 二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程) 13．已知函数f(x)?x2?1，且g(x)?f[f(x)]，

G(x)?g(x)??f(x)，试问，是否存在实数?，

使得G(x)在(??,?1]上为减函数，并且在(?1,0)上为增函数？

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第四讲 函数的值域与最值

一、 基本知识

1． 定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。

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2． 函数值域常见的求解思路：

⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。

⑵．反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。

⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数y?f(x)看作是关于自变量x的方程，在值域中任取一个值y0，y0对应的自变量x0一定为方程y?f(x)在定义域中的一个解，即方程y?f(x)在定义域内有解；另一方面，若y取某值y0，方程y?f(x)在定义域内有解x0，则y0一定为x0对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y?f(x)在定义域内有解的y得取值范围。

特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。

⑷．可以用函数的单调性求值域。 3． 函数值域的求法：

在以上求解思路的引导下，又要注意以下的常见求法和技巧： ⑴．观察法； ⑵．最值法； ⑶．判别式法； ⑷．反函数法； ⑸．换元法； ⑹．复合函数法；

⑺．利用基本不等式法； ⑻．利用函数的单调性； ⑼．利用三角函数的有界性； ⑽．图象法； ⑾．配方法； ⑿．构造法。

一、填空题：（共12题，每题5分） 1． 函数y＝

2x?1的值域是 ． 3x?22． 函数y＝2－?x2?4x的最大值是 ． 3． 函数y?x?1?2x的值域是 ．

34． 已知函数y?x2?2x?3(0≤x≤),则函数的最大值与最小值的积是 ．

25． 若函数y＝x?3x?4的定义域为[0,m]，值域为[?2

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25,?4]，则m的取值范围是 ． 46． 已知函数y＝lg(x＋ax＋1)的值域为R，则a的取值范围是 ． 7． 若指数函数y?ax在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a是 ． 8． 用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，设f(x)＝min{为 ．

9． 已知函数y?1?x?x?3的最大值为M，最小值为m，则

2??2x?x(0≤x≤3)10．函数f(x)??2的值域是 ．

??x?6x(?2≤x≤0)x,x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值2m的值为 ． M11．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么解析式为y?x2，值域为{4，1}的“同族函数”共有 个．

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x2?x?212．函数y＝的值域是 ．

x2?1

二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)

13．当x?[0,1]时，求函数f(x)?x2?(2?6a)x?3a2的最小值．

第五讲 二次函数

一、填空题（共12题，每题5分）

1． 函数f(x)?(x?a)(x?4)为偶函数，则实数a= ．

2． 函数y?log2(2?x2)的定义域是 ，值域是 ．

3． 已知函数y?f(x)为奇函数，且当x?0时f(x)?x2?2x?3，则当x?0时， f(x)的解析式为 ． 4． 按以下法则建立函数 f(x)：对于任何实数x，函数 f(x)的值都是3－x与x2－4x＋3中的最大者，则函数f(x)的最小值等于 ．

5． 设函数f(x)?xx?bx?c，给出四个命题：

①c?0时，有f(?x)??f(x)成立；②b?0,c＞0时，方程f(x)?0只有一个实数根；③y?f(x)的图象关于点（0,c）对称；④方程f(x)?0，至多有两个实数根．上述四个命题中所有正确的命题序号是 ． ?x2?4x,x≥0;?6． 已知函数f(x)??若f(2?a2)?f(a)，则实数a的取值范围是 ． 2??4x?x,x?0.17． 设函数f(x)?,g(x)?ax2?bx(a,b?R,a?0),若y?f(x)的图象与y?g(x)图象有且仅有两个不同的公共点

xA(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的序号是 ．

A．当a?0时,x1?x2?0,y1?y2?0；B．当a?0时,x1?x2?0,y1?y2?0； C．当a?0时,x1?x2?0,y1?y2?0；D．当a?0时,x1?x2?0,y1?y2?0．

8． 已知函数y?a2x?2ax?1(a?1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a= ．

2359． 已知函数y?b?ax?2x(a、b是常数且a＞0，a≠1)在区间[－,0]上有ymax=3， ymin=，则a＋b＝ ．

220?t?25,t?N,?t?20,10．某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是p??该商

25≤t≤30,t?N.?t?100,?品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q??t?40(0?t≤30,t?N)，这种商品的日销售金额的最大值

为 ．

11．若函数f?x??ax2?x?1在区间??2,???上为单调增函数，则实数a的取值范围是 ． 12．集合A={(x,y)x2?mx?y?2?0}，集合B={(x,y)x?y?1?0，且0≤x≤2}，又A?B??，则实数m的取值范围 ．

二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)

13．如图，A，B，C为函数y?log1x的图象上的三点，它们的横坐标分别是t，t＋2，t＋4(t≥1)．

3(1)设△ABC的面积为S，求S＝f (t)； (2)判断函数S＝f (t)的单调性； (3)求S＝f (t)的最大值．

y 1 O －1 A1 A B1 C1 x 第六讲 指数与对数

1. 初中时的整数指数幂，运算性质？

B C 6 / 26

an?a?a?a???a,a0?1(a?0),00无意义 a?n?1an(a?0)

am?an?am?n;(am)n?amn (an)m?amn,(ab)n?anbn

2.有理数，无理数统称实数.

2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0

① ③

5a?(a)?a?a ②

512410252105a?(a)?a?a

58424824a12?4(a3)4?a3?a ④5a10?(a2)5?a2?a

105小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）. 根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：

3a?a?(a?0)

223 b?b?(b?0)124mn即：a?a(a?0,n?N*,n?1) c?c?(c?0)554nmmn为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为： a?nam(a?0,m,n?N*) 正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：a?mn?1amn(a?0,m,n?N*)

规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.

说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是

a?a?a???a(a?0)

由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

（1）a?a?arsr?snm1m1m1m(a?0,r,s?Q)（2）(ar)S?ars(a?0,r,s?Q)（3）(a?b)r?arbr(Q?0,b?0,r?Q)

1．对数定义：1、一般地，如果a(a?0,a?1)的b次幂等于N，即 ，那么就称b是以a为底N的 ，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数。 2、a?N?logaN?b

名称 式子 a 指数式 对数式 b N bab?N logaN?b 3、对数的性质：

（1） 没有对数

（2）loga1? ，logaa? ，logaa? ，a0blogaN? (a?0,a?1,N?0)

说明：1．?在指数式中幂N > 0，∴在对数式中，真数N > 0．（负数与零没有对数）

2．?对任意 a?0且 a?1, 都有 a?1 ∴loga1?0，同样：logaa?1．

b 3．如果把a?N中的b写成logaN， 则有 alogaN?N（对数恒等式）．

3．介绍两种特殊的对数：

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①常用对数：以10作底

log10N 写成 lgN

logeN 写成 lne．

②自然对数：以e作底为无理数，e= 2.71828?? ， 一、填空题（共12题，每题5分）

1． 若102x?25，则101?x的值 ． 2． 化简3aa的结果是 ． 3． 若a?0，a?，则log2a? ．

323494． 已知a?log32，那么log38?2log36用a表示是 ． 5． 已知x=log3?log82?，那么x等于 ．

ol6．（log29）·（g34）＝ ．

7． 已知0＜a＜1，logam?logan?0，则m，n与1的大小关系为 ．

8． 设a＞1,且m?loga(a2?1),n?loga(a?1),p?loga(2a)，则m,n,p的大小关系为 ．

?1??1??logb9． 设a,b,c均为正数，且2?log1a，，则a，b，c的大小为 ． 1???log2c．??22????22abc10．已知a?log23?log23，b?log29?log23，c?log32，则a，b，c的大小关系是 ． 11．化简

a?8ab4b?23ab?a23234313?(1?23b3)?a? ． a1212．已知0?a?1，x?loga2?loga3，y?loga5，z?loga21?loga3，则x，y，z大小关系为 ．

二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程) 13．已知x、y、z为正数，3x?4y?6z，2x＝py．

(1)求p；

(2)求与p的差最小的整数；

(3)证明：??

1z1x1． 2y

第七讲 指数函数与对数函数

一、填空题（共12题，每题5分）

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1． 已知函数f(x)?lgx，若f(ab)?1，则f(a2)?f(b2)? ．

2． 若函数f(x)?logax(0?a?1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a= ． 3． 函数y?log1(3x?2)的定义域是 ．

24． 函数y?log3??x2?2x?的单调递增区间是 ．

a5． 若函数f(x)?loga(x2?ax?3)在区间(??,]上为减函数，则a的取值范围是 ．

26、 函数f(x)?loga(x?2)(0?a?1)的图象必不过第 象限． 7． 函数y?ax?1?3的图象必过点 ．

8． 若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝ ． 9． 函数f(x)=1+log2x与g(x)=2

－x＋1

在同一直角坐标系下的图象大致是 ．

x10．若函数f?x??22?2ax?a?1的定义域为R，则实数a的取值范围 ．

11．已知函数f(x)?log2x，正实数m，n满足m?n，且f(m)?f(n)，若f(x)在区间

[m2,n]上的最大值为2，则n?m? ．

x≤0?log(1?x),12．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝?2，则f(2013)的值为 ．

f(x?1)?f(x?2),x?0?

二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程) 13．已知2x≤256且log2x≥求函数f(x)?log2

x?log21， 22x的最大值和最小值． 2第八讲 幂函数

一、填空题（共12题，每题5分）

1??1． 设????1,1,,3?，则使函数y?x?的定义域为R且为奇函数的所有?的值为 ．

2?? 9 / 26

2． 设函数f1(x)?x2，f2(x)?x?1，f3(x)?x3，则f1(f2(f3(2013)))? ．

a在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是 ． x?14． 幂函数f(x)的图象过点(9,27)，则f(x)的解析式是 ．

3． 若f(x)=－x2＋2ax与g(x)?11

5． 下列函数：①f(x)＝lnx；②f(x)＝；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ex中，与函数y＝有相同

xx

定义域的是 ． 6． 函数f(x)?(m2?m?1)xm2?2m?3是幂函数，且在x?(0,??)上是减函数，则m? ．

22?22337． 比较(),3,23的大小 ．

38． 下列命题中正确的有 ．

（1）当??0时函数y?x?的图象是一条直线；（2）幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点；

（3）若幂函数y?x?是奇函数，则y?x?是定义域上的增函数；（4）幂函数的图象不可能出现在第四象限． 9． 如图所示，幂函数y?x?在第一象限的图象，

比较0,?1,?2,?3,?4,1的大小 ．

10．若函数f(x)?ax(a?0,a?1)在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，

且函数g(x)?(1?4m)x在[0,??)上是增函数，则a＝ ． 11．若(x?3)?13?(1?2x)，则实数x的取值范围 ．

?1312．已知函数f(x)?2x2?(4?m)x?4?m，g(x)?mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是 ．

二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程) x?1?a,a?R. a?x（1）证明函数y?f(x)的图象关于点(a,?1)成中心对称图形；

13．已知函数f(x)?3（2）当x?[a?1,a?2]时,求证:f(x)?[?2,?]；

2（3）用函数y?f(x)构造一个数列{xn}，方法如下：

?,xn?f(xn?1)，?在上述构造数列的过程中，如果对于给定的定义域中的x1，令x2?f(x1),x3?f(x2),xi(i?2,3,4,?在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果)xi不在定义域中，则构造数列的过程停止．如果取

定义域中任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求实数a的值．

第九讲 抽象函数

知识点梳理

一、定义：所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点

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问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。 二、中学阶段常用抽象函数f(x)的“原型”（函数）： 1．f(x?y)?f(x)?f(y)——y?kx(k为常数） 2．f(x?y)?f(x)f(y)——y=a（a?0且a?1） 3．f(xy)?f(x)?f(y)——y?logax（a?0且a?1） 4．f(xy)?f(x)f(y)——y?x(n为常数）

nxx?yx?y)f()或f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y)，y=cos?x(?常数） 22f(x)?f(y)6．f(x?y)?——y=tanx

1?f(x)f(y)5．f(x)?f(y)?2f(三、涉及的内容及相应的常用方法：

借助具体函数的运算法则，过渡一般抽象函数的求解证明。赋值法。 一、 抽象函数的对称性

定理1. 若函数y?f(x)定义域为R，且满足条件：f(a?x)?f(b?x)，则函数y?f(x)的图象关于直线

x?a?b对称。 2推论1. 若函数y?f(x)定义域为R，且满足条件：f(a?x)?f(a?x)，则函数y?f(x)的图像关于直线x?a对称。

推论2. 若函数y?f(x)定义域为R，且满足条件：f(x)?f(2a?x)),则函数y?f(x)的图像关于直线x?a对

称。

总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程

推论3. 若函数y?f(x)定义域为R，且满足条件：f(a?x)?f(a?x)， 又若方程f(x)?0有n个根，则此n个根的和为na。

定理2. 若函数y?f(x)定义域为R，且满足条件：f(a?x)?f(b?x)?c（a,b,c为常数），则函数y?f(x)的图象关于点(a?bc,)对称。 22推论1. 若函数y?f(x)定义域为R,且满足条件：f(a?x)?f(b?x)?0成立，则y?f(x) 的图象关于点

(a?b,0)对称。 2推论2.若函数y?f(x)定义域为R，且满足条件：f(a?x)?f(a?x)?0（a为常数），则函数y?f(x)的图

象关于点(a,0)对称。

总结：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。 定理3.若函数y?f(x) 定义域为R，则函数y?f(a?x)与y?f(b?x)两函数的图象关于直线x?（由a?x?b?x可得）。

推论1. 函数y?f(x?a)与函数y?f(a?x)的图象关于直线x?a对称。 推论2. 函数y?f(a?x)与函数y?f(a?x)的图象关于直线x?0对称。

b?a对称2 11 / 26

定理4.若函数y?f(x) 定义域为R，则函数y?f(a?x)与y?c?f(b?x) 的图象关于点(推论. 函数y?f(a?x)与函数y??f(b?x)图象关于点(二、抽象函数的周期性

b?ac,)对称。 22b?a,0)对称。 2定理5.若函数y?f(x) 定义域为R，且满足条件f(a?x)?f(x?b)，则y?f(x)是以T?a?b为周期的周

期函数。

推论1.若函数y?f(x) 定义域为R，且满足条件f(a?x)??f(x?b)，则y?f(x)是以T?2(a?b)为周期

的周期函数。

推论2.若函数满足条件f?x?a???1, 则?x)是以T?2a为周期的周期函数。 则T=2y??af(f?x?,则T=4?a 则y?f?(x)是以T?4a为周期的周期函数。

推论3. 若函数满足条件f?x?a??1?f?x?1?f?x?定理7.若函数y?f(x)的图象关于直线 x?a与 x?b(a?b)对称，则y?f(x)是以T?2(b?a)为周期的周

期函数。

定理8.若函数y?f(x)的图象关于点(a,0)与点(b,0)(a?b) 对称，则y?f(x)是以T?2(b?a)为周期的周期

函数。

定理9.若函数y?f(x)的图象关于直线x?a与 点(b,0)(a?b)，则y?f(x)是以T?4(b?a)为周期的周期函

数。

总结：x的系数同为为1，具有周期性。

例题讲解：

（一）抽象函数的基本性质

题型一、抽象函数的对称轴

1、若函数f?x??x?bx?c对一切实数都有f (2＋x) = f (2－x)则（ ）

2A.f (2)

1、已知定义为R的函数f?x?满足f??x???f?x?4?，且函数f?x?在区间?2,???上单调递增.如果x1?2?x2，且x1?x2?4，则f?x1??f?x2?的值（ ）

A. 恒小于0 B.恒大于0 C．可能为0 D．可正可负

2、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D ） A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称 题型三、抽象函数的周期性

1、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。

2、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ） A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数 C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数

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课后作业

2、定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ） A.是偶函数，也是周期函数 B.是偶函数，但不是周期函数 C.是奇函数，也是周期函数 D.是奇函数，但不是周期函数

3、已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x?1)?(1?x)f(x)，则

155f(f())的值是（ ）A.0 B. C.1 D.

2221?x4、已知f?x??，f1?x??f??，fn?1?x??f?则f2004??2??（ ）. ?f?x???，f2?x??f??f1?x???，?fn?x???，

1?3x113A.? B. C. ? D.3

7755、ABCD—A1B1C1D1是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是AA1?A1D1??,黑蚁爬行的路线是AB?BB1??.它们都遵循如下规则：所爬行的第i?2段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线（其中i?N).设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶

点处，这时黑白蚁的距离是( ) A.1

B.2

C.3

D.0

，xn?2?xn?1?xn(n?N*)，6、在数列｛xn｝中，已知x1?x2?1则x100= f?x??1fx?1?y?fx????定义域为R，且对任意x?R都有7、，若f?2??1?2则f(2009)=

1?f?x?8、已知f(x)是R上的偶函数，对x?R都有f(x＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)= 9、函数f(x)在R上有定义，且满足f(x)是偶函数，且f?0??2005，g?x??f?x?1?是奇函数，则f?2005?的值为

1x，则f (8.6 ) = _______ 211、设f(x)是定义在区间(??,??)上且以2为周期的函数，对k?Z，用Ik表示区间(2k?1,2k?1),已知当x?I0时，f(x)?x2.求f(x)在Ik上的解析式.

10、设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f (x) = －二、抽象函数相关例题 题型一、定义域问题 1、已知函数2、 已知函数

的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。 的定义域是

，求函数

的定义域。

题型二、抽象函数的单调性问题

1、设f（x）定义于实数集上，当x?0时，f(x)?1，且对于任意实数x、y，有f(x?y)?f(x)?f(y)，求证：

f(x)在R上为增函数。

题型三、抽象函数奇偶性、对称性问题、零点问题

判断抽象函数的奇偶性及对称性，就是根据已知条件，通过恰当的赋值代换,寻求 f ( x) 与 f ( - x) 的关系。或者利

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用对称性的充要条件f?x??f?2a?x??2b,f?x??f?2a?x?进行分析。利用题目提供的信息，挖掘函数的性质（周期、对称、单调、特殊位置等），作出简图，数形结合求解。

1、设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间［0，7］上，只有

f(1)?f(3)?0． （1）试判断函数y?f(x)的奇偶性； （2）试求方程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的

根的个数，并证明你的结论

题型四、抽象函数创新题

1、（2009年四川理16）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:V?V,a?V，记a的象为f(a)。若映射f:V?V满足：对所有a,b?V及任意实数?,?都有f(?a??b)??f(a)??f(b)，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题： ①设f是平面M上的线性变换，则f(0)?0 ②对a?V设f(a)?2a，则f是平面M上的线性变换； ③若e是平面M上的单位向量，对a?V设f(a)?a?e，则f是平面M上的线性变换； ④设f是平面M上的线性变换，a,b?V，若a,b共线，则f(a),f(b)也共线。其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

2、（2010年福建理15）已知定义域为的函数f(x)满足：①对任意x?，恒有f(2x)=2f(x) （0，??）（0，??）成立；当x?（1，2]时，f(x)=2-x。给出如下结论：①对任意m?Z，有f(2)=0nm；②函数f(x)的值域为[0，；??）③存在n?Z，使得f(2+1)=9；④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是 “存在k?Z，使得

(a,b)?(2k,2k?1)”其中所有正确结论的序号是 。

课后作业：

1、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x??2给出下列四个结论：① f(x)是周期函数；② x??)是偶函数，

是f(x)图象的一条对称轴；③ (??,0)是f(x)图象的一个对称中心；④ 当x?其中正确的结论的代号是（ ）

A．①③

B．①④

2?2时，f(x)一定取最大值.

C．②③ D．②④

2（2009安徽卷理）已知函数f(x)在R上满足f(x)?2f(2?x)?x?8x?8，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是（ ）（A）y?2x?1 （B）y?x （C）y?3x?2 （D）y??2x?3 3、知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(2)=0,当x>0时有

x?f'(x)?f(x)2?0，则不等式x?f(x)?0的解集2xD. （-2，2）∪（2，+∞）

是（ ）A．（-2，0）∪（2，+∞） B. (-∞,-2∪(0,2) C． (-2,0) ∪(0,2)

4（2009年天津文）设函数f(x)在R上的导函数为f'?x?，且2f?x??xf'?x??x2，下面的不等式在R上恒成立的是（ ）A、f(x)?0

B、f(x)?0 C、f(x)?x D、f(x)?x

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5（2010重庆理15）已知函数f?x?满足：f?1??1，4f?x?f?y??f?x?y??f?x?y??x,y?R?，则4f?2010?=_____________.

6、于定义在R上的函数f?x?，有下述命题：①若f(x)是奇函数，则f?x?1?的图象关于点A(1,0)对称.②若函数

f?x?1?的图象关于直线x?1对称，则f(x)为偶函数.③若对任意x?R，有f?x?1???f?x?，则f?x?的周期为2.④函数y?f?x?1?与y?f?1?x?的图象关于直线x?0对称.其中正确命题的序号是 ．

7、定义在R上的函数f?x?对任意的x1,x2?R，都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?1成立，且当x?0时，f(x)?1。 （1）求证：f(x)?1为奇函数；

（2）求证：f(x)是R上的增函数；

（3）若f(4)?5，解不等式f(3m2?m?2)?3．

8、知函数f?x?的定义域为I，导数f'?x?满足0?f'?x??2且f'?x??1，常数c1为方程 f?x??x?0的实数

根，常数c2为方程f?x??2x?0的实数根． （Ⅰ）若对任意

几个实数根； （Ⅱ）求证：当 （Ⅲ）对任意

，存在

，使等式

成立．试问：方程

有

时，总有 f?x??2x成立； ，若满足

，求证：f?x1??f?x2??4。

第十讲 函数的图象

一、填空题：（共12题，每题5分）

23y y y x y O ④ x 1． 函数y?x的图象是 ． O x O x O

① ② ③ 2． 若y?f(x)为偶函数，则下列点的坐标在函数图象上的是 ． ①(a,f(?a)) ②(a,?f(a)) ③(?a,f(a)) ④(?a,?f(?a))

3． 将函数y?2x的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，则C2的解析式

为 ．

4． 当a≠0时，函数y＝ax＋b和y＝bax的图象只可能是 ．

y y y y

1 1 1 1

x x x x O O O O 5． 已知f(x)是偶函数,且图象与x轴有4个交点，则方程f(x)?0的所有实根的和是 ． 6． 当a＞0且a≠1时，函数f(x)?ax?2?3必过定点 ．

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① ② ③ ④

6x212、函数y=1?x的极大值为（ ）A.3 二、填空题 B.4 C.2 D.5 23x?x0x?x0y?x?1y?1?x1、（2009年·山东运河中学10月月考）已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相平行，则x0的值为 ． 在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标2、（2010届·广东高三六校联考（理））设曲线为，令，则的值为__ _． 3、（江苏省靖江市·2010届高三期中）已知函数y=ax3－15x2＋36x－24,x大值是 . x??0,4?在x=3处有极值，则函数的最2y?x?x?2在点?1,0?处的切线方程为 4、（浙江省绍兴县鲁迅中学·2010届高三期中）曲线 解答题 1、（2010届·湖南省箴言中学高三一模（理））19、（本小题满分14分） 32已知函数f(x)=ax?bx?cx?d的单调递减区间是（－1，3），且在x=1处的切线方程为：12x?y?13?0 （1）求函数f(x)的解析式； （2）求函数f(x)在区间[－4，4 ]上的最值； （3）若过点（0，m）有且只有一条直线与f(x)相切，求m的取值范围。 322f(x)?ax?bx?3ax?1(a，b?R)在x?x1，x?x2处2、2010高三期中考试）（本小题满分14分）设函数取得极值，且x1?x2?2． （1）若a?1，求b的值，并求f(x)的单调区间； （2）若a?0，求b的取值范围． 26 / 26

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